登录
1. 如图，$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，则下列结论错误的是 (
A.AD是$△ABC$的角平分线
B.CE是$△ACD$的角平分线
C.$∠3=\frac {1}{2}∠ACB$
D.$S_{△ABD}=S_{△ACD}$
D
)A.AD是$△ABC$的角平分线
B.CE是$△ACD$的角平分线
C.$∠3=\frac {1}{2}∠ACB$
D.$S_{△ABD}=S_{△ACD}$
答案
1. D
解析
证明：
∵∠1=∠2，
∴AD是△ABC的角平分线（A正确）。
∵∠3=∠4，
∴CE是△ACD的角平分线（B正确），且∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB（C正确）。
∵AD不一定是△ABC的中线，
∴BD不一定等于CD，
∴S△ABD不一定等于S△ACD（D错误）。
结论：错误的是D。
∵∠1=∠2，
∴AD是△ABC的角平分线（A正确）。
∵∠3=∠4，
∴CE是△ACD的角平分线（B正确），且∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB（C正确）。
∵AD不一定是△ABC的中线，
∴BD不一定等于CD，
∴S△ABD不一定等于S△ACD（D错误）。
结论：错误的是D。
2. 在$△ABC$中，$AB=AC$，AD是边BC上的中线，$△ABC$的周长为34cm，$△ABD$的周长为30cm，则$AD=$
13
cm.答案
2. 13
解析
解：
∵ $AB = AC$，AD是边BC上的中线，
∴ $BD = DC$。
设 $AB = AC = x$，$BC = 2y$，则 $BD = DC = y$。
∵ $△ABC$的周长为34cm，
∴ $AB + AC + BC = 2x + 2y = 34$，即 $x + y = 17$。
∵ $△ABD$的周长为30cm，
∴ $AB + BD + AD = x + y + AD = 30$。
将 $x + y = 17$ 代入，得 $17 + AD = 30$，
∴ $AD = 13$。
13
∵ $AB = AC$，AD是边BC上的中线，
∴ $BD = DC$。
设 $AB = AC = x$，$BC = 2y$，则 $BD = DC = y$。
∵ $△ABC$的周长为34cm，
∴ $AB + AC + BC = 2x + 2y = 34$，即 $x + y = 17$。
∵ $△ABD$的周长为30cm，
∴ $AB + BD + AD = x + y + AD = 30$。
将 $x + y = 17$ 代入，得 $17 + AD = 30$，
∴ $AD = 13$。
13
3. 如图，在$△ABC$中，E是中线AD的中点.若$△AEC$的面积为1，则$△ABD$的面积为
2
.答案
3. 2
解析
证明：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，S△ABD=S△ADC（等底同高的三角形面积相等）。
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，S△AEC=S△EDC（等底同高的三角形面积相等）。
∵S△AEC=1，
∴S△ADC=S△AEC+S△EDC=1+1=2。
∴S△ABD=S△ADC=2。
2
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，S△ABD=S△ADC（等底同高的三角形面积相等）。
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，S△AEC=S△EDC（等底同高的三角形面积相等）。
∵S△AEC=1，
∴S△ADC=S△AEC+S△EDC=1+1=2。
∴S△ABD=S△ADC=2。
2
4. 如图，$∠ACB=90^{\circ }$，$AD=BD$，$DE⊥BC$，$CF⊥AB$，垂足分别为E，F，连接CD.
(1)在$△ABC$中，
(2)在$△BCD$中，
(1)在$△ABC$中，
AC
是边BC上的高，CD
是$△ABC$的中线；(2)在$△BCD$中，
DE
是边BC上的高，CF
是边BD上的高.答案
4.
(1)AC CD
(2)DE CF
(1)AC CD
(2)DE CF
5. (2024·宿迁)如图，在$△ABC$中，$∠B=50^{\circ }$，$∠C=30^{\circ }$，AD是高，按如图所示的作图痕迹作射线AF，则$∠DAF=$
10
°.答案
5. 10
解析
解：在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-50^{\circ}-30^{\circ}=100^{\circ}$.
由作图痕迹知，$AF$平分$\angle BAC$，则$\angle BAF=\frac{1}{2}\angle BAC=50^{\circ}$.
$AD$是高，$\angle ADB=90^{\circ}$，在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$.
故$\angle DAF=\angle BAF-\angle BAD=50^{\circ}-40^{\circ}=10^{\circ}$.
10
由作图痕迹知，$AF$平分$\angle BAC$，则$\angle BAF=\frac{1}{2}\angle BAC=50^{\circ}$.
$AD$是高，$\angle ADB=90^{\circ}$，在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$.
故$\angle DAF=\angle BAF-\angle BAD=50^{\circ}-40^{\circ}=10^{\circ}$.
10
6. (2024·昆山期末)如图，在$△ABC$中，D为BC的中点，点E在AC边上，且$EC=2AE$，AD，BE相交于点F.若$△ABC$的面积为24，则四边形CDFE的面积是
10
.答案
6. 10 解析：连接CF.设$ S_{\triangle DFC}=x，$$S_{\triangle EFC}=y.$
∵在$\triangle BFC$中，BD=CD，
∴$S_{\triangle DFB}=S_{\triangle DFC}=x.$
∵在$\triangle AFC$中，EC=2AE，
∴$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle EFC}=\frac{1}{2}y.$
∴$S_{\triangle ACF}=S_{\triangle AEF}+S_{\triangle EFC}=\frac{3}{2}y.$
∵在$\triangle ABC$中，BD=CD，
∴$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×24=12，$即$x+\frac{3}{2}y=12①.$
∵在$\triangle ABC$中，EC=2AE，
∴$S_{\triangle BCE}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{2}{3}×24=16，$即2x+y=16②.解①②构成的方程组，得x=6，y=4，
∴$S_{四边形CDFE}=x+y=10.$
∵在$\triangle BFC$中，BD=CD，
∴$S_{\triangle DFB}=S_{\triangle DFC}=x.$
∵在$\triangle AFC$中，EC=2AE，
∴$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle EFC}=\frac{1}{2}y.$
∴$S_{\triangle ACF}=S_{\triangle AEF}+S_{\triangle EFC}=\frac{3}{2}y.$
∵在$\triangle ABC$中，BD=CD，
∴$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×24=12，$即$x+\frac{3}{2}y=12①.$
∵在$\triangle ABC$中，EC=2AE，
∴$S_{\triangle BCE}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{2}{3}×24=16，$即2x+y=16②.解①②构成的方程组，得x=6，y=4，
∴$S_{四边形CDFE}=x+y=10.$
7. 如图，AD，BE分别是$△ABC$的角平分线，连接DE.若$∠CAB=∠CBA$，$DE// AB$. 求证：$∠ADE=∠BED$.
答案
7.
∵AD，BE分别是$\triangle ABC$的角平分线，
∴$∠BAD=\frac{1}{2}∠CAB，$$∠ABE=\frac{1}{2}∠CBA.$
∵∠CAB=∠CBA，
∴∠BAD=∠ABE.
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE，∠ABE=∠BED，
∴∠ADE=∠BED
∵AD，BE分别是$\triangle ABC$的角平分线，
∴$∠BAD=\frac{1}{2}∠CAB，$$∠ABE=\frac{1}{2}∠CBA.$
∵∠CAB=∠CBA，
∴∠BAD=∠ABE.
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE，∠ABE=∠BED，
∴∠ADE=∠BED
