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1. 已知点 P 在$∠ AOB$的平分线上，点 P 到边 OA 的距离等于 m，Q 是边 OB 上的一个动点，则 PQ 与 m 的大小关系是（
A.$PQ＜m$
B.$PQ＞m$
C.$PQ≤ m$
D.$PQ≥ m$
D
）A.$PQ＜m$
B.$PQ＞m$
C.$PQ≤ m$
D.$PQ≥ m$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得到点P到OB边的距离也等于m；再结合垂线段最短的性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段长度最短。Q是OB上的动点，PQ的最小值就是P到OB的垂线段长度m，其余情况PQ的长度都大于m，由此就能判断PQ和m的大小关系。
【解析】
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为m，因此点P到OB边的距离也等于m。
2. 根据垂线段最短的性质：直线外一点到直线上任意点的连线中，垂线段的长度最短。
Q是OB边上的动点，当PQ垂直于OB时，PQ的长度最小，等于m；其余情况下PQ的长度都大于m，因此PQ≥m。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和垂线段最短的结论，将两个知识点结合分析即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得到点P到OB边的距离也等于m；再结合垂线段最短的性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段长度最短。Q是OB上的动点，PQ的最小值就是P到OB的垂线段长度m，其余情况PQ的长度都大于m，由此就能判断PQ和m的大小关系。
【解析】
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为m，因此点P到OB边的距离也等于m。
2. 根据垂线段最短的性质：直线外一点到直线上任意点的连线中，垂线段的长度最短。
Q是OB边上的动点，当PQ垂直于OB时，PQ的长度最小，等于m；其余情况下PQ的长度都大于m，因此PQ≥m。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和垂线段最短的结论，将两个知识点结合分析即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=70°$，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$于点E。
(1)求$∠ EDA$的度数；
(2)若 $AB = 10$，$AC = 8$，$DE = 3$，求 $S_{△ ABC}$。
(1)求$∠ EDA$的度数；
(2)若 $AB = 10$，$AC = 8$，$DE = 3$，求 $S_{△ ABC}$。
答案
2. (1)$∠ EDA=60°$。
(2)$S_{△ ABC}=27$。
(2)$S_{△ ABC}=27$。
解析
【分析】
(1) 求∠EDA的度数时，首先利用三角形内角和定理算出△ABC中∠BAC的度数，再结合AD是角平分线求出∠BAD的度数，最后在直角△ADE中用三角形内角和即可求出∠EDA。
(2) 求△ABC的面积时，可将其拆分为△ABD和△ACD的面积之和，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得D到AC的距离等于DE的长度，分别计算两个小三角形的面积再相加即可得到结果。
【解析】
(1) 在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-70°=60°$
∵AD是△ABC的角平分线
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$
∵$DE⊥ AB$，
∴$∠ AED=90°$
在△ADE中：
$∠ EDA=180°-∠ AED-∠ BAD=180°-90°-30°=60°$
(2) 过点D作$DF⊥ AC$，垂足为F
∵AD是角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$
∴根据角平分线的性质得$DF=DE=3$
$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× DE+\frac{1}{2}× AC× DF$
$=\frac{1}{2}×10×3+\frac{1}{2}×8×3$
$=15+12=27$
【答案】
(1) $∠ EDA=60°$
(2) $S_{△ ABC}=27$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础题，重点考查角平分线性质的应用，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和是解题的常用技巧，熟练掌握相关定理可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠EDA的度数时，首先利用三角形内角和定理算出△ABC中∠BAC的度数，再结合AD是角平分线求出∠BAD的度数，最后在直角△ADE中用三角形内角和即可求出∠EDA。
(2) 求△ABC的面积时，可将其拆分为△ABD和△ACD的面积之和，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得D到AC的距离等于DE的长度，分别计算两个小三角形的面积再相加即可得到结果。
【解析】
(1) 在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-70°=60°$
∵AD是△ABC的角平分线
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$
∵$DE⊥ AB$，
∴$∠ AED=90°$
在△ADE中：
$∠ EDA=180°-∠ AED-∠ BAD=180°-90°-30°=60°$
(2) 过点D作$DF⊥ AC$，垂足为F
∵AD是角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$
∴根据角平分线的性质得$DF=DE=3$
$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× DE+\frac{1}{2}× AC× DF$
$=\frac{1}{2}×10×3+\frac{1}{2}×8×3$
$=15+12=27$
【答案】
(1) $∠ EDA=60°$
