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8. 若$a＜-1$，则一次函数$y=(a+1)x+1-a$的大致图象可能是（ ）
答案
D
9. 直线$y=kx+b$和$y=bx+k$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 （ ）
答案
A
10. 当 $ k $ 为任意实数时，直线 $ y = kx - (k - 2) $ 恒经过点 ______．
答案
(1,2)
11. 在一次函数 $ y = 2x - 3 $ 的图象上到 $ x $ 轴的距离等于 1 的点的坐标是 ______．
答案
(2,1)或(1,-1)
12. 已知 $ y $ 与 $ x+m $（$ m $ 为常数）成正比例，当 $ x=3 $ 时，$ y=5 $；当 $ x=1 $ 时，$ y=1 $。
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式。
(2) 若点 $ P(a,b) $ 在(1)中函数的图象上，求 $ 4a^2 - b^2 - 2b - 3 $ 的值。
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式。
(2) 若点 $ P(a,b) $ 在(1)中函数的图象上，求 $ 4a^2 - b^2 - 2b - 3 $ 的值。
答案
解：
(1)设$y = k(x + m)(k\neq0)，$把$x = 3，$$y = 5；$$x = 1，$$y = 1$代入，得$\begin{cases}k(3 + m)=5\\k(1 + m)=1\end{cases}$ 由$k(3 + m)=5$可得$k=\frac{5}{3 + m}，$由$k(1 + m)=1$可得$k=\frac{1}{1 + m}。$ 则$\frac{5}{3 + m}=\frac{1}{1 + m}，$ $5(1 + m)=3 + m，$ $5 + 5m=3 + m，$ $5m - m=3 - 5，$ $4m=-2，$ $m=-\frac{1}{2}。$ 把$m = -\frac{1}{2}$代入$k(1 + m)=1，$$k\left(1-\frac{1}{2}\right)=1，$$\frac{1}{2}k = 1，$$k = 2。$ 所以$y = 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x - 1。$ (2)把$P(a,b)$代入$y = 2x - 1，$得$2a - 1 = b，$即$2a - b = 1，$$2a=1 + b。$ $4a^{2}-b^{2}-2b - 3=(2a)^{2}-(b^{2}+2b + 1)-2=(2a)^{2}-(b + 1)^{2}-2$ 把$2a=1 + b$代入上式得：$(b + 1)^{2}-(b + 1)^{2}-2=-2。$
(1)设$y = k(x + m)(k\neq0)，$把$x = 3，$$y = 5；$$x = 1，$$y = 1$代入，得$\begin{cases}k(3 + m)=5\\k(1 + m)=1\end{cases}$ 由$k(3 + m)=5$可得$k=\frac{5}{3 + m}，$由$k(1 + m)=1$可得$k=\frac{1}{1 + m}。$ 则$\frac{5}{3 + m}=\frac{1}{1 + m}，$ $5(1 + m)=3 + m，$ $5 + 5m=3 + m，$ $5m - m=3 - 5，$ $4m=-2，$ $m=-\frac{1}{2}。$ 把$m = -\frac{1}{2}$代入$k(1 + m)=1，$$k\left(1-\frac{1}{2}\right)=1，$$\frac{1}{2}k = 1，$$k = 2。$ 所以$y = 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x - 1。$ (2)把$P(a,b)$代入$y = 2x - 1，$得$2a - 1 = b，$即$2a - b = 1，$$2a=1 + b。$ $4a^{2}-b^{2}-2b - 3=(2a)^{2}-(b^{2}+2b + 1)-2=(2a)^{2}-(b + 1)^{2}-2$ 把$2a=1 + b$代入上式得：$(b + 1)^{2}-(b + 1)^{2}-2=-2。$
13. 如图，直线$y=-x-4$交$x$轴、$y$轴于点$A$、$C$，点$B(0,2)$在$y$轴上，作直线$AB$.
(1)求直线$AB$的函数表达式.
(2)若$P$为线段$AB$上一动点，且$S_{△ APC}=S_{△ AOC}$，求点$P$的坐标.
(1)求直线$AB$的函数表达式.
(2)若$P$为线段$AB$上一动点，且$S_{△ APC}=S_{△ AOC}$，求点$P$的坐标.
答案
解：
(1)因为直线$y=-x - 4$分别交$x$轴、$y$轴于点$A$、$C，$ 当$y = 0$时，$-x - 4=0，$解得$x=-4，$所以$A(-4,0)；$ 当$x = 0$时，$y=-4，$所以$C(0,-4)。$ 设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b(k\neq0)，$把$A(-4,0)，$$B(0,2)$代入，得$\begin{cases}b = 2\\0=-4k + b\end{cases}$ 把$b = 2$代入$0=-4k + b，$得$0=-4k + 2，$$4k = 2，$解得$k=\frac{1}{2}。$ 所以直线$AB$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x + 2。$ (2)因为$A(-4,0)，$$C(0,-4)，$$B(0,2)，$所以$OA = OC = 4，$$OB = 2，$则$BC=2-(-4)=6。$ 设点$P\left(m,\frac{1}{2}m + 2\right)，$因为点$P$在线段$AB$上，且$S_{\triangle APC}=S_{\triangle AOC}。$ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times BC\times|x_A|=\frac{1}{2}\times6\times4 = 12，$$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}\times BC\times(-m)=\frac{1}{2}\times6\times(-m)=-3m。$ 因为$S_{\triangle APC}=S_{\triangle AOC}，$$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle PBC}=S_{\triangle AOC}，$$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}\times OA\times OC=\frac{1}{2}\times4\times4 = 8。$ 所以$12-(-3m)=8，$$3m=8 - 12=-4，$解得$m=-\frac{4}{3}。$ 当$m = -\frac{4}{3}$时，$y=\frac{1}{2}\times\left(-\frac{4}{3}\right)+2=-\frac{2}{3}+2=\frac{4}{3}。$ 所以点$P$的坐标为$\left(-\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)。$
(1)因为直线$y=-x - 4$分别交$x$轴、$y$轴于点$A$、$C，$ 当$y = 0$时，$-x - 4=0，$解得$x=-4，$所以$A(-4,0)；$ 当$x = 0$时，$y=-4，$所以$C(0,-4)。$ 设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b(k\neq0)，$把$A(-4,0)，$$B(0,2)$代入，得$\begin{cases}b = 2\\0=-4k + b\end{cases}$ 把$b = 2$代入$0=-4k + b，$得$0=-4k + 2，$$4k = 2，$解得$k=\frac{1}{2}。$ 所以直线$AB$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x + 2。$ (2)因为$A(-4,0)，$$C(0,-4)，$$B(0,2)，$所以$OA = OC = 4，$$OB = 2，$则$BC=2-(-4)=6。$ 设点$P\left(m,\frac{1}{2}m + 2\right)，$因为点$P$在线段$AB$上，且$S_{\triangle APC}=S_{\triangle AOC}。$ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times BC\times|x_A|=\frac{1}{2}\times6\times4 = 12，$$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}\times BC\times(-m)=\frac{1}{2}\times6\times(-m)=-3m。$ 因为$S_{\triangle APC}=S_{\triangle AOC}，$$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle PBC}=S_{\triangle AOC}，$$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}\times OA\times OC=\frac{1}{2}\times4\times4 = 8。$ 所以$12-(-3m)=8，$$3m=8 - 12=-4，$解得$m=-\frac{4}{3}。$ 当$m = -\frac{4}{3}$时，$y=\frac{1}{2}\times\left(-\frac{4}{3}\right)+2=-\frac{2}{3}+2=\frac{4}{3}。$ 所以点$P$的坐标为$\left(-\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)。$
