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10. 能力训练点·批判性思维 对分式$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$的变形，
甲同学的做法是$\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a + b)(a - b)}{a + b} = a - b$；乙同学的做法是$\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a^2 - b^2)(a - b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{(a^2 - b^2)(a - b)}{a^2 - b^2} = a - b$。
请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的做法是否正确，并说明理由。
甲同学的做法是$\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a + b)(a - b)}{a + b} = a - b$；乙同学的做法是$\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a^2 - b^2)(a - b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{(a^2 - b^2)(a - b)}{a^2 - b^2} = a - b$。
请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的做法是否正确，并说明理由。
答案
解: 甲同学的做法正确,乙同学的做法错误.理由略.
解析
【分析】
解题需先明确分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，判断两人做法正误的核心是看他们乘除的整式是否满足“不为0”的要求。首先原分式$\frac{a^2 - b^2}{a+b}$有意义的隐含条件是分母$a+b≠0$，甲的操作是分子分母同除以$a+b$，符合性质要求；乙的操作是分子分母同乘$a-b$，但$a-b$的值可能为0，不符合性质要求，由此可判断两人做法的正误。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，分析如下：
1. 甲同学的做法：
要使原分式$\frac{a^2 - b^2}{a+b}$有意义，需满足分母$a+b≠0$。甲先利用平方差公式将分子因式分解，再将分子分母同时除以不为0的$a+b$，操作符合分式的基本性质，因此做法正确。
2. 乙同学的做法：
乙将分子分母同时乘整式$a-b$，但$a-b$的取值可能为0（当$a=b$时，$a-b=0$），此时乘0的操作不符合分式基本性质中“乘除的整式不能为0”的要求，因此做法错误。
【答案】
甲同学的做法正确，乙同学的做法错误。理由：甲同除以的$a+b$不为0（原分式有意义可确定），符合分式基本性质；乙未考虑$a-b$可能为0的情况，同乘的整式可能为0，不符合分式基本性质。
【知识点】
分式的基本性质，平方差公式，分式有意义的条件
【点评】
本题侧重考查对分式基本性质的准确掌握，解题的关键是牢记分子分母同乘除的整式必须不为0，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.7
解题需先明确分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，判断两人做法正误的核心是看他们乘除的整式是否满足“不为0”的要求。首先原分式$\frac{a^2 - b^2}{a+b}$有意义的隐含条件是分母$a+b≠0$，甲的操作是分子分母同除以$a+b$，符合性质要求；乙的操作是分子分母同乘$a-b$，但$a-b$的值可能为0，不符合性质要求，由此可判断两人做法的正误。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，分析如下：
1. 甲同学的做法：
要使原分式$\frac{a^2 - b^2}{a+b}$有意义，需满足分母$a+b≠0$。甲先利用平方差公式将分子因式分解，再将分子分母同时除以不为0的$a+b$，操作符合分式的基本性质，因此做法正确。
2. 乙同学的做法：
乙将分子分母同时乘整式$a-b$，但$a-b$的取值可能为0（当$a=b$时，$a-b=0$），此时乘0的操作不符合分式基本性质中“乘除的整式不能为0”的要求，因此做法错误。
【答案】
甲同学的做法正确，乙同学的做法错误。理由：甲同除以的$a+b$不为0（原分式有意义可确定），符合分式基本性质；乙未考虑$a-b$可能为0的情况，同乘的整式可能为0，不符合分式基本性质。
【知识点】
分式的基本性质，平方差公式，分式有意义的条件
【点评】
本题侧重考查对分式基本性质的准确掌握，解题的关键是牢记分子分母同乘除的整式必须不为0，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.7
11. 中考趋势·阅读理解 阅读下列材料：
已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，求分式$\frac{3x -5xy -3y}{x +6xy -y}$的值.
解:由题意知$xy≠0$,
∴将分式的分子与分母同时除以$xy$,得
原式$=\frac{(3x -5xy -3y)÷xy}{(x +6xy -y)÷xy}=\frac{\frac{3}{y} -5 -\frac{3}{x}}{\frac{1}{y} +6 -\frac{1}{x}}=\frac{3(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}) -5}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x} +6}$,
∵$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}=2$,∴$\frac{1}{y} - \frac{1}{x}=-2$,
∴原式$=\frac{3×(-2)-5}{-2 +6}=-\frac{11}{4}$.
