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11. 新考法 若$\frac{16x}{16-△}$是一个最简分式，则△可以是（
A.$x$
B.$\frac{1}{4}$
C.$4$
D.$4x$
A
）A.$x$
B.$\frac{1}{4}$
C.$4$
D.$4x$
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是掌握最简分式的定义：分子和分母没有除1以外的公因式的分式叫做最简分式。我们的解题思路是将四个选项的数值依次代入△的位置，分别求出分母，再判断分子16x和所得分母是否存在非1的公因式，同时注意分式的分母需要含有字母，若不存在非1公因式且符合分式要求则该选项符合要求。
【解析】
根据最简分式的定义，逐个验证选项：
1. 代入选项A，△=x：
分母为$16 - x$，分子为$16x$，二者没有除1以外的公因式，且分母含字母x，此时分式$\frac{16x}{16-x}$是最简分式，符合要求。
2. 代入选项B，△=$\frac{1}{4}$：
分母为$16-\frac{1}{4}=\frac{63}{4}$，分母为常数，此时式子不属于分式，不符合要求，排除。
3. 代入选项C，△=4：
分母为$16-4=12$，分母为常数，此时式子不属于分式，且分子$16x$和分母12有公因式4，可约分为$\frac{4x}{3}$，不符合要求，排除。
4. 代入选项D，△=4x：
分母为$16-4x=4(4-x)$，分子$16x=4×4x$，二者有公因式4，可约分，不是最简分式，排除。
【答案】
A
【知识点】
最简分式的定义；公因式的判定
【点评】
本题考查最简分式的相关概念，属于基础题型，解题的关键是牢记最简分式的判定标准，通过代入验证即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握最简分式的定义：分子和分母没有除1以外的公因式的分式叫做最简分式。我们的解题思路是将四个选项的数值依次代入△的位置，分别求出分母，再判断分子16x和所得分母是否存在非1的公因式，同时注意分式的分母需要含有字母，若不存在非1公因式且符合分式要求则该选项符合要求。
【解析】
根据最简分式的定义，逐个验证选项：
1. 代入选项A，△=x：
分母为$16 - x$，分子为$16x$，二者没有除1以外的公因式，且分母含字母x，此时分式$\frac{16x}{16-x}$是最简分式，符合要求。
2. 代入选项B，△=$\frac{1}{4}$：
分母为$16-\frac{1}{4}=\frac{63}{4}$，分母为常数，此时式子不属于分式，不符合要求，排除。
3. 代入选项C，△=4：
分母为$16-4=12$，分母为常数，此时式子不属于分式，且分子$16x$和分母12有公因式4，可约分为$\frac{4x}{3}$，不符合要求，排除。
4. 代入选项D，△=4x：
分母为$16-4x=4(4-x)$，分子$16x=4×4x$，二者有公因式4，可约分，不是最简分式，排除。
【答案】
A
【知识点】
最简分式的定义；公因式的判定
【点评】
本题考查最简分式的相关概念，属于基础题型，解题的关键是牢记最简分式的判定标准，通过代入验证即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
12.在将$\frac{1}{x-2},\frac{1}{(x-2)(x+3)},\frac{2}{(x+3)^2}$通分的过程中,不正确的是(
A.最简公分母为$(x-2)(x+3)^2$
B.$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$
C.$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$
D.$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2x-2}{(x-2)(x+3)^2}$
D
)A.最简公分母为$(x-2)(x+3)^2$
B.$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$
C.$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$
