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1. (2024·上海中考)以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ( )
A. $x^2 - 6x = 0$
B. $x^2 - 9 = 0$
C. $x^2 - 6x + 6 = 0$
D. $x^2 - 6x + 9 = 0$
A. $x^2 - 6x = 0$
B. $x^2 - 9 = 0$
C. $x^2 - 6x + 6 = 0$
D. $x^2 - 6x + 9 = 0$
答案
D
2. (2023·广安中考)已知a、b、c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况为 ( )
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判定
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判定
答案
B
3. (1)(2025·长治期末)关于x的一元二次方程$2x^2 + x - k = 0$有实数根，则k的取值范围是______．
(2)若关于x的一元二次方程$(m - 1)x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$无实数根，则m的取值范围是______．
(3)(2024·广安中考改编)若关于x的一元二次方程$(m + 1)x^2 - 2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
(2)若关于x的一元二次方程$(m - 1)x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$无实数根，则m的取值范围是______．
(3)(2024·广安中考改编)若关于x的一元二次方程$(m + 1)x^2 - 2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
答案
$k\geq-\frac{1}{8}$ ; $m＜-2$ ; $m＜0$且$m\neq -1$
4. 已知实数 $ m、n $ 在数轴上的位置 
，则关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + nx + m + n = 0 $ 的实数根的个数为 ______。
，则关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + nx + m + n = 0 $ 的实数根的个数为 ______。答案
2
5. (教材 P17 练习 T1 变式) 不解方程,判别方程根的情况.
(1)$(x+3)(x+5)=-1$;
(2)$\frac{\sqrt{3}}{2}x^2=\frac{\sqrt{2}}{2}x-1$.
(1)$(x+3)(x+5)=-1$;
(2)$\frac{\sqrt{3}}{2}x^2=\frac{\sqrt{2}}{2}x-1$.
答案
解：原方程化成一般式为$x^2+8x + 16 = 0，$∵$b^2-4ac $$= 8^2-4×16$$ = 0，$∴原方程有两个相等的实数根。 ; 解：原方程化成一般式为$\sqrt {3}x^2-\sqrt {2}x + 2 = 0，$∵$b^2-4ac $$= (-\sqrt {2})^2-4×\sqrt {3}×2 $$= 2 - 8\sqrt {3}＜0，$∴原方程无实数根。
6. (2025·北京期中)已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(4-m)x+3-m=0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若该方程只有一个实数根为负数,求$m$的取值范围.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若该方程只有一个实数根为负数,求$m$的取值范围.
答案
证明：$(1)$由题意可得$b^2-4ac$$=(4 - m)^2-4(3 - m)$$=\mathrm {m^2}-8m + 16 - 12 + 4m$$=(m - 2)^2\geq 0，$∴该方程总有两个实数根。$ (2)$∵$b^2-4ac=(m - 2)^2\geq 0，$∴方程$x^2+(4 - m)x + 3 - m = 0$的两个根为$x_{1}=-1，$$x_{2}=m - 3。$∵该方程只有一个实数根为负数，∴$m - 3\geq 0，$解得$m\geq 3。$
7. (2024·广州越秀区月考)已知$a$、$b$、$c$分别是三角形的三边长,则方程$(a+b)x^2 + 2cx + (a+b)=0$的根的情况是 ( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根
A. 有两个不相等的实数根
B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根
答案
D
8. 已知直线$y=-x+4$与双曲线$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$只有一个交点,将直线向上平移1个单位长度后与双曲线相交于$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点,$y_1＞y_2$,则点$A$的坐标为 （ ）
A. $(1,4)$
B. $(4,1)$
C. $(2,3)$
D. $(2,4)$
A. $(1,4)$
B. $(4,1)$
C. $(2,3)$
D. $(2,4)$
答案
A
9. 已知命题“关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + bx + 1 = 0 $，当$ b ＜ 0 $时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是______．
答案
$b = - 1$（答案不唯一）
10. 在$△ ABC$中，$BC=2$，$AB=2\sqrt{3}$，$AC=b$，且关于$x$的方程$x^2 - 4x + b = 0$有两个相等的实数根，则$AC$边上的中线长为______．
答案
2