根据上面的解题方法解决下面的问题:
若$\frac{3}{n} - \frac{1}{m}=2$,求分式
$\frac{-6m -5mn +2n}{3m -n}$的值.
已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，求分式$\frac{3x -5xy -3y}{x +6xy -y}$的值.
解:由题意知$xy≠0$,
∴将分式的分子与分母同时除以$xy$,得
原式$=\frac{(3x -5xy -3y)÷xy}{(x +6xy -y)÷xy}=\frac{\frac{3}{y} -5 -\frac{3}{x}}{\frac{1}{y} +6 -\frac{1}{x}}=\frac{3(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}) -5}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x} +6}$,
∵$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}=2$,∴$\frac{1}{y} - \frac{1}{x}=-2$,
∴原式$=\frac{3×(-2)-5}{-2 +6}=-\frac{11}{4}$.
根据上面的解题方法解决下面的问题:
若$\frac{3}{n} - \frac{1}{m}=2$,求分式
$\frac{-6m -5mn +2n}{3m -n}$的值.答案
解: $-\frac{9}{2}.$
解析
【分析】
本题属于材料阅读类求值题，可仿照题目给出的解题方法求解：首先由已知条件中出现分式$\frac{1}{m}$、$\frac{1}{n}$，可知$m≠0$、$n≠0$，因此$mn≠0$，可利用分式的基本性质，将所求分式的分子和分母同时除以$mn$，将分式变形为含有已知式“$\frac{3}{n}-\frac{1}{m}$”的形式，再将已知条件整体代入计算即可，无需单独求解$m$、$n$的数值。
【解析】
解：由题意得$m≠0$，$n≠0$，$\therefore mn≠0$，
将所求分式的分子、分母同时除以$mn$，得：
原式$=\frac{(-6m -5mn +2n)÷ mn}{(3m -n)÷ mn}$
$=\frac{-\frac{6}{n} -5 +\frac{2}{m}}{\frac{3}{n} - \frac{1}{m}}$
$=\frac{-2(\frac{3}{n} - \frac{1}{m}) -5}{\frac{3}{n} - \frac{1}{m}}$
$\because \frac{3}{n} - \frac{1}{m}=2$，
$\therefore$将其代入上式得：
原式$=\frac{-2×2 -5}{2}=\frac{-4-5}{2}=-\frac{9}{2}$
【答案】
$-\frac{9}{2}$
【知识点】
分式的基本性质，整体代入求值
【点评】
本题考查阅读材料后的方法迁移应用，解题的核心是灵活运用分式的基本性质对所求分式变形，将已知条件作为整体代入计算，避免了求解未知数的繁琐步骤，能有效简化运算。
【难度系数】
0.7
本题属于材料阅读类求值题，可仿照题目给出的解题方法求解：首先由已知条件中出现分式$\frac{1}{m}$、$\frac{1}{n}$，可知$m≠0$、$n≠0$，因此$mn≠0$，可利用分式的基本性质，将所求分式的分子和分母同时除以$mn$，将分式变形为含有已知式“$\frac{3}{n}-\frac{1}{m}$”的形式，再将已知条件整体代入计算即可，无需单独求解$m$、$n$的数值。
【解析】
解：由题意得$m≠0$，$n≠0$，$\therefore mn≠0$，
将所求分式的分子、分母同时除以$mn$，得：
原式$=\frac{(-6m -5mn +2n)÷ mn}{(3m -n)÷ mn}$
$=\frac{-\frac{6}{n} -5 +\frac{2}{m}}{\frac{3}{n} - \frac{1}{m}}$
$=\frac{-2(\frac{3}{n} - \frac{1}{m}) -5}{\frac{3}{n} - \frac{1}{m}}$
$\because \frac{3}{n} - \frac{1}{m}=2$，
$\therefore$将其代入上式得：
原式$=\frac{-2×2 -5}{2}=\frac{-4-5}{2}=-\frac{9}{2}$
【答案】
$-\frac{9}{2}$
【知识点】
分式的基本性质，整体代入求值
【点评】
本题考查阅读材料后的方法迁移应用，解题的核心是灵活运用分式的基本性质对所求分式变形，将已知条件作为整体代入计算，避免了求解未知数的繁琐步骤，能有效简化运算。
【难度系数】
0.7
1.已知$x+\frac{1}{x}=3$，试求下列各式的值：
(1)$x^2+\frac{1}{x^2}=$
(1)$x^2+\frac{1}{x^2}=$
7
；(2)$x^4+\frac{1}{x^4}=$47
；(3)$x-\frac{1}{x}=$$\pm\sqrt{5}$
.答案
(1)7 (2)47 (3)$\pm\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题可利用完全平方公式的变形求解，已知$x+\frac{1}{x}=3$，通过对已知等式两边平方，结合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开后可直接求出(1)的结果；再以(1)的结果为基础，再次平方即可求出(2)的结果；求$x-\frac{1}{x}$时，利用完全平方公式的变形$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$先求出其平方值，再开方即可，注意开方结果有正负两种情况。
【解析】
(1) 对$x+\frac{1}{x}=3$两边同时平方，得：
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 3^2 = 9$