D.$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2x-2}{(x-2)(x+3)^2}$
答案
D
解析
【分析】
解决本题首先要明确分式通分的步骤：第一步先确定几个分式的最简公分母，取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积即可；第二步根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘同一个合适的整式，使分母变为最简公分母。本题要求选出通分过程不正确的选项，只需逐一验证各选项是否符合通分的规则即可。
【解析】
首先确定三个分式的最简公分母：
三个分式的分母分别为$x-2$、$(x-2)(x+3)$、$(x+3)^2$，所含因式为$x-2$（最高次数1）、$x+3$（最高次数2），因此最简公分母为$(x-2)(x+3)^2$，故A选项正确，不符合题意。
接下来逐一验证各分式的通分是否正确：
对$\frac{1}{x-2}$通分：分母需乘$(x+3)^2$，根据分式的基本性质，分子也需乘$(x+3)^2$，得$\frac{1}{x-2}=\frac{1×(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$，故B选项正确，不符合题意。
对$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$通分：分母需乘$(x+3)$，分子也需乘$(x+3)$，得$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{1×(x+3)}{(x-2)(x+3)×(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$，故C选项正确，不符合题意。
对$\frac{2}{(x+3)^2}$通分：分母需乘$(x-2)$，分子也需乘$(x-2)$，得$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2×(x-2)}{(x+3)^2×(x-2)}=\frac{2x-4}{(x-2)(x+3)^2}$，选项中分子为$2x-2$，计算错误，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式的通分；分式的基本性质；最简公分母
【点评】
本题考查分式通分的相关知识，解题的关键是准确确定最简公分母，通分时要注意分子需与分母乘相同的整式，避免出现分子漏乘或计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确分式通分的步骤：第一步先确定几个分式的最简公分母，取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积即可；第二步根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘同一个合适的整式，使分母变为最简公分母。本题要求选出通分过程不正确的选项，只需逐一验证各选项是否符合通分的规则即可。
【解析】
首先确定三个分式的最简公分母：
三个分式的分母分别为$x-2$、$(x-2)(x+3)$、$(x+3)^2$，所含因式为$x-2$（最高次数1）、$x+3$（最高次数2），因此最简公分母为$(x-2)(x+3)^2$，故A选项正确，不符合题意。
接下来逐一验证各分式的通分是否正确：
对$\frac{1}{x-2}$通分：分母需乘$(x+3)^2$，根据分式的基本性质，分子也需乘$(x+3)^2$，得$\frac{1}{x-2}=\frac{1×(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$，故B选项正确，不符合题意。
对$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$通分：分母需乘$(x+3)$，分子也需乘$(x+3)$，得$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{1×(x+3)}{(x-2)(x+3)×(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$，故C选项正确，不符合题意。