(2) $S_{△ ABC}=27$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础题，重点考查角平分线性质的应用，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和是解题的常用技巧，熟练掌握相关定理可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
任务二 作角的平分线
探究：如何用尺规作角的平分线？
如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线。
作法：（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使
（2）分别以点D和点E为圆心，以
的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C。
（3）作
探究：如何用尺规作角的平分线？
如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线。
作法：（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使
$OD=OE$
。（2）分别以点D和点E为圆心，以
大于$\dfrac{1}{2}DE$
的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C。
（3）作
射线$OC$
。射线$OC$
就是∠AOB的平分线。答案
探究 (1)$OD=OE$ (2)大于$\dfrac{1}{2}DE$
(3)射线 $OC$ 射线 $OC$
(3)射线 $OC$ 射线 $OC$
解析
【分析】
本题考查尺规作已知角的平分线的操作步骤，解题时可结合作图原理（构造三边相等的全等三角形，得到对应角相等）梳理每一步要求：首先要在角的两边上截取等长线段，得到第一组相等的边；再以两个截点为圆心作弧，要保证两弧能在角内部相交，半径必须大于两个截点间距的一半；最后连接角的顶点和两弧交点，得到的射线就是角平分线。
【解析】
根据尺规作角平分线的标准步骤逐一填空：
（1）为了构造全等三角形的等边，在OA、OB上分别截取OD、OE，使$OD=OE$；
（2）分别以点D、E为圆心作弧时，若半径小于或等于$\frac{1}{2}DE$，两弧无法在$∠ AOB$内部相交，因此要取大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，使两弧在$∠ AOB$内交于点C；
（3）作射线OC，可通过SSS证明$△ ODC≌△ OEC$，得到对应角$∠ AOC=∠ BOC$，因此射线OC就是$∠ AOB$的平分线。
【答案】
（1）$OD=OE$；（2）大于$\dfrac{1}{2}DE$；（3）射线$OC$；射线$OC$
【知识点】
1. 尺规作角平分线 2. SSS全等判定 3. 角平分线定义
【点评】
本题属于基础操作类题目，主要考查角平分线尺规作图的标准步骤，解题关键是明确每一步作图的原理和要求，尤其要注意第二步作弧的半径取值要求，避免记忆混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查尺规作已知角的平分线的操作步骤，解题时可结合作图原理（构造三边相等的全等三角形，得到对应角相等）梳理每一步要求：首先要在角的两边上截取等长线段，得到第一组相等的边；再以两个截点为圆心作弧，要保证两弧能在角内部相交，半径必须大于两个截点间距的一半；最后连接角的顶点和两弧交点，得到的射线就是角平分线。
【解析】
根据尺规作角平分线的标准步骤逐一填空：
（1）为了构造全等三角形的等边，在OA、OB上分别截取OD、OE，使$OD=OE$；
（2）分别以点D、E为圆心作弧时，若半径小于或等于$\frac{1}{2}DE$，两弧无法在$∠ AOB$内部相交，因此要取大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，使两弧在$∠ AOB$内交于点C；
（3）作射线OC，可通过SSS证明$△ ODC≌△ OEC$，得到对应角$∠ AOC=∠ BOC$，因此射线OC就是$∠ AOB$的平分线。
【答案】
（1）$OD=OE$；（2）大于$\dfrac{1}{2}DE$；（3）射线$OC$；射线$OC$
【知识点】
1. 尺规作角平分线 2. SSS全等判定 3. 角平分线定义
【点评】
本题属于基础操作类题目，主要考查角平分线尺规作图的标准步骤，解题关键是明确每一步作图的原理和要求，尤其要注意第二步作弧的半径取值要求，避免记忆混淆。
【难度系数】
0.9
如图，观察图中尺规作图的痕迹，下列说法错误的是 （
A.$PQ$为$∠ APB$的平分线
B.$PA=PB$
C.点$A$，$B$到$PQ$的距离不相等
D.$∠ APQ=∠ BPQ$
C
）A.$PQ$为$∠ APB$的平分线
B.$PA=PB$
C.点$A$，$B$到$PQ$的距离不相等
D.$∠ APQ=∠ BPQ$
答案
C
解析
【分析】
本题可先根据尺规作图的痕迹判断该作图为作∠APB的角平分线，再结合角平分线的相关性质、作图步骤的特点逐一分析各选项：首先明确作图时以P为圆心画弧得到的A、B到P的距离相等，可得PA=PB；再根据角平分线的定义判断PQ的性质，最后结合对称的知识判断A、B到PQ的距离关系，即可找到错误选项。
【解析】
根据尺规作图痕迹可知，该作图是作∠APB的角平分线PQ：
1. 作图时先以点P为圆心，相同长度为半径画弧，交∠APB的两边于A、B两点，因此PA=PB，B选项说法正确，不符合题意；
2. 最终得到的PQ是∠APB的平分线，因此∠APQ=∠BPQ，A、D选项说法均正确，不符合题意；
3. PQ是∠APB的对称轴，点A和点B关于PQ对称，因此点A、B到PQ的距离相等，C选项说法错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线的尺规作图
2. 角平分线的定义
3. 轴对称的性质
【点评】
本题考查角平分线的尺规作图识别及相关性质，解题的关键是熟悉角平分线的尺规作图步骤，结合对应的性质逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
本题可先根据尺规作图的痕迹判断该作图为作∠APB的角平分线，再结合角平分线的相关性质、作图步骤的特点逐一分析各选项：首先明确作图时以P为圆心画弧得到的A、B到P的距离相等，可得PA=PB；再根据角平分线的定义判断PQ的性质，最后结合对称的知识判断A、B到PQ的距离关系，即可找到错误选项。
【解析】
根据尺规作图痕迹可知，该作图是作∠APB的角平分线PQ：
1. 作图时先以点P为圆心，相同长度为半径画弧，交∠APB的两边于A、B两点，因此PA=PB，B选项说法正确，不符合题意；
