任务导学
任务一 理解并运用等腰三角形的性质
探究1：回顾等腰三角形的定义，完成下面的填空。
（1）两边的三角形叫作等腰三角形。如图，若AB=，则△ABC是等腰三角形，其中，边和是腰，和是底角。
（2）如图，若△ABC是等腰三角形，则AB=。
探究2：等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，沿它的对称轴折叠，有哪些相等的线段和相等的角？
等腰三角形轴对称图形。如图，直线l是等腰三角形ABC的对称轴，且交底边于点D，则∠BAD=，∠BDA==°，BD=。
探究3：如图，由探究2可知，线段AD是顶角的，是底边上的，也是底边上的。
探究4：等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线？
等腰三角形的对称轴是底边的，是顶角平分线所在的直线，是所在的直线，是所在的直线。
新知生成：等腰三角形的性质
等腰三角形是图形。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高（也称“”），它们是等腰三角形的对称轴。
等腰三角形的两个底角（也称“”）。

探究1 （1）相等 AC AB AC ∠B ∠C
（2）AC
探究2 是 ∠CAD ∠CDA 90 CD
探究3 平分线 中线 高
探究4 垂直平分线 底边上的中线 底边上的高
新知生成 轴对称 重合 三线合一 所在的直线 相等 等边对等角

【分析】
这道题围绕等腰三角形的基础知识点设置填空，解题时可按顺序回忆相关概念逐一作答：①先回忆等腰三角形的定义，明确腰、底角的对应概念完成探究1；②结合轴对称图形的定义，分析等腰三角形折叠后重合的边和角，完成探究2；③根据探究2得到的线段AD的三个身份，对应“三线合一”的概念完成探究3；④明确等腰三角形对称轴的表述，完成探究4；最后整理归纳等腰三角形的核心性质即可。
【解析】
探究1
(1) 根据等腰三角形的定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，两腰所对的角叫做底角。因此若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，腰为AB、AC，底角为∠B、∠C。
(2) 等腰三角形两腰相等，因此△ABC是等腰三角形时AB=AC。
探究2
等腰三角形沿顶角平分线所在直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，因此是轴对称图形。直线l为对称轴时，折叠后∠BAD与∠CAD重合，故∠BAD=∠CAD；∠BDA与∠CDA重合且二者之和为180°，故∠BDA=∠CDA=90°；BD与CD重合，故BD=CD。
探究3
由上述结论可知：AD平分顶角∠BAC，是顶角的平分线；AD平分底边BC，是底边上的中线；AD垂直于底边BC，是底边上的高。
探究4
等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，同时也是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线。
新知生成
整理等腰三角形的性质：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，简称“三线合一”，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴；③等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。
【答案】
探究1 （1）相等 AC AB AC ∠B ∠C
（2）AC
探究2 是 ∠CAD ∠CDA 90 CD
探究3 平分线 中线 高
探究4 垂直平分线 底边上的中线 底边上的高
新知生成 轴对称 重合 三线合一 所在的直线 相等 等边对等角
【知识点】
等腰三角形定义，三线合一性质，等边对等角性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，核心考察等腰三角形的定义和基础性质，熟练掌握相关概念即可快速作答，是学习等腰三角形相关综合题型的必备基础。
【难度系数】
0.9

1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$为底边上的高，$BC=10\ \mathrm{cm}$，则$BD=$。

1. 5 cm

【分析】
首先根据已知条件AB=AC可判断△ABC为等腰三角形，BC为等腰三角形的底边。回忆等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合（三线合一）。已知AD是底边上的高，因此AD同时是底边BC的中线，即点D是BC的中点，由此可得BD长度为BC的一半，代入BC的长度即可计算出结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，BC为其底边。
∵AD是等腰△ABC底边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD也是底边BC的中线，
∴D为BC的中点，即$BD=\frac{1}{2}BC$。
又
∵BC=10 cm，
∴$BD=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5 cm
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，核心考查对“三线合一”性质的理解与运用，解题的关键是明确等腰三角形底边上的高同时是底边的中线，直接计算即可得到答案。
【难度系数】
0.9

2. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$∠ B = 50°$。以点 A 为圆心，以 AC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，连接 CD，则 $∠ BCD$ 的度数是 。

2. 20°

【分析】
解题时先利用直角三角形两个锐角互余的性质求出∠A的度数；再根据作图规则可知AC=AD，得到△ACD是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质结合三角形内角和定理算出∠ACD的度数；最后用∠ACB的度数减去∠ACD的度数即可得到∠BCD的度数。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=50°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ A=90° - ∠ B=90° - 50°=40°$。
由作图可知$AC=AD$，因此$△ ACD$是等腰三角形，$∠ ACD=∠ ADC$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ACD=\frac{180° - ∠ A}{2}=\frac{180° - 40°}{2}=70°$。
因此$∠ BCD=∠ ACB - ∠ ACD=90° - 70°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
1.直角三角形锐角互余
2.等腰三角形的性质
3.三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是结合作图信息得到相等的线段，判断出等腰三角形，再结合三角形相关角度性质逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.8