1.根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的约去,叫作分式的约分.
注意:当分式的分子和分母是多项式时,可先分解因式找出公因式,再约分.
2.分子与分母没有的分式,叫作最简分式.分式的约分是把分式化成最简分式或整式.
3.把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的的分式,叫作分式的通分.分式的通分,关键是确定几个分式的公分母,一般取各分母的所有因式的次幂的积作公分母,它叫作最简公分母.

1.公因式 2.公因式 3.同分母；最高

【分析】
本题考查分式约分、最简分式、通分的基础定义，解题时只需回忆课本中对应概念的关键词，逐一匹配填空即可：①回忆约分的定义找对应描述的关键词；②回忆最简分式的定义匹配空缺内容；③回忆通分、最简公分母的定义对应填空。
【解析】
1. 根据分式约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分，因此第一空填公因式；
2. 根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式，因此第二空填公因式；
3. 根据分式通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分；确定最简公分母的规则为：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，因此第三空填同分母，第四空填最高。
【答案】
1.公因式 2.公因式 3.同分母；最高
【知识点】
分式的约分；最简分式；分式的通分
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查分式约分、通分相关的核心定义，是后续进行分式加减乘除运算的基础，熟练掌握相关概念是解答此类题目的关键。
【难度系数】
0.9

知识点1 分式的约分
1.（新知回顾）约去分式$\frac{2ab^2}{4a^2b}$中分子与分母的公因式：______，得________.
2.将分式$\frac{-3x^2}{6xy}$约分的结果是 （）
A. $-\frac{1}{2y}$ B. $-\frac{2x}{y}$ C. $-\frac{x}{2y}$ D. $\frac{x}{y}$
3.化简$\frac{a^2 - b^2}{a^2 - ab}$的结果为 （）
A. $\frac{a - b}{2a}$ B. $\frac{a - b}{a}$ C. $\frac{a + b}{a}$ D. $\frac{a - b}{a + b}$

1.$2ab$；$\frac{b}{2a}$ 2.C 3.C

【分析】
解决分式约分类问题的核心思路是先确定分子与分母的公因式，再约去公因式得到最简分式，具体思考步骤如下：
1. 若分子、分母均为单项式：先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者组合即为公因式；
2. 若分子、分母为多项式：先对分子、分母分别因式分解，再从分解后的式子中找公因式；
3. 约去公因式时注意符号的处理，最终结果要化为最简分式。
第1题是单项式构成的分式，按单项式找公因式的方法计算即可；第2题同样是单项式分式，注意负号的保留；第3题是多项式构成的分式，先因式分解再约分。
【解析】
1. 对于分式$\frac{2ab^2}{4a^2b}$：
系数部分：2和4的最大公约数是2；
字母部分：相同字母a的最低次幂是$a^1$，相同字母b的最低次幂是$b^1$；
因此公因式为$2ab$，约去公因式后：$\frac{2ab^2÷2ab}{4a^2b÷2ab}=\frac{b}{2a}$。
2. 对于分式$\frac{-3x^2}{6xy}$：
公因式为$3x$，约去公因式得：$\frac{-3x^2÷3x}{6xy÷3x}=\frac{-x}{2y}=-\frac{x}{2y}$，故选C。
3. 对于分式$\frac{a^2 - b^2}{a^2 - ab}$：
先因式分解：分子$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分母$a^2-ab=a(a-b)$；
公因式为$(a-b)$，约去公因式得：$\frac{(a+b)(a-b)÷(a-b)}{a(a-b)÷(a-b)}=\frac{a+b}{a}$，故选C。
【答案】
1.$2ab$；$\frac{b}{2a}$ 2.C 3.C
【知识点】
分式的约分；公因式的确定；因式分解
【点评】
这组题目是分式约分的基础练习题，分别考察了单项式分式和多项式分式的约分方法，掌握约分的基本步骤、准确找公因式是解题的关键，为后续分式的运算打好基础。
【难度系数】
0.8

4.约分:
(1)$\frac{2ax^2y}{3axy^2}$;
(2)$\frac{xy+x}{x^2}$;
(3)$\frac{(a-b)^6}{(b-a)^3}$;
(4)$\frac{2a(a-1)}{8ab^2(1-a)}$.

(1)原式=$\frac{2x}{3y}$.
(2)原式=$\frac{y+1}{x}$.
(3)原式=$(b-a)^3$.
(4)原式=$-\frac{1}{4b^2}$.