对$\frac{2}{(x+3)^2}$通分：分母需乘$(x-2)$，分子也需乘$(x-2)$，得$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2×(x-2)}{(x+3)^2×(x-2)}=\frac{2x-4}{(x-2)(x+3)^2}$，选项中分子为$2x-2$，计算错误，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式的通分；分式的基本性质；最简公分母
【点评】
本题考查分式通分的相关知识，解题的关键是准确确定最简公分母，通分时要注意分子需与分母乘相同的整式，避免出现分子漏乘或计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
13.已知分式$\frac{1}{2y^a}$与$-\frac{1}{bxy}$(a，b是常数且$b＞0$)的最简公分母为$10xy^3$，则$a=$
3
，$b=$5或10
。答案
3；5或10
解析
【分析】
解题时首先回忆最简公分母的确定规则，分别从字母的最高次幂、系数的最小公倍数两个维度分析：首先看字母部分，最简公分母中y的次数是各分母y的最高次幂，由此可直接求出a的值；再看系数部分，最简公分母的系数是两个分母系数的最小公倍数，结合b＞0的条件，找出所有符合要求的b的值即可，注意不要漏解。
【解析】
根据最简公分母的确定规则解题：
1. 求a的值：
两个分式的分母分别为$2y^a$和$bxy$，y在两个分母中的次数分别为a和1，最简公分母$10xy^3$中y的次数为3，因此取y的最高次幂得$a=3$。
2. 求b的值：
两个分母的系数分别为2和b，它们的最小公倍数是最简公分母的系数10，且$b＞0$：
若b与2互质，则$2× b=10$，解得$b=5$；
若b包含因数2，则b必须为10的因数，此时$b=10$（若b＞10，最小公倍数会大于10，不符合要求）。
因此b的取值为5或10。
【答案】
3；5或10
【知识点】
最简公分母的确定；最小公倍数的计算
【点评】
本题属于分式通分的基础题型，重点考查最简公分母的求解逻辑，解题时要分别从系数、字母两个方向分析，特别注意系数的最小公倍数存在多种可能，避免漏写b=10的情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆最简公分母的确定规则，分别从字母的最高次幂、系数的最小公倍数两个维度分析：首先看字母部分，最简公分母中y的次数是各分母y的最高次幂，由此可直接求出a的值；再看系数部分，最简公分母的系数是两个分母系数的最小公倍数，结合b＞0的条件，找出所有符合要求的b的值即可，注意不要漏解。
【解析】
根据最简公分母的确定规则解题：
1. 求a的值：
两个分式的分母分别为$2y^a$和$bxy$，y在两个分母中的次数分别为a和1，最简公分母$10xy^3$中y的次数为3，因此取y的最高次幂得$a=3$。
2. 求b的值：
两个分母的系数分别为2和b，它们的最小公倍数是最简公分母的系数10，且$b＞0$：
若b与2互质，则$2× b=10$，解得$b=5$；
若b包含因数2，则b必须为10的因数，此时$b=10$（若b＞10，最小公倍数会大于10，不符合要求）。
因此b的取值为5或10。
【答案】
3；5或10
【知识点】
最简公分母的确定；最小公倍数的计算
【点评】
本题属于分式通分的基础题型，重点考查最简公分母的求解逻辑，解题时要分别从系数、字母两个方向分析，特别注意系数的最小公倍数存在多种可能，避免漏写b=10的情况。
【难度系数】
0.6
14.约分：
(1)$\frac{2m - 8}{16 - m^2}$；
(2)$\frac{25a^2 - 10ab + b^2}{5a - b}$.
(1)$\frac{2m - 8}{16 - m^2}$；
(2)$\frac{25a^2 - 10ab + b^2}{5a - b}$.
答案
(1)$-\frac{2}{4+m}$.
(2)$5a-b$.
(2)$5a-b$.
解析
【分析】
约分的核心思路是先将分式的分子、分母分别因式分解，找出公因式，再根据分式的基本性质约去公因式，最终化为最简分式。
对于第(1)题：第一步先对分子提公因式变形，第二步对分母用平方差公式因式分解，注意变形后分子分母的符号关系，找到公因式后约去即可，注意需满足分母不为零的隐含条件。
