11. 在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ ∠ A $、$ ∠ B $、$ ∠ C $ 的对边分别是 $ a $、$ b $、$ c $，已知 $ a=3 $，$ b $ 和 $ c $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + mx + 2 - \frac{1}{2}m = 0 $ 的两个实数根，则 $ △ ABC $ 的周长为 ______。

7或$\frac{37}{5}$

12. (2024·南充中考)已知$x_1$、$x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2kx + k^2 - k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若$k＜5$，且$k$、$x_1$、$x_2$都是整数，求$k$的值.

解​$： (1)$​∵​$x_{1}、$​​$x_{2}$​是关于​$x$​的方程​$x^2-2kx + k^2-$​​$k + 1 = 0$​的两个不相等的实数根，∴​$b^2-4ac＞0，$​∴​$b^2-4ac$​​$=(-2k)^2-4×1×(k^2-k + 1)$​​$=4k^2-4k^2+4k - 4 $​​$= 4k - 4＞0，$​解得​$k＞1。$​​$ (2)$​∵​$k＜5，$​由​$(1)$​得​$k＞1，$​∴​$1＜k＜5，$​∴整数​$k$​的值有​$2，$​​$3，$​​$4。$​当​$k = 2$​时，方程为​$x^2-4x + 3 = 0，$​解得​$x_{1} = 1，$​​$x_{2} = 3($​都是整数，此情况符合题意）；当​$k = 3$​时，方程为​$x^2-6x + 7 = 0，$​解得​$x = 3\pm \sqrt {2}($​不是整数，此情况不符合题意）；当​$k = 4$​时，方程为​$x^2-8x + 13 = 0，$​解得​$x = 4\pm \sqrt {3}($​不是整数，此情况不符合题意）。综上所述，​$k$​的值为​$2。$​

13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $(a+c)x^2 + 2bx + (c-a) = 0$，其中 $ 2a $、$ 2b $ 分别为 $ □ ABCD $ 的对角线 $ AC $、$ BD $ 的长，$ c $ 为边 $ AB $ 的长.
(1) 如果方程有两个相等的实数根，试判断四边形 $ ABCD $ 的形状，并说明理由；
(2) 如果四边形 $ ABCD $ 为正方形，试求这个一元二次方程的根.

解​$：(1)$​四边形​$ABCD$​是菱形。理由如下：∵一元二次方程​$(a + c)x^2+2bx+(c - a)=0$​有两个相等的实数根，∴​$(2b)^2-4(a + c)(c - a)=0，$​化简，得​$a^2+b^2=c^2。$​∵​$2a、$​​$2b$​分别为​$\square ABCD$​的对角线​$AC、$​​$BD$​的长，​$c $​为边​$AB$​的长，∴​$\square ABCD$​的对角线​$AC、$​​$BD$​互相垂直，∴四边形​$ABCD$​是菱形。​$ (2)$​∵四边形​$ABCD$​为正方形，​$2a、$​​$2b$​分别为​$\square ABCD$​的对角线​$AC、$​​$BD$​的长，​$c $​为边​$AB$​的长，∴​$a^2+b^2=c^2，$​​$a = b=\frac {\sqrt {2}}{2}c，$​​$c=\sqrt {2}b。$​已知一元二次方程​$(a + c)x^2+2bx+(c - a)=0，$​∴​$(2b)^2-4(a + c)(c - a)=4(b^2+a^2-c^2)=0，$​∴​$x=\frac {-2b}{2(a + c)}=\frac {-b}{b+\sqrt {2}b}=1-\sqrt {2}。$​即这个一元二次方程的根是​$x_{1} = x_{2} = 1-\sqrt {2}。$​

14. 一题多解（2024·宁波模拟）在面积等于3的所有矩形卡片中,周长不可能是（ ）
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6

D

15. (1)若方程$|x^2 + ax| = 4$有3个不相等的实数根，则$a=$______．
(2)已知关于$x$的方程$\left| \dfrac{x^2}{x - 2} \right| = a$有且仅有两个不同的实数根，则$a$的取值范围是________．

$\pm4$ ; $0＜a＜8$

16. 任意给定一个矩形A,是否存在另一个矩形B,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?
(1)当已知矩形A的邻边长分别为6和1时,小亮同学是这样研究的:
设所求矩形B的邻边长分别是x和y,
由题意,得$\begin{cases} x+y=\dfrac{7}{2}, \\ xy=3, \end{cases}$
消去$y$,化简得$2x^2 -7x+6=0$.
$\because b^2-4ac=49-48＞0$,
$\therefore x_1=$______$,x_2=$______,
$\therefore$满足要求的矩形B存在.
(2)如果已知矩形A的邻边长分别为2和1,请你依照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B.
(3)探究:任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍?请说明理由.

2
; $\frac{3}{2}$ ; 解​$： (2)$​设所求矩形​$B$​的邻边长分别是​$x$​和​$y，$​由题意，得​$\begin {cases}x + y=\frac {3}{2}\\xy = 1\end {cases}，$​消去​$y，$​化简得​$2x^2-3x + 2 = 0，$​∵​$b^2-4ac=9 - 16＜0，$​∴不存在满足要求的矩形​$B。$​​$ (3)$​存在。理由：设已知矩形的邻边长分别为​$m $​和​$n，$​所求矩形的邻边长分别是​$x$​和​$y，$​由题意可得​$\begin {cases}x + y=3(m + n)\\xy = 3mn\end {cases}，$​消去​$y，$​得​$x^2-3(m + n)x + 3mn = 0。$​∵​$b^2-4ac=9(m + n)^2-12mn$​​$=9\ \mathrm {m^2}+6mn + 9n^2=(3m + n)^2+8n^2＞0，$​∴满足要求的矩形一定存在。