9. 如图，正方形 $ABCD$ 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为 ______。

$\frac{\pi}{8}$

10.三名运动员参加定点投篮比赛,原定出场顺序是:甲第一个出场,乙第二个出场,丙第三个出场.由于某种原因,要求这三名运动员用抽签的方式重新确定出场顺序,则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为$\underline{\hspace{3cm}}$.

$\frac{1}{3}$

三、解答题(共50分)
11.(16分)在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球有3个,白球有5个,黑球有若干个.若从中任意摸出一个球是白球的概率为$\frac{1}{3}$.
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率;
(2)能否通过只改变盒子中白球的数量,使得任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{4}$?若能,请写出如何调整白球的数量;若不能,请说明理由.

解：​$(1)$​∵红球有​$3$​个，白球有​$5$​个，黑球有若干个，从中任意摸出一个球是白球的概率为​$\frac {1}{3}，$​ ∴盒子中球的总数量为​$5\div \frac {1}{3}=15($​个​$)，$​故盒子中黑球的个数为​$15 - 3 - 5 = 7，$​ ∴任意摸出一个球是黑球的概率为​$\frac {7}{15}.$​​$ (2)$​能​$.$​ ∵任意摸出一个球是红球的概率为​$\frac {1}{4}，$​ ∴盒子中球的总数量为​$3\div \frac {1}{4}=12($​个​$).$​ 又∵盒子中原有球​$15$​个， ∴可以将盒子中的白球拿出​$3$​个​$.$​

12.(16分)(2024·常州)在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”.将这3张小纸条做成3支签,放在不透明的盒子中搅匀.
(1)从盒子中任意抽出1支签,抽到“石头”的概率是______;
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负,规定:“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回),乙再从余下的2支签中任意抽出1支签,求甲取胜的概率.

$\frac{1}{3}$ ; 解：​$(2)$​列表如下：
​$ $​共有​$6$​种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：(石头,剪子)，(剪子,布)，(布,石头)，共​$3$​种， ∴甲取胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$

13.(18分)现有甲、乙、丙三人组成的篮球训练小组,他们三人之间进行传球练习,篮球从一个人手中随机传到另外一个人手中记作传球一次,共连续传球三次.
(1)若开始时篮球在甲手中,则经过第一次传球后,篮球落在丙手中的概率是________;
(2)若开始时篮球在甲手中,求经过连续三次传球后,篮球传到乙手中的概率.(请用画树状图或列表的方法求解)

$\frac{1}{2}$ ; 解：​$(2)$​画树状图如下：
​$ $​由树状图可知共有​$8$​种等可能的结果，三次传球后，篮球传到乙手中的结果有​$3$​种， ∴三次传球后，篮球传到乙手中的概率为$\frac{3}{8}.$