对于第(2)题：第一步观察分子符合完全平方公式的结构，用完全平方公式对分子因式分解，第二步找到分子分母的公因式，约去即可得到结果。
【解析】
(1) 先对分子、分母分别因式分解：
分子：$2m - 8 = 2(m - 4)$
分母：$16 - m^2 = 4^2 - m^2 = (4 - m)(4 + m) = -(m - 4)(4 + m)$（$m ≠ \pm 4$，保证分式有意义）
则原式$=\frac{2(m - 4)}{-(m - 4)(4 + m)}$，约去公因式$(m - 4)$（$m ≠ 4$），可得：
原式$=-\frac{2}{4 + m}$
(2) 先对分子因式分解：
分子：$25a^2 - 10ab + b^2 = (5a)^2 - 2·5a· b + b^2 = (5a - b)^2$（$5a ≠ b$，保证分式有意义）
则原式$=\frac{(5a - b)^2}{5a - b}$，约去公因式$(5a - b)$（$5a ≠ b$），可得：
原式$=5a - b$
【答案】
(1)$-\frac{2}{4+m}$；(2)$5a-b$
【知识点】
因式分解；分式的基本性质；分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法等常见因式分解方法，约分过程中要注意符号的处理，同时要牢记分式有意义的前提是分母不为零。
【难度系数】
0.8
约分的核心思路是先将分式的分子、分母分别因式分解，找出公因式，再根据分式的基本性质约去公因式，最终化为最简分式。
对于第(1)题：第一步先对分子提公因式变形，第二步对分母用平方差公式因式分解，注意变形后分子分母的符号关系，找到公因式后约去即可，注意需满足分母不为零的隐含条件。
对于第(2)题：第一步观察分子符合完全平方公式的结构，用完全平方公式对分子因式分解，第二步找到分子分母的公因式，约去即可得到结果。
【解析】
(1) 先对分子、分母分别因式分解：
分子：$2m - 8 = 2(m - 4)$
分母：$16 - m^2 = 4^2 - m^2 = (4 - m)(4 + m) = -(m - 4)(4 + m)$（$m ≠ \pm 4$，保证分式有意义）
则原式$=\frac{2(m - 4)}{-(m - 4)(4 + m)}$，约去公因式$(m - 4)$（$m ≠ 4$），可得：
原式$=-\frac{2}{4 + m}$
(2) 先对分子因式分解：
分子：$25a^2 - 10ab + b^2 = (5a)^2 - 2·5a· b + b^2 = (5a - b)^2$（$5a ≠ b$，保证分式有意义）
则原式$=\frac{(5a - b)^2}{5a - b}$，约去公因式$(5a - b)$（$5a ≠ b$），可得：
原式$=5a - b$
【答案】
(1)$-\frac{2}{4+m}$；(2)$5a-b$
【知识点】
因式分解；分式的基本性质；分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法等常见因式分解方法，约分过程中要注意符号的处理，同时要牢记分式有意义的前提是分母不为零。
【难度系数】
0.8
15.通分：
(1)$x+y,\frac{2y^2}{x-y}$；
(2)$\frac{x-3}{8-2x},\frac{8}{x^2 - $
$},\frac{x}{x^2 +8x +16}$。
(1)$x+y,\frac{2y^2}{x-y}$；
(2)$\frac{x-3}{8-2x},\frac{8}{x^2 - $
$},\frac{x}{x^2 +8x +16}$。答案
(1)$x+y=\frac{x^2-y^2}{x-y}$,$\frac{2y^2}{x-y}=\frac{2y^2}{x-y}$.
(2)$\frac{x-3}{8-2x}=\frac{(3-x)(x+4)^2}{2(x+4)^2(x-4)}$,$\frac{8}{x^2-16}=\frac{16(x+4)}{2(x+4)^2(x-4)}$,$\frac{x}{x^2+8x+16}=\frac{2x(x-4)}{2(x+4)^2(x-4)}$.
(2)$\frac{x-3}{8-2x}=\frac{(3-x)(x+4)^2}{2(x+4)^2(x-4)}$,$\frac{8}{x^2-16}=\frac{16(x+4)}{2(x+4)^2(x-4)}$,$\frac{x}{x^2+8x+16}=\frac{2x(x-4)}{2(x+4)^2(x-4)}$.
