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10. 已知$n$边形的对角线共有$\dfrac{n(n-3)}{2}$条$(n≥ 3)$.
(1)五边形的对角线共有______条.
(2)若$n$边形的对角线共有35条,求边数$n$.
(3)A同学说,我求的一个多边形共有10条对角线,你认为A同学的说法正确吗?为什么?
(1)五边形的对角线共有______条.
(2)若$n$边形的对角线共有35条,求边数$n$.
(3)A同学说,我求的一个多边形共有10条对角线,你认为A同学的说法正确吗?为什么?
答案
$5$ ; 解$： (2) $由题意得$\frac {n(n - 3)}{2}=35，$解得$n = 10$或$n = -7($舍去$)，$所以边数$n$为$10。$$ (3)\ \mathrm {A}$同学的说法不正确。理由：令$\frac {1}{2}n(n - 3)=10，$整理得$n^2-3n - 20 = 0，$对于一元二次方程$n^2-3n - 20 = 0，$其中$a = 1，$$b = -3，$$c = -20，$根据求根公式$n=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$$=\frac {3\pm \sqrt {(-3)^2-4×1×(-20)}}{2×1}$$=\frac {3\pm \sqrt {9 + 80}}{2}$$=\frac {3\pm \sqrt {89}}{2}，$符合方程$n^2-3n - 20 = 0$的正整数$n$不存在，所以多边形的对角线不可能有$10$条。
11. 如图,在$△ ABC$中,已知$∠ BAC=45°, AD ⊥ BC$于点$D, BD=4, DC=6$,求$AD$的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路,探究并解答下列问题:
(1)分别以$AB$、$AC$为对称轴,画出$△ ABD$、$△ ACD$的轴对称图形,点$D$的对称点为$E$、$F$,延长$EB$、$FC$相交于点$G$,证明:四边形$AEGF$是正方形;
(2)设$AD=x$,利用勾股定理,建立关于$x$的方程模型,并求出$x$的值.
小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路,探究并解答下列问题:
(1)分别以$AB$、$AC$为对称轴,画出$△ ABD$、$△ ACD$的轴对称图形,点$D$的对称点为$E$、$F$,延长$EB$、$FC$相交于点$G$,证明:四边形$AEGF$是正方形;
(2)设$AD=x$,利用勾股定理,建立关于$x$的方程模型,并求出$x$的值.
答案
解$：(1) $由题意可得$\triangle ABD\cong \triangle ABE，$$\triangle ACD\cong \triangle ACF，$所以$∠DAB=∠EAB，$$∠DAC=∠FAC。$又因为$∠BAC = 45°，$所以$∠EAF = 90°。$又因为$AD\perp BC，$所以$∠E=∠ADB = 90°，$$∠F=∠ADC = 90°。$且$AE = AD，$$AF = AD，$所以$AE = AF，$所以四边形$AEGF $是正方形。$ (2) $设$AD = x，$则$AE = EG = GF = x。$因为$BD = 4，$$DC = 6，$所以$BE = 4，$$CF = 6，$$BC = 10，$所以$BG = x - 4，$$CG = x - 6。$在$Rt\triangle BGC$中，$BG^2+CG^2=BC^2，$即$(x - 4)^2+(x - 6)^2=10^2，$展开得$x^2-8x + 16+x^2-12x + 36 = 100，$整理得$2x^2-20x - 48 = 0，$两边同时除以$2$得$x^2-10x - 24 = 0。$对于一元二次方程$x^2-10x - 24 = 0，$其中$a = 1，$$b = -10，$$c = -24，$根据求根公式$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$$=\frac {10\pm \sqrt {(-10)^2-4×1×(-24)}}{2×1}$$=\frac {10\pm \sqrt {100 + 96}}{2}$$=\frac {10\pm \sqrt {196}}{2}$$=\frac {10\pm 14}{2}，$解得$x_{1}=\frac {10 + 14}{2}=12，$$x_{2}=\frac {10 - 14}{2}=-2($舍去$)，$所以$AD = x = 12。$
12. 新趋势 项目式学习 (2025·泉州期中)问题：
已知方程 $x^2 + x - 1 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解:设所求方程的根为 $y$，则 $y = 2x$，所以 $x = \frac{y}{2}$，把 $x = \frac{y}{2}$ 代入已知方程，得 $(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} - 1 = 0$。
化简，得 $y^2 + 2y - 4 = 0$，故所求方程为 $y^2 + 2y - 4 = 0$。
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式)。
(1)已知方程 $x^2 + 2x - 1 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ______；
(2)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a、b、c$ 为常数，$a≠0$）的两个实数根分别为3、-2，利用“换根法”求一个一元二次方程，使它的根分别是-1、-6；
(3)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m^2 + 4)x^2 + (4m + 8)x + 4 = 0$（$0≤m≤15$）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数。
已知方程 $x^2 + x - 1 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解:设所求方程的根为 $y$，则 $y = 2x$，所以 $x = \frac{y}{2}$，把 $x = \frac{y}{2}$ 代入已知方程，得 $(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} - 1 = 0$。
化简，得 $y^2 + 2y - 4 = 0$，故所求方程为 $y^2 + 2y - 4 = 0$。
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式)。
(1)已知方程 $x^2 + 2x - 1 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ______；
(2)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a、b、c$ 为常数，$a≠0$）的两个实数根分别为3、-2，利用“换根法”求一个一元二次方程，使它的根分别是-1、-6；
(3)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m^2 + 4)x^2 + (4m + 8)x + 4 = 0$（$0≤m≤15$）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数。
答案
$y^{2}-2y - 1 = 0$ ; 解$： (2) $因为$3 - 4=-1$且$-2 - 4=-6，$设所求方程的根为$y，$则$y = x - 4，$即$x = y + 4，$把$x = y + 4$代入$ax^2+bx + c = 0，$得$a(y + 4)^2+b(y + 4)+c = 0，$展开$a(y^2+8y + 16)+by+4b + c = 0，$化为一般形式为$ay^2+(8a + b)y+16a + 4b + c = 0，$该方程即为所求方程。$ (3) $设所求方程的根为$y，$则$y=\frac {1}{x}(x\neq 0)，$即$x=\frac {1}{y}(y\neq 0)，$代入原方程$(\mathrm {m^2}+4)x^2+(4m + 8)x + 4 = 0，$得$(\mathrm {m^2}+4)(\frac {1}{y})^2+(4m + 8)·\frac {1}{y}+4 = 0，$去分母得$4y^2+(4m + 8)y+(\mathrm {m^2}+4)=0，$其中$a = 4，$$b = 4m + 8，$$c =\mathrm {m^2}+4，$$b^2-4ac=(4m + 8)^2-4×4×(\mathrm {m^2}+4)$$=16\ \mathrm {m^2}+64m + 64-16\ \mathrm {m^2}-64 $$= 64m，$$y=\frac {-(4m + 8)\pm \sqrt {64m}}{2×4}$$=-\frac {1}{2}m - 1\pm \sqrt {m}。$因为$0\leq m\leq 15，$且根是整数，所以$m $为偶数且为完全平方数，所以$m = 0$或$m = 4。$当$m = 0$时，所求方程为$4y^2+8y + 4 = 0，$即$y^2+2y + 1 = 0；$当$m = 4$时，所求方程为$4y^2+24y + 20 = 0，$即$y^2+6y + 5 = 0。$