化简得$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}=9$，移项计算得：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=9-2=7$
(2) 把(1)中得到的$x^2+\frac{1}{x^2}=7$两边同时平方，得：
$(x^2+\frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2· x^2· \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = 7^2=49$
化简得$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}=49$，移项计算得：
$x^4+\frac{1}{x^4}=49-2=47$
(3) 根据完全平方公式变形可得：
$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = (x^2+\frac{1}{x^2}) - 2$
把$x^2+\frac{1}{x^2}=7$代入上式，得：
$(x-\frac{1}{x})^2=7-2=5$
两边开平方得：
$x-\frac{1}{x}=\pm\sqrt{5}$
【答案】
(1)7；(2)47；(3)$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式、分式运算、代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的展开式及变形，注意求一个数的平方根时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题可利用完全平方公式的变形求解，已知$x+\frac{1}{x}=3$，通过对已知等式两边平方，结合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开后可直接求出(1)的结果；再以(1)的结果为基础，再次平方即可求出(2)的结果；求$x-\frac{1}{x}$时，利用完全平方公式的变形$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$先求出其平方值，再开方即可，注意开方结果有正负两种情况。
【解析】
(1) 对$x+\frac{1}{x}=3$两边同时平方，得：
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 3^2 = 9$
化简得$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}=9$，移项计算得：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=9-2=7$
(2) 把(1)中得到的$x^2+\frac{1}{x^2}=7$两边同时平方，得：
$(x^2+\frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2· x^2· \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = 7^2=49$
化简得$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}=49$，移项计算得：
$x^4+\frac{1}{x^4}=49-2=47$
(3) 根据完全平方公式变形可得：
$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = (x^2+\frac{1}{x^2}) - 2$
把$x^2+\frac{1}{x^2}=7$代入上式，得：
$(x-\frac{1}{x})^2=7-2=5$
两边开平方得：
$x-\frac{1}{x}=\pm\sqrt{5}$
【答案】
(1)7；(2)47；(3)$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式、分式运算、代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的展开式及变形，注意求一个数的平方根时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2. 已知$x^2 -5x +1=0$,则$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值为
23
.答案
23
解析
【分析】
首先观察已知方程和所求代数式的特点：先确定x≠0（若x=0，代入已知方程左边为1≠0，矛盾），因此可对已知方程两边同时除以x，变形得到x + 1/x的值；所求的x² + 1/x²符合完全平方公式的变形结构，可利用(a+b)²=a²+2ab+b²的变形式a²+b²=(a+b)²-2ab，将x + 1/x的值代入即可求出结果。
【解析】
解：
∵ 当x=0时，代入方程$x^2 -5x +1=0$，左边=1≠0，
∴ $x≠0$，
将方程$x^2 -5x +1=0$两边同时除以x，得：
$x - 5 + \frac{1}{x} = 0$，
移项得：$x + \frac{1}{x} = 5$，
将等式两边同时平方，得：
$(x + \frac{1}{x})^2 = 5^2$，
根据完全平方公式展开左边：$x^2 + 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} =25$，
化简得：$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} =25$，
移项计算得：$x^2 + \frac{1}{x^2} =25 -2=23$。
【答案】
23
【知识点】
分式的基本性质、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是常见的代数变形类题型，解题的关键是先挖掘出隐含条件x≠0，将已知方程转化为x与1/x的和的形式，再灵活运用完全平方公式的变形求解，能很好地考查学生的代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知方程和所求代数式的特点：先确定x≠0（若x=0，代入已知方程左边为1≠0，矛盾），因此可对已知方程两边同时除以x，变形得到x + 1/x的值；所求的x² + 1/x²符合完全平方公式的变形结构，可利用(a+b)²=a²+2ab+b²的变形式a²+b²=(a+b)²-2ab，将x + 1/x的值代入即可求出结果。