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都变为最简公分母。
（1）两个式子中，整式可看作分母为1的分式，另一个分式分母为$x-y$，因此最简公分母为$x-y$，将整式$x+y$变形为分母是$x-y$的分式即可。
（2）先将三个分式的分母分别因式分解：$8-2x$提公因式得$-2(x-4)$，$x^2-16$用平方差公式分解为$(x+4)(x-4)$，$x^2+8x+16$用完全平方公式分解为$(x+4)^2$，取各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂，得到最简公分母为$2(x+4)^2(x-4)$，再分别对每个分式的分子分母同乘缺少的因式，注意调整分母的负号。
【解析】
(1) 最简公分母为$x-y$：
将$x+y$看作分母为1的分式，分子分母同乘$x-y$，得$x+y=\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}=\frac{x^2-y^2}{x-y}$；
$\frac{2y^2}{x-y}$的分母已经是$x-y$，无需变形。
(2) 先对各分母因式分解：
$8-2x=-2(x-4)$，$x^2-16=(x+4)(x-4)$，$x^2+8x+16=(x+4)^2$，因此最简公分母为$2(x+4)^2(x-4)$：
① $\frac{x-3}{8-2x}$的分子分母同乘$(x+4)^2$，同时调整分母的负号到分子，得$\frac{x-3}{8-2x}=\frac{(x-3)×(-1)×(x+4)^2}{2(x-4)×(x+4)^2}=\frac{(3-x)(x+4)^2}{2(x+4)^2(x-4)}$；
② $\frac{8}{x^2-16}$的分子分母同乘$2(x+4)$，得$\frac{8}{x^2-16}=\frac{8×2(x+4)}{(x+4)(x-4)×2(x+4)}=\frac{16(x+4)}{2(x+4)^2(x-4)}$；
③ $\frac{x}{x^2+8x+16}$的分子分母同乘$2(x-4)$，得$\frac{x}{x^2+8x+16}=\frac{x×2(x-4)}{(x+4)^2×2(x-4)}=\frac{2x(x-4)}{2(x+4)^2(x-4)}$。
【答案】
(1)$x+y=\frac{x^2-y^2}{x-y}$,$\frac{2y^2}{x-y}=\frac{2y^2}{x-y}$；
(2)$\frac{x-3}{8-2x}=\frac{(3-x)(x+4)^2}{2(x+4)^2(x-4)}$,$\frac{8}{x^2-16}=\frac{16(x+4)}{2(x+4)^2(x-4)}$,$\frac{x}{x^2+8x+16}=\frac{2x(x-4)}{2(x+4)^2(x-4)}$。
【知识点】
分式通分，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题的关键是先正确对分母因式分解，准确找到最简公分母，注意分母含负号时要将负号移到分子处，整式通分时要视为分母为1的分式处理，熟练掌握因式分解的方法是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.75
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都变为最简公分母。
（1）两个式子中，整式可看作分母为1的分式，另一个分式分母为$x-y$，因此最简公分母为$x-y$，将整式$x+y$变形为分母是$x-y$的分式即可。
（2）先将三个分式的分母分别因式分解：$8-2x$提公因式得$-2(x-4)$，$x^2-16$用平方差公式分解为$(x+4)(x-4)$，$x^2+8x+16$用完全平方公式分解为$(x+4)^2$，取各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂，得到最简公分母为$2(x+4)^2(x-4)$，再分别对每个分式的分子分母同乘缺少的因式，注意调整分母的负号。
【解析】
(1) 最简公分母为$x-y$：
将$x+y$看作分母为1的分式，分子分母同乘$x-y$，得$x+y=\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}=\frac{x^2-y^2}{x-y}$；
$\frac{2y^2}{x-y}$的分母已经是$x-y$，无需变形。
(2) 先对各分母因式分解：
$8-2x=-2(x-4)$，$x^2-16=(x+4)(x-4)$，$x^2+8x+16=(x+4)^2$，因此最简公分母为$2(x+4)^2(x-4)$：
① $\frac{x-3}{8-2x}$的分子分母同乘$(x+4)^2$，同时调整分母的负号到分子，得$\frac{x-3}{8-2x}=\frac{(x-3)×(-1)×(x+4)^2}{2(x-4)×(x+4)^2}=\frac{(3-x)(x+4)^2}{2(x+4)^2(x-4)}$；
② $\frac{8}{x^2-16}$的分子分母同乘$2(x+4)$，得$\frac{8}{x^2-16}=\frac{8×2(x+4)}{(x+4)(x-4)×2(x+4)}=\frac{16(x+4)}{2(x+4)^2(x-4)}$；