【分析】
约分的核心是先确定分子分母的公因式，再根据分式的基本性质约去公因式，最终得到最简分式或整式，解题思路如下：
① 若分子分母都是单项式：公因式取系数的最大公约数、相同字母的最低次幂的乘积，直接约去即可，对应第(1)题；
② 若分子或分母是多项式：先对多项式因式分解，再找公因式约分，对应第(2)题；
③ 若分子分母含互为相反数的因式：先利用幂的符号性质统一底数（偶次幂底数变号值不变，奇次幂底数变号值变号），再约分，对应第(3)(4)题，约分过程中注意符号变化。
【解析】
(1) 分子分母的公因式为$axy$，根据分式的基本性质约去公因式：
原式$=\frac{axy · 2x}{axy · 3y}=\frac{2x}{3y}$
(2) 先对分子提取公因式$x$因式分解，再约去公因式$x$（$x≠0$）：
原式$=\frac{x(y+1)}{x · x}=\frac{y+1}{x}$
(3) 由偶次幂的性质可得$(a-b)^6=(b-a)^6$，统一底数后根据同底数幂的除法法则计算：
原式$=\frac{(b-a)^6}{(b-a)^3}=(b-a)^{6-3}=(b-a)^3$
(4) 先统一符号，将$1-a$变形为$-(a-1)$，再约去公因式$2a(a-1)$（$a≠0$且$a≠1$）：
原式$=\frac{2a(a-1)}{8ab^2 · [-(a-1)]}=-\frac{2a(a-1)}{8ab^2(a-1)}=-\frac{1}{4b^2}$
【答案】
(1)$\frac{2x}{3y}$；(2)$\frac{y+1}{x}$；(3)$(b-a)^3$；(4)$-\frac{1}{4b^2}$
【知识点】
分式的约分，因式分解，幂的运算性质
【点评】
本题是分式约分的基础训练题，覆盖了单项式约分、多项式因式分解后约分、含相反因式的约分三类常见约分题型，核心易错点是互为相反因式变形时的符号处理，掌握本题的解题方法能夯实分式约分的基础，为后续分式运算做准备。
【难度系数】
0.75

5. 中考趋势·开放性问题 若$\frac{(\quad)}{x}$是最简分式，则（）里的整式可以是.（写出1个即可）

$x+1$(答案不唯一)

【分析】
解题时首先要明确最简分式的定义：分子和分母没有除1以外的公因式的分式叫做最简分式。本题中分式的分母为x，其因式只有1和x，因此括号内的整式只要不含有因式x，就能保证分子和分母没有多余公因式，满足最简分式的要求，我们只需写出任意一个不含因式x的整式即可，例如x+1。
【解析】
根据最简分式的定义：若一个分式的分子与分母只有公因式1，这个分式就是最简分式。
本题中分母为$x$，因此括号内的整式只需和$x$没有除1外的公因式即可。
取整式$x+1$，$x+1$与$x$的公因式只有1，因此$\frac{x+1}{x}$是最简分式，符合题意。
【答案】
$x+1$（答案不唯一）
【知识点】
最简分式的定义，公因式的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对最简分式概念的掌握情况，解题时只要紧扣最简分式的判定条件即可，答案不唯一，符合要求即可得分。
【难度系数】
0.9

6. [2026 宿州期末] 下列分式中属于最简分式的是（）

A.$\frac{1-x}{2x-2}$
B.$\frac{x+2}{y+2}$
C.$\frac{2x+2y}{6x-6y}$
D.$\frac{x^2-9}{x(x+3)}$

B

【分析】
首先明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题时我们需要先对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，再判断两者是否存在公因式，没有公因式的就是最简分式，我们逐个分析四个选项即可得出答案。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A. 分母$2x-2=2(x-1)=-2(1-x)$，分子为$1-x$，分子、分母有公因式$1-x$，可约分为$-\frac{1}{2}$，不是最简分式；
B. 分子为$x+2$，分母为$y+2$，二者没有公因式，是最简分式；
C. 分子$2x+2y=2(x+y)$，分母$6x-6y=6(x-y)=2×3(x-y)$，分子、分母有公因式2，可约分为$\frac{x+y}{3(x-y)}$，不是最简分式；
D. 分子$x^2-9$利用平方差公式因式分解得$(x+3)(x-3)$，分母为$x(x+3)$，分子、分母有公因式$x+3$，可约分为$\frac{x-3}{x}$，不是最简分式。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的定义、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题核心是掌握最简分式的判断标准，做题时先对分子分母因式分解再判断是否存在公因式即可，熟练掌握提公因式法、公式法因式分解是正确解题的基础。
【难度系数】
0.8