【解析】
解：
∵ 当x=0时，代入方程$x^2 -5x +1=0$，左边=1≠0，
∴ $x≠0$，
将方程$x^2 -5x +1=0$两边同时除以x，得：
$x - 5 + \frac{1}{x} = 0$，
移项得：$x + \frac{1}{x} = 5$，
将等式两边同时平方，得：
$(x + \frac{1}{x})^2 = 5^2$，
根据完全平方公式展开左边：$x^2 + 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} =25$，
化简得：$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} =25$，
移项计算得：$x^2 + \frac{1}{x^2} =25 -2=23$。
【答案】
23
【知识点】
分式的基本性质、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是常见的代数变形类题型，解题的关键是先挖掘出隐含条件x≠0，将已知方程转化为x与1/x的和的形式，再灵活运用完全平方公式的变形求解，能很好地考查学生的代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
3.若实数$x$满足$x-\dfrac{1}{x}=1$，则$\dfrac{x^2}{x^4 + x^2 +1}$的值是________.
答案
$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
本题若直接求解x的值再代入计算会比较繁琐，我们可以利用整体代入的思想简化计算：首先由已知式$x-\frac{1}{x}=1$有意义可得$x≠0$，将已知式两边平方可求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值；再将所求分式的分子、分母同时除以$x^2$（符合分式的基本性质），即可将分式变形为含有$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，最后整体代入计算即可。
【解析】
解：$\because x-\frac{1}{x}=1$有意义，$\therefore x≠0$
将$x-\frac{1}{x}=1$两边同时平方，得：
$(x-\frac{1}{x})^2=1^2$
由完全平方公式展开左边：$x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=1$
化简得：$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}=1$，整理得$x^2 + \frac{1}{x^2}=3$
将所求分式$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的分子、分母同时除以$x^2$（根据分式的基本性质，分式值不变）：
$\frac{x^2÷ x^2}{(x^4 + x^2 + 1)÷ x^2}=\frac{1}{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}$
将$x^2 + \frac{1}{x^2}=3$代入上式，得：
$\frac{1}{3 + 1}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
分式的基本性质；完全平方公式
【点评】
本题是分式求值类的典型题型，核心是运用整体代入的思想，通过对已知式和待求式的合理变形简化计算，避免了直接求解未知数的繁琐，熟练掌握分式变形技巧和完全平方公式是解题的关键。
【难度系数】
0.65
本题若直接求解x的值再代入计算会比较繁琐，我们可以利用整体代入的思想简化计算：首先由已知式$x-\frac{1}{x}=1$有意义可得$x≠0$，将已知式两边平方可求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值；再将所求分式的分子、分母同时除以$x^2$（符合分式的基本性质），即可将分式变形为含有$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，最后整体代入计算即可。
【解析】
解：$\because x-\frac{1}{x}=1$有意义，$\therefore x≠0$
将$x-\frac{1}{x}=1$两边同时平方，得：
$(x-\frac{1}{x})^2=1^2$
由完全平方公式展开左边：$x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=1$
化简得：$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}=1$，整理得$x^2 + \frac{1}{x^2}=3$
将所求分式$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的分子、分母同时除以$x^2$（根据分式的基本性质，分式值不变）：
$\frac{x^2÷ x^2}{(x^4 + x^2 + 1)÷ x^2}=\frac{1}{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}$
将$x^2 + \frac{1}{x^2}=3$代入上式，得：
$\frac{1}{3 + 1}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
分式的基本性质；完全平方公式
【点评】
本题是分式求值类的典型题型，核心是运用整体代入的思想，通过对已知式和待求式的合理变形简化计算，避免了直接求解未知数的繁琐，熟练掌握分式变形技巧和完全平方公式是解题的关键。
【难度系数】
0.65