③ $\frac{x}{x^2+8x+16}$的分子分母同乘$2(x-4)$，得$\frac{x}{x^2+8x+16}=\frac{x×2(x-4)}{(x+4)^2×2(x-4)}=\frac{2x(x-4)}{2(x+4)^2(x-4)}$。
【答案】
(1)$x+y=\frac{x^2-y^2}{x-y}$,$\frac{2y^2}{x-y}=\frac{2y^2}{x-y}$；
(2)$\frac{x-3}{8-2x}=\frac{(3-x)(x+4)^2}{2(x+4)^2(x-4)}$,$\frac{8}{x^2-16}=\frac{16(x+4)}{2(x+4)^2(x-4)}$,$\frac{x}{x^2+8x+16}=\frac{2x(x-4)}{2(x+4)^2(x-4)}$。
【知识点】
分式通分，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题的关键是先正确对分母因式分解，准确找到最简公分母，注意分母含负号时要将负号移到分子处，整式通分时要视为分母为1的分式处理，熟练掌握因式分解的方法是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.75
16. 中考趋势·开放性问题 已知代数式$A=a^2 - 4$，$B=2a^2 + 4a$，$C=a^2 + 4a + 4$。从$A$，$B$，$C$中任选两个分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式，再求当$a = 1$时分式的值。
答案
(答案不唯一)选择$A=a^2-4$作为分子,$B=2a^2+4a$作为分母,则$\frac{A}{B}=\frac{a-2}{2a}$.当$a=1$时,$\frac{A}{B}=-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
这是一道开放性题目，解题思路如下：第一步可从A、B、C中任选两个，将其中一个作为分子、另一个作为分母组成分式，注意分母需含有字母，符合分式定义；第二步分别对分子、分母因式分解，找到公因式后约分得到最简分式；第三步代入a=1计算值，代入前要确认a的取值不会使原分式分母为0。本次我们选择A为分子、B为分母进行求解。
【解析】
解：选择$A=a^2-4$作为分子，$B=2a^2+4a$作为分母，组成的分式为$\frac{A}{B}=\frac{a^2-4}{2a^2+4a}$。
1. 因式分解分子、分母：
分子$a^2-4$符合平方差公式，分解得$a^2-4=(a+2)(a-2)$；
分母$2a^2+4a$提取公因式$2a$，分解得$2a^2+4a=2a(a+2)$。
2. 约分：约去分子、分母的公因式$(a+2)$（需满足$a≠-2$且$a≠0$，保证原分式有意义），可得：
$\frac{(a+2)(a-2)}{2a(a+2)}=\frac{a-2}{2a}$
3. 代入$a=1$求值：
将$a=1$代入$\frac{a-2}{2a}$，得$\frac{1-2}{2×1}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(答案不唯一)选择$A=a^2-4$作为分子,$B=2a^2+4a$作为分母,则$\frac{A}{B}=\frac{a-2}{2a}$.当$a=1$时,$\frac{A}{B}=-\frac{1}{2}$.
【知识点】
因式分解；分式约分；代数式求值
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，核心考查分式的相关运算，解题时需注意先将分式约分化为最简形式再代入求值，同时要保证所取的a的值使原分式的分母不为0。
【难度系数】
0.8
这是一道开放性题目，解题思路如下：第一步可从A、B、C中任选两个，将其中一个作为分子、另一个作为分母组成分式，注意分母需含有字母，符合分式定义；第二步分别对分子、分母因式分解，找到公因式后约分得到最简分式；第三步代入a=1计算值，代入前要确认a的取值不会使原分式分母为0。本次我们选择A为分子、B为分母进行求解。
【解析】
解：选择$A=a^2-4$作为分子，$B=2a^2+4a$作为分母，组成的分式为$\frac{A}{B}=\frac{a^2-4}{2a^2+4a}$。
1. 因式分解分子、分母：
分子$a^2-4$符合平方差公式，分解得$a^2-4=(a+2)(a-2)$；
分母$2a^2+4a$提取公因式$2a$，分解得$2a^2+4a=2a(a+2)$。
2. 约分：约去分子、分母的公因式$(a+2)$（需满足$a≠-2$且$a≠0$，保证原分式有意义），可得：
$\frac{(a+2)(a-2)}{2a(a+2)}=\frac{a-2}{2a}$
3. 代入$a=1$求值：
将$a=1$代入$\frac{a-2}{2a}$，得$\frac{1-2}{2×1}=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(答案不唯一)选择$A=a^2-4$作为分子,$B=2a^2+4a$作为分母,则$\frac{A}{B}=\frac{a-2}{2a}$.当$a=1$时,$\frac{A}{B}=-\frac{1}{2}$.
