1. (2023·贵州)如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,$BC = 5$,$CD = 3$. 按照图中的尺规作图痕迹作射线DP交BC于点G,则BG的长为 ()

A.2
B.3
C.4
D.5
]

1.A

证明：由尺规作图痕迹可知，DP是∠ADC的平分线，
∴∠ADP=∠CDP，
∵AD//BC，
∴∠ADP=∠DGC，
∴∠CDP=∠DGC，
∴CG=CD=3，
∵BC=5，
∴BG=BC-CG=5-3=2.
答案：A

2. 如图,AC,BD相交于点O,$∠A = ∠D$,若再补充一个条件,使得$\triangle BOC$为等腰三角形,则该条件不能是 ()

A.$OA = OD$
B.$AB = CD$
C.$∠ABO = ∠DCO$
D.$∠ABC = ∠DCB$
]

2.C

证明：
选项A：若$OA = OD$，在$\triangle AOB$和$\triangle DOC$中，$\angle A=\angle D$，$OA=OD$，$\angle AOB=\angle DOC$（对顶角相等），则$\triangle AOB\cong\triangle DOC$（ASA），得$OB = OC$，$\triangle BOC$为等腰三角形。
选项B：若$AB = CD$，在$\triangle AOB$和$\triangle DOC$中，$\angle A=\angle D$，$\angle AOB=\angle DOC$，$AB=CD$，则$\triangle AOB\cong\triangle DOC$（AAS），得$OB = OC$，$\triangle BOC$为等腰三角形。
选项C：若$\angle ABO=\angle DCO$，结合$\angle A=\angle D$，$\angle AOB=\angle DOC$，可得$\triangle AOB\sim\triangle DOC$，但无法证明$OB = OC$，$\triangle BOC$不一定为等腰三角形。
选项D：若$\angle ABC=\angle DCB$，则$\angle ABC-\angle ABO=\angle DCB-\angle DCO$，即$\angle OBC=\angle OCB$，得$OB = OC$，$\triangle BOC$为等腰三角形。
答案：C

3. (新情境·现实生活)如图,一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东$60^{\circ}$方向上,轮船沿正东方向前进30海里后到达B处,测得灯塔P位于其北偏东$30^{\circ}$方向上,此时轮船与灯塔P的距离为海里.
]

3.30

解：由题意得，∠PAB=30°，∠PBA=120°，AB=30海里。
在△PAB中，∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=30°。
∴∠PAB=∠APB。
∴PB=AB=30海里。
30

4. (2024·重庆B卷)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$∠A = 36^{\circ}$,BD平分$∠ABC$交AC于点D. 若$BC = 2$,则AD的长为.
]

4.2

证明：
∵ $AB = AC$，$\angle A = 36°$，
∴ $\angle ABC = \angle C = \frac{180° - 36°}{2} = 72°$。
∵ $BD$ 平分 $\angle ABC$，
∴ $\angle ABD = \angle DBC = \frac{72°}{2} = 36°$。
∴ $\angle BDC = 180° - \angle DBC - \angle C = 180° - 36° - 72° = 72°$。
∵ $\angle A = \angle ABD = 36°$，$\angle BDC = \angle C = 72°$，
∴ $AD = BD$，$BD = BC$。
∵ $BC = 2$，
∴ $AD = BD = BC = 2$。
2

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,过点A作BC的平行线交$∠ABC$的平分线于点D,连接CD. 求证:$\triangle ACD$为等腰三角形.
]

5.
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD.
∵AB=AC,
∴AD=AC,
∴△ACD是等腰三角形

6. (教材P45练习第1题变式)如图,在$\triangle ABC$中,$∠A = 36^{\circ}$,$AB = AC$,BD是$\triangle ABC$的角平分线. 若在边AB上截取$BE = BC$,连接DE,则图中的等腰三角形共有()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
]

6.D　解析:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴△ABC是等腰三角形,∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−36°)=72°.
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°,
∴∠A=∠ABD,
∴AD=BD,
∴△ABD是等腰三角形.
∵在△BCD中,∠BDC=180°−∠CBD−∠C=180°−36°−72°=72°,
∴∠BDC=∠C,
∴BD=BC,
∴△BCD是等腰三角形.又
∵BE=BC,
∴BD=BE,
∴△BDE是等腰三角形,
∴∠BDE=∠BED=$\frac{1}{2}$×(180°−36°)=72°.
∵∠BED是△AED的外角，∠A=36°,
∴∠ADE=∠BED−∠A=72°−36°=36°,
∴∠A=∠ADE,
∴AE=DE,
∴△ADE是等腰三角形.综上所述，等腰三角形共有5个.