7. (新考法·探究题)如图,M,N为$4×4$的方格纸中格点上的两点,若以MN为边,在方格纸中取一点P(点P在格点上),使得$\triangle MNP$为等腰三角形,则点P的个数为 ()

A.3
B.4
C.5
D.6
]

7.C

以M为圆心，MN长为半径画圆，与格点交于3个点；以N为圆心，MN长为半径画圆，与格点交于2个点；MN的垂直平分线与格点无交点。共3+2=5个点。
答案：C

8. (2024·广州)如图,在$\triangle ABC$中,$∠A = 90^{\circ}$,$AB = AC = 6$,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,$AE = CF$,则四边形AEDF的面积为.
]

8.9

证明：连接AD。
∵∠A=90°，AB=AC=6，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，
BC=$\sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{6^2 + 6^2}=6\sqrt{2}$。
∵D为BC中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD。
∵AE=CF，∠EAD=∠C=45°，AD=CD，
∴△AED≌△CFD(SAS)。
∴S_△AED=S_△CFD。
∴S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC。
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×6×6$=9，
∴四边形AEDF的面积为9。
9

9. (2023·丽水)如图,在$\triangle ABC$中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,$∠B = ∠ADB$. 若$AB = 4$,则DC的长为.
]

9.4

证明：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC。
∵∠B=∠ADB，
∴AB=AD。
∵AB=4，
∴AD=4，
∴DC=AD=4。
答案：4

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 5$,D是BC上的点,$DE// AB$,交AC于点E,$DF// AC$,交AB于点F,那么四边形AEDF的周长为.
]

10.10

解：
∵ $DE // AB$，$DF // AC$，
∴ 四边形 $AEDF$ 是平行四边形，
∴ $AF = DE$，$AE = DF$。
∵ $AB = AC = 5$，
∴ $\triangle ABC$ 是等腰三角形，$\angle B = \angle C$。
∵ $DF // AC$，
∴ $\angle FDB = \angle C$，
∴ $\angle FDB = \angle B$，
∴ $BF = DF$。
同理，$DE // AB$，
∴ $\angle EDC = \angle B$，
∴ $\angle EDC = \angle C$，
∴ $EC = DE$。
四边形 $AEDF$ 的周长为：
$AF + DF + DE + AE = AF + BF + EC + AE = AB + AC = 5 + 5 = 10$。
答案：10

11. 如图,在四边形ABCD中,$AD = AB$,$∠ADC = ∠ABC$. 求证:$CD = CB$.
]

11.连接BD.
∵AD=AB,
∴∠ADB=∠ABD.
∵∠ADC=∠ABC,
∴∠ADC−∠ADB=∠ABC−∠ABD,即∠BDC=∠DBC,
∴CD=CB

12. 如图,在锐角三角形ABC中,E是AB边上一点,$BE = CE$,$AD⊥BC$于点D,AD与EC交于点G. 求证:
(1)$∠BEC = 2∠AGE$;
(2)$\triangle AEG$是等腰三角形.
]

12.
(1)如图,过点E作EF⊥BC于点F.
∵BE=CE,EF⊥BC,
∴∠CEF=∠BEF=$\frac{1}{2}$∠BEC.
∵EF⊥BC,AD⊥BC,
∴EF//AD,
∴∠CEF=∠AGE,
∴∠AGE=$\frac{1}{2}$∠BEC,即∠BEC=2∠AGE　
(2)由
(1),得EF//AD,
∴∠BEF=∠BAD,∠CEF=∠AGE.
∵∠CEF=∠BEF,
∴∠AGE=∠BAD,
∴EA=EG,
∴△AEG是等腰三角形