【知识点】
因式分解；分式约分；代数式求值
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，核心考查分式的相关运算，解题时需注意先将分式约分化为最简形式再代入求值，同时要保证所取的a的值使原分式的分母不为0。
【难度系数】
0.8
17.运算能力 如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式不可约分,那么我们称这个分式为“和谐分式”.
(1)下列分式:①$\frac{x-1}{x^2+1}$;②$\frac{a-2b}{a^2-b^2}$;③$\frac{x+y}{x^2-y^2}$;④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$.其中是“和谐分式”的是
(2)若$a$为正整数,且$\frac{x+1}{x^2+ax+4}$为“和谐分式”,则$a$的值为
(3)在下列三个整式中,任意选择两个式子构造分式,分别作为分子、分母,要求构造的分式是“和谐分式”,写出所有符合要求的分式.
$m^2-n^2$;$m^2+2mn+n^2$;$m-n$.
(1)下列分式:①$\frac{x-1}{x^2+1}$;②$\frac{a-2b}{a^2-b^2}$;③$\frac{x+y}{x^2-y^2}$;④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$.其中是“和谐分式”的是
②
(填写序号即可);(2)若$a$为正整数,且$\frac{x+1}{x^2+ax+4}$为“和谐分式”,则$a$的值为
4
;(3)在下列三个整式中,任意选择两个式子构造分式,分别作为分子、分母,要求构造的分式是“和谐分式”,写出所有符合要求的分式.
$m^2-n^2$;$m^2+2mn+n^2$;$m-n$.
答案
(1)②
(2)4
(3)$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2}$或$\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$.
(2)4
(3)$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2}$或$\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$.
解析
【分析】
先明确“和谐分式”需同时满足两个条件：①分子或分母至少有一个可以因式分解；②分式不存在公因式（不可约分）。
(1) 逐个判断4个分式是否同时满足两个条件即可得出结果；
(2) 分子x+1不能再因式分解，因此分母x²+ax+4必须能因式分解，且分解后不含因式(x+1)（避免与分子约分），结合a为正整数，用十字相乘法分解二次三项式，排除能约分的情况即可得到a的值；
(3) 先将三个整式全部因式分解，再列举所有可能构造的分式，逐一验证是否符合“和谐分式”的条件，筛选出符合要求的分式即可。
【解析】
(1) 对四个分式逐一判断：
① 分母$x^2+1$不能因式分解，不满足“分子或分母可因式分解”的条件，不是和谐分式；
② 分母$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$可因式分解，分子$a-2b$与分母没有公因式，不可约分，符合和谐分式定义；
③ 分母$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$可因式分解，分子$x+y$与分母有公因式$x+y$，可以约分，不是和谐分式；
④ 分子$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$可因式分解，分母$(a+b)^2$与分子有公因式$a+b$，可以约分，不是和谐分式；
(2) 分子$x+1$不能因式分解，因此分母$x^2+ax+4$需能因式分解，且分解后不含因式$x+1$：
$x^2+ax+4$为二次三项式，常数项4的正整数分解有$1×4$、$2×2$：
若分解为$(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$，此时$a=5$，分母含因式$x+1$，与分子可约分，不符合要求；
若分解为$(x+2)(x+2)=x^2+4x+4$，此时$a=4$，分母不含因式$x+1$，与分子不可约分，符合要求；
(3) 先将三个整式因式分解：
$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$，$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，$m-n$不能因式分解。
列举所有构造的分式并判断：
$\frac{m-n}{m^2-n^2}$：分母含因式$m-n$，可约分，不符合；