2. 最终得到的PQ是∠APB的平分线，因此∠APQ=∠BPQ，A、D选项说法均正确，不符合题意；
3. PQ是∠APB的对称轴，点A和点B关于PQ对称，因此点A、B到PQ的距离相等，C选项说法错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线的尺规作图
2. 角平分线的定义
3. 轴对称的性质
【点评】
本题考查角平分线的尺规作图识别及相关性质，解题的关键是熟悉角平分线的尺规作图步骤，结合对应的性质逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系。
答案
解：
角的平分线知识体系：
1. 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
2. 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
应用：
① 直接证明两条线段相等；
② 计算几何图形中相关线段的长度；
③ 解决实际场景中到两条相交线距离相等的选址类问题。
3. 尺规作已知角的平分线步骤：
(1) 取已知∠AOB，以点O为圆心，适当长度为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
(2) 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
(3) 作射线OC，射线OC即为∠AOB的平分线。
角的平分线知识体系：
1. 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
2. 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
应用：
① 直接证明两条线段相等；
② 计算几何图形中相关线段的长度；
③ 解决实际场景中到两条相交线距离相等的选址类问题。
3. 尺规作已知角的平分线步骤：
(1) 取已知∠AOB，以点O为圆心，适当长度为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
(2) 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
(3) 作射线OC，射线OC即为∠AOB的平分线。
解析
【分析】
构建角平分线的知识体系可按照“核心概念-性质应用-实操方法”的逻辑展开思考：首先明确角平分线的基本定义，知道“什么是角平分线”；其次梳理角平分线的核心性质，再延伸整理该性质对应的常见应用场景；最后归纳尺规作角平分线的规范操作步骤，按此逻辑分类梳理能保证知识体系清晰完整，无知识点遗漏。
【解析】
我们分三个模块梳理角平分线的相关知识：
1. 定义模块：明确角平分线的概念，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，就是这个角的平分线。
2. 性质与应用模块：牢记角平分线的性质为角平分线上的点到角的两边的距离相等，该性质常见应用有三类：一是可以直接证明两条线段相等；二是可用于计算几何图形中相关线段的长度；三是能解决实际场景中到两条相交线距离相等的选址类问题。
3. 尺规作图模块：作已知角的平分线共三步：①取已知∠AOB，以点O为圆心，适当长度为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；③作射线OC，OC就是∠AOB的平分线。
【答案】
角的平分线知识体系：
1. 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
2. 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
应用：
① 直接证明两条线段相等；
② 计算几何图形中相关线段的长度；
③ 解决实际场景中到两条相交线距离相等的选址类问题。
3. 尺规作已知角的平分线步骤：
(1) 取已知∠AOB，以点O为圆心，适当长度为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
(2) 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
(3) 作射线OC，射线OC即为∠AOB的平分线。
【知识点】
角平分线的定义；角平分线的性质；尺规作角平分线
【点评】
本题考查知识体系的构建能力，需要学生对所学内容分类归纳梳理，在准确识记核心概念、性质与操作步骤的同时理清知识点的关联，有助于养成体系化整理知识的良好学习习惯。
【难度系数】
0.8
构建角平分线的知识体系可按照“核心概念-性质应用-实操方法”的逻辑展开思考：首先明确角平分线的基本定义，知道“什么是角平分线”；其次梳理角平分线的核心性质，再延伸整理该性质对应的常见应用场景；最后归纳尺规作角平分线的规范操作步骤，按此逻辑分类梳理能保证知识体系清晰完整，无知识点遗漏。
【解析】
我们分三个模块梳理角平分线的相关知识：
1. 定义模块：明确角平分线的概念，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，就是这个角的平分线。
2. 性质与应用模块：牢记角平分线的性质为角平分线上的点到角的两边的距离相等，该性质常见应用有三类：一是可以直接证明两条线段相等；二是可用于计算几何图形中相关线段的长度；三是能解决实际场景中到两条相交线距离相等的选址类问题。
3. 尺规作图模块：作已知角的平分线共三步：①取已知∠AOB，以点O为圆心，适当长度为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；③作射线OC，OC就是∠AOB的平分线。
【答案】
角的平分线知识体系：
1. 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
2. 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
应用：
① 直接证明两条线段相等；
② 计算几何图形中相关线段的长度；
③ 解决实际场景中到两条相交线距离相等的选址类问题。
3. 尺规作已知角的平分线步骤：
(1) 取已知∠AOB，以点O为圆心，适当长度为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
(2) 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
(3) 作射线OC，射线OC即为∠AOB的平分线。
【知识点】
角平分线的定义；角平分线的性质；尺规作角平分线
【点评】
本题考查知识体系的构建能力，需要学生对所学内容分类归纳梳理，在准确识记核心概念、性质与操作步骤的同时理清知识点的关联，有助于养成体系化整理知识的良好学习习惯。
【难度系数】
0.8
