8. (2023·凉山)如图,在$△ABC$中,$AB=AC,∠A=40^{\circ }$,根据尺规作图的痕迹作直线MN与AC交于点D,连接BD,则$∠DBC$的度数为 ()

A.$20^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$50^{\circ }$

8. B

证明：
∵在$△ABC$中，$AB=AC$，$∠A=40^{\circ}$，
∴$∠ABC=∠C=\frac{180^{\circ}-∠A}{2}=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
由尺规作图痕迹可知，直线$MN$为线段$AB$的垂直平分线，
∴$AD=BD$，
∴$∠ABD=∠A=40^{\circ}$，
∴$∠DBC=∠ABC - ∠ABD=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$。
答案：B

9. (2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为 ()

A.$\frac {3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac {7}{2}$

9. C

∵AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，
∴AB=AC，∠BAF=∠CAF，
∴点F在∠BAC的平分线上，
∵点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离为3。
C

10. (2024·内江)如图,在$△ABC$中,$∠DCE=40^{\circ },AE=AC,BC=BD$,则$∠ACB$的度数为.

$10. 100^{\circ}$

解：设$\angle ACB = x$，$\angle ACD = \alpha$，$\angle BCE = \beta$。
因为$\angle DCE = 40^{\circ}$，所以$\alpha + \beta + 40^{\circ} = x$，即$\alpha + \beta = x - 40^{\circ}$。
因为$AE = AC$，所以$\angle AEC = \angle ACE = \alpha + 40^{\circ}$，则$\angle A = 180^{\circ} - 2(\alpha + 40^{\circ}) = 100^{\circ} - 2\alpha$。
因为$BC = BD$，所以$\angle BDC = \angle BCD = \beta + 40^{\circ}$，则$\angle B = 180^{\circ} - 2(\beta + 40^{\circ}) = 100^{\circ} - 2\beta$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^{\circ}$，即：
$\begin{aligned}(100^{\circ} - 2\alpha) + (100^{\circ} - 2\beta) + x &= 180^{\circ}\\200^{\circ} - 2(\alpha + \beta) + x &= 180^{\circ}\\200^{\circ} - 2(x - 40^{\circ}) + x &= 180^{\circ}\\200^{\circ} - 2x + 80^{\circ} + x &= 180^{\circ}\\280^{\circ} - x &= 180^{\circ}\\x &= 100^{\circ}\end{aligned}$
故$\angle ACB = 100^{\circ}$。
$100^{\circ}$

11. 如图,在四边形ABCD中,$AB=BC=BD$.若$∠ABC=α$,则$∠ADC=$(用含α的代数式表示).

$11. 180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$

证明：
∵ $AB = BD$，
∴ $\angle BAD = \angle ADB = \frac{180° - \angle ABD}{2}$。
∵ $BC = BD$，
∴ $\angle BCD = \angle CDB = \frac{180° - \angle CBD}{2}$。
∵ $\angle ABC = \alpha$，即 $\angle ABD + \angle CBD = \alpha$，
∴ $\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB$
$= \frac{180° - \angle ABD}{2} + \frac{180° - \angle CBD}{2}$
$= \frac{360° - (\angle ABD + \angle CBD)}{2}$
$= \frac{360° - \alpha}{2}$
$= 180° - \frac{\alpha}{2}$。
$180° - \frac{\alpha}{2}$

12. (2023·烟台)如图,C为线段AB上一点,分别以AC,BC为等腰三角形的底边,在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE,且$∠A=∠CBE$.在线段EC上取一点F,使$EF=AD$,连接BF,DE.求证:$DE=BF$.

$12. \because \triangle ACD,\triangle BCE$分别是以AC,BC为底边的等腰三角形$,\therefore AD = CD,CE = EB,\therefore \angle A = \angle DCA.\because \angle A = \angle CBE,\therefore \angle CBE = \angle DCA,\therefore CD// BE,\therefore \angle DCE = \angle FEB.\because EF = AD,\therefore CD = EF.$在$\triangle DCE$和$\triangle FEB$中，$\begin{cases}CD = EF,\\\angle DCE = \angle FEB,\therefore \triangle DCE \cong \triangle FEB(SAS),\\CE = EB,\end{cases} \therefore DE = BF$

证明：
∵△ACD，△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形，
∴AD=CD，CE=EB，∠A=∠DCA．
∵∠A=∠CBE，
∴∠CBE=∠DCA，
∴CD//BE，
∴∠DCE=∠FEB．
∵EF=AD，
∴CD=EF．
在△DCE和△FEB中，
$\begin{cases} CD=EF, \\ \angle DCE=\angle FEB, \\ CE=EB, \end{cases}$
∴△DCE≌△FEB(SAS)，
∴DE=BF．

13. 如图,在$△ABC$中,$∠BAC=90^{\circ }$,E为边BC上的点,且$AB=AE$,D为线段BE的中点,过点E作$EF⊥AE$,过点A作$AF// BC$,且AF,EF相交于点F.求证:
(1)$∠C=∠BAD$;
(2)$AC=EF$.

(1) 解：
因为$AB = AE$，$D$为线段$BE$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，所以$AD\perp BE$，则$\angle ADB = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle B+\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B+\angle BAD = 90^{\circ}$。
根据同角的余角相等，可得$\angle C=\angle BAD$。
(2) 解：
因为$AF// BC$，所以$\angle FAE=\angle AEB$。
又因为$AB = AE$，所以$\angle B=\angle AEB$，则$\angle B=\angle FAE$。
已知$\angle BAC=\angle AEF = 90^{\circ}$，且$\angle C=\angle BAD$（已证），$AB = AE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle EAF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BAC=\angle AEF\\AB = AE\\\angle B=\angle FAE\end{array}\right.$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle EAF$。
由全等三角形的对应边相等，所以$AC = EF$。
综上，（1）$\angle C=\angle BAD$得证；（2）$AC = EF$得证。