$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2}$：分母可因式分解为$(m+n)^2$，与分子无公因式，不可约分，符合；
$\frac{m^2-n^2}{m-n}$：分子含因式$m-n$，可约分，不符合；
$\frac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}$：分子分母含公因式$m+n$，可约分，不符合；
$\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$：分子可因式分解为$(m+n)^2$，与分母无公因式，不可约分，符合；
$\frac{m^2+2mn+n^2}{m^2-n^2}$：分子分母含公因式$m+n$，可约分，不符合；
【答案】
(1)②
(2)4
(3)$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2}$或$\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$
【知识点】
新定义运算，因式分解，分式的约分
【点评】
本题以新定义“和谐分式”为背景，核心考查因式分解的方法和分式约分的规则，解题的关键是准确把握新定义的两个判定条件，逐一验证即可解决问题。
【难度系数】
0.7
先明确“和谐分式”需同时满足两个条件：①分子或分母至少有一个可以因式分解；②分式不存在公因式（不可约分）。
(1) 逐个判断4个分式是否同时满足两个条件即可得出结果；
(2) 分子x+1不能再因式分解，因此分母x²+ax+4必须能因式分解，且分解后不含因式(x+1)（避免与分子约分），结合a为正整数，用十字相乘法分解二次三项式，排除能约分的情况即可得到a的值；
(3) 先将三个整式全部因式分解，再列举所有可能构造的分式，逐一验证是否符合“和谐分式”的条件，筛选出符合要求的分式即可。
【解析】
(1) 对四个分式逐一判断：
① 分母$x^2+1$不能因式分解，不满足“分子或分母可因式分解”的条件，不是和谐分式；
② 分母$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$可因式分解，分子$a-2b$与分母没有公因式，不可约分，符合和谐分式定义；
③ 分母$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$可因式分解，分子$x+y$与分母有公因式$x+y$，可以约分，不是和谐分式；
④ 分子$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$可因式分解，分母$(a+b)^2$与分子有公因式$a+b$，可以约分，不是和谐分式；
(2) 分子$x+1$不能因式分解，因此分母$x^2+ax+4$需能因式分解，且分解后不含因式$x+1$：
$x^2+ax+4$为二次三项式，常数项4的正整数分解有$1×4$、$2×2$：
若分解为$(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$，此时$a=5$，分母含因式$x+1$，与分子可约分，不符合要求；
若分解为$(x+2)(x+2)=x^2+4x+4$，此时$a=4$，分母不含因式$x+1$，与分子不可约分，符合要求；
(3) 先将三个整式因式分解：
$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$，$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，$m-n$不能因式分解。
列举所有构造的分式并判断：
$\frac{m-n}{m^2-n^2}$：分母含因式$m-n$，可约分，不符合；
$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2}$：分母可因式分解为$(m+n)^2$，与分子无公因式，不可约分，符合；
$\frac{m^2-n^2}{m-n}$：分子含因式$m-n$，可约分，不符合；
$\frac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}$：分子分母含公因式$m+n$，可约分，不符合；
$\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$：分子可因式分解为$(m+n)^2$，与分母无公因式，不可约分，符合；
$\frac{m^2+2mn+n^2}{m^2-n^2}$：分子分母含公因式$m+n$，可约分，不符合；
【答案】
(1)②
(2)4
(3)$\frac{m-n}{m^2+2mn+n^2}$或$\frac{m^2+2mn+n^2}{m-n}$
【知识点】
新定义运算，因式分解，分式的约分
【点评】
本题以新定义“和谐分式”为背景，核心考查因式分解的方法和分式约分的规则，解题的关键是准确把握新定义的两个判定条件，逐一验证即可解决问题。
【难度系数】
0.7