7.分式$\frac{6c}{a^2b}$与$\frac{c}{3ab^2}$的最简公分母是 （）

A.$ab$
B.$3ab$
C.$3a^2b^2$
D.$3a^3b^3$

C

【分析】
要确定两个分式的最简公分母，可按固定思路逐步推导：第一步先找两个分母系数的最小公倍数；第二步找各分母中出现的相同字母的最高次幂，所有出现过的字母都要包含；第三步将得到的最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，所得结果就是最简公分母，按这个思路对应题目中的分母计算即可。
【解析】
首先提取两个分式的分母：$\frac{6c}{a^2b}$的分母是$a^2b$，$\frac{c}{3ab^2}$的分母是$3ab^2$。
1. 求系数的最小公倍数：两个分母的系数分别为1和3，二者的最小公倍数是3；
2. 求相同字母的最高次幂：
字母$a$在两个分母中的次数分别为2、1，取最高次2，对应$a^2$；
字母$b$在两个分母中的次数分别为1、2，取最高次2，对应$b^2$；
3. 组合得到最简公分母：$3× a^2× b^2=3a^2b^2$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定；最小公倍数计算
【点评】
本题属于分式相关的基础题型，重点考查最简公分母的确定规则，熟练掌握“系数取最小公倍数、同字母取最高次幂”的规律即可快速解题，是后续分式通分、加减运算的必备基础。
【难度系数】
0.9

8.分式$\frac{1}{x^2 - x},\frac{1}{x^2 + x}$的最简公分母是。

$x(x+1)(x-1)$

【分析】
要确定两个分式的最简公分母，遵循以下思路：首先对每个分式的分母进行因式分解，再提取各分母中所有出现过的不同因式，相同因式取最高次幂，最后将这些因式相乘，得到的乘积就是最简公分母。
【解析】
步骤1：对两个分式的分母分别因式分解：
第一个分母：$x^2 - x = x(x - 1)$
第二个分母：$x^2 + x = x(x + 1)$
步骤2：确定所有出现的因式：x、$(x+1)$、$(x-1)$，三个因式的次数均为1次，取各因式的最高次幂相乘，可得最简公分母为$x(x+1)(x-1)$。
【答案】
$x(x+1)(x-1)$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 最简公分母的确定
【点评】
本题是最简公分母确定的基础题型，解题核心是先将各分母正确因式分解，再按规则选取所有因式的最高次幂相乘，熟练掌握因式分解和最简公分母的判定规则即可快速作答。
【难度系数】
0.85

9. [2026 合肥月考] 将分式$\frac{1}{1-a^2}$与分式$\frac{a+1}{a^2-2a+1}$通分后，$\frac{a+1}{a^2-2a+1}$的分母变为$(1+a)(1-a)^2$，则$\frac{1}{1-a^2}$的分子变为（）

A.$1-a$
B.$1+a$
C.$-1-a$
D.$-1+a$

A

【分析】
要解决这道题，需按照分式通分的规则逐步推导：首先先将两个分式的分母因式分解，确定通分的最简公分母；再对比原分式的分母和最简公分母，找到分母需要乘的整式；最后根据分式的基本性质，分子和分母乘同一个不为0的整式，即可求出变形后的分子。
【解析】
第一步：因式分解两个分式的分母
$\frac{1}{1-a^2}$的分母：$1-a^2=(1-a)(1+a)$
$\frac{a+1}{a^2-2a+1}$的分母：$a^2-2a+1=(a-1)^2=(1-a)^2$
第二步：确定最简公分母
由题可知，通分后的公分母为$(1+a)(1-a)^2$
第三步：计算$\frac{1}{1-a^2}$变形后的分子
原分式$\frac{1}{1-a^2}$的分母为$(1-a)(1+a)$，要得到公分母$(1+a)(1-a)^2$，需要给分母乘$(1-a)$。根据分式的基本性质，分子也要乘相同的整式$(1-a)$，因此变形后的分子为：
$1×(1-a)=1-a$
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式的通分
【点评】
本题是分式通分的基础应用题型，解题核心是熟练掌握分式通分的步骤，注意变形时要保证分子、分母同乘相同的非零整式，避免出现符号或漏乘的错误。
【难度系数】
0.8

10.通分：
(1)$\frac{1}{3ab}$与$\frac{1}{9a^2}$；
(2)$\frac{2n}{n-2}$与$\frac{3n}{n+3}$；
(3)$\frac{1}{2x-2}$与$\frac{1}{(x-1)^2}$；
(4)$\frac{1}{x^2-4}$与$\frac{3}{4-2x}$。

(1)$\frac{1}{3ab}=\frac{3a}{9a^2b}$,$\frac{1}{9a^2}=\frac{b}{9a^2b}$.
(2)$\frac{2n}{n-2}=\frac{2n^2+6n}{n^2+n-6}$,$\frac{3n}{n+3}=\frac{3n^2-6n}{n^2+n-6}$.
(3)$\frac{1}{2x-2}=\frac{x-1}{2(x-1)^2}$,$\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{2}{2(x-1)^2}$.
(4)$\frac{1}{x^2-4}=\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$,$\frac{3}{4-2x}=\frac{-3x-6}{2(x+2)(x-2)}$.

【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘合适的整式，使分母统一为最简公分母。解题可按3步进行：1. 对每个分式的分母因式分解；2. 确定最简公分母：取各分母系数的最小公倍数，相同因式取最高次幂，所有不同因式全部保留；3. 每个分式分子、分母同乘分母变为公分母需要补充的整式，完成通分。各小问对应思路：(1)分母为单项式，可直接找系数最小公倍数和最高次因式得公分母；(2)分母是互质的一次多项式，公分母为两个多项式的乘积；(3)先对第一个分母因式分解，再确定公分母；(4)先对两个分母因式分解，注意第二个分母提取负号后再确定公分母，避免符号错误。
【解析】
(1) 两个分式的分母为$3ab$、$9a^2$，最简公分母为$9a^2b$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{3ab}=\frac{1× 3a}{3ab× 3a}=\frac{3a}{9a^2b}$，
$\frac{1}{9a^2}=\frac{1× b}{9a^2× b}=\frac{b}{9a^2b}$。
(2) 两个分式的分母为$n-2$、$n+3$，最简公分母为$(n-2)(n+3)=n^2+n-6$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{2n}{n-2}=\frac{2n(n+3)}{(n-2)(n+3)}=\frac{2n^2+6n}{n^2+n-6}$，
$\frac{3n}{n+3}=\frac{3n(n-2)}{(n+3)(n-2)}=\frac{3n^2-6n}{n^2+n-6}$。
(3) 先因式分解分母：$2x-2=2(x-1)$，两个分式的分母为$2(x-1)$、$(x-1)^2$，最简公分母为$2(x-1)^2$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{2x-2}=\frac{1×(x-1)}{2(x-1)×(x-1)}=\frac{x-1}{2(x-1)^2}$，
$\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{1× 2}{(x-1)^2× 2}=\frac{2}{2(x-1)^2}$。
(4) 先因式分解分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$4-2x=-2(x-2)$，最简公分母为$2(x+2)(x-2)$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{x^2-4}=\frac{1× 2}{(x+2)(x-2)× 2}=\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$，
$\frac{3}{4-2x}=\frac{3×[-(x+2)]}{-2(x-2)×[-(x+2)]}=\frac{-3x-6}{2(x+2)(x-2)}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3ab}=\frac{3a}{9a^2b}$,$\frac{1}{9a^2}=\frac{b}{9a^2b}$.
(2)$\frac{2n}{n-2}=\frac{2n^2+6n}{n^2+n-6}$,$\frac{3n}{n+3}=\frac{3n^2-6n}{n^2+n-6}$.
(3)$\frac{1}{2x-2}=\frac{x-1}{2(x-1)^2}$,$\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{2}{2(x-1)^2}$.
(4)$\frac{1}{x^2-4}=\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$,$\frac{3}{4-2x}=\frac{-3x-6}{2(x+2)(x-2)}$.
【知识点】
分式的基本性质，最简公分母的确定，分式通分
【点评】
通分的关键是准确找到最简公分母，当分母是多项式时，要先对分母因式分解再确定公分母，遇到含负号的分母要注意符号的统一，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75