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1. (2023·朝阳)如图, 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$. 若 $\angle C = 120^{\circ}$, $\odot O$ 的半径为 $3$, 则 $\overgroup{BD}$ 的长为 (
A.$\pi$
B.$2\pi$
C.$3\pi$
D.$6\pi$
B
)A.$\pi$
B.$2\pi$
C.$3\pi$
D.$6\pi$
答案
1.B
解析
解：
∵四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$\angle C = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle A = 180^{\circ}-\angle C = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。
$\because \angle A$是$\overgroup{BD}$所对的圆周角，
$\therefore \overgroup{BD}$所对的圆心角$\angle BOD = 2\angle A = 2×60^{\circ}=120^{\circ}$。
$\because \odot O$的半径$r = 3$，
$\therefore \overgroup{BD}$的长为$\frac{n\pi r}{180}=\frac{120\pi×3}{180}=2\pi$。
答案：B
∵四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$\angle C = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle A = 180^{\circ}-\angle C = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。
$\because \angle A$是$\overgroup{BD}$所对的圆周角，
$\therefore \overgroup{BD}$所对的圆心角$\angle BOD = 2\angle A = 2×60^{\circ}=120^{\circ}$。
$\because \odot O$的半径$r = 3$，
$\therefore \overgroup{BD}$的长为$\frac{n\pi r}{180}=\frac{120\pi×3}{180}=2\pi$。
答案：B
2. (2024·青岛)如图, $A$、$B$、$C$、$D$ 是 $\odot O$ 上的点, 半径 $OA = 3$, $\overgroup{AB} = \overgroup{CD}$, $\angle DBC = 25^{\circ}$, 连接 $AD$, 则扇形 $AOB$ 的面积为 (
A.$\frac{5}{4}\pi$
B.$\frac{5}{8}\pi$
C.$\frac{5}{2}\pi$
D.$\frac{5}{12}\pi$
A
)A.$\frac{5}{4}\pi$
B.$\frac{5}{8}\pi$
C.$\frac{5}{2}\pi$
D.$\frac{5}{12}\pi$
答案
2.A
解析
证明：连接 $OC$。
因为 $\angle DBC = 25°$，且 $\angle DBC$ 是圆周角，其所对的弧是 $\overgroup{CD}$，所以 $\overgroup{CD}$ 的度数为 $2\angle DBC = 50°$。
因为 $\overgroup{AB} = \overgroup{CD}$，所以 $\overgroup{AB}$ 的度数也为 $50°$，即 $\angle AOB = 50°$。
扇形 $AOB$ 的面积为 $\frac{n\pi r^2}{360} = \frac{50\pi × 3^2}{360} = \frac{50\pi × 9}{360} = \frac{450\pi}{360} = \frac{5}{4}\pi$。
答案：A
因为 $\angle DBC = 25°$，且 $\angle DBC$ 是圆周角，其所对的弧是 $\overgroup{CD}$，所以 $\overgroup{CD}$ 的度数为 $2\angle DBC = 50°$。
因为 $\overgroup{AB} = \overgroup{CD}$，所以 $\overgroup{AB}$ 的度数也为 $50°$，即 $\angle AOB = 50°$。
扇形 $AOB$ 的面积为 $\frac{n\pi r^2}{360} = \frac{50\pi × 3^2}{360} = \frac{50\pi × 9}{360} = \frac{450\pi}{360} = \frac{5}{4}\pi$。
答案：A
3. (2024·哈尔滨)若 $90^{\circ}$ 圆心角所对的弧长是 $3\pi\mathrm{cm}$, 则此弧所在圆的半径是
6
$\mathrm{cm}$.答案
3.6
解析
设此弧所在圆的半径为$r\ cm$。
因为$90^{\circ}$圆心角所对的弧长公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$n = 90$，$l = 3\pi$），所以可得：
$3\pi = \frac{90\pi r}{180}$
化简得：
$3\pi = \frac{\pi r}{2}$
两边同时除以$\pi$：
$3 = \frac{r}{2}$
解得$r = 6$。
6
因为$90^{\circ}$圆心角所对的弧长公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$n = 90$，$l = 3\pi$），所以可得：
$3\pi = \frac{90\pi r}{180}$
化简得：
$3\pi = \frac{\pi r}{2}$
两边同时除以$\pi$：
$3 = \frac{r}{2}$
解得$r = 6$。
6
4. (新考向·地域文化)(2024·甘肃)甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术, 是第一批国家级非物质文化遗产. 如图是一块扇形面的临夏砖雕作品的部分设计图, 其中扇形 $OBC$ 和扇形 $OAD$ 有相同的圆心 $O$, 且圆心角 $\angle O = 100^{\circ}$. 若 $OA = 120\mathrm{cm}$, $OB = 60\mathrm{cm}$, 则涂色部分的面积是
3000π
$\mathrm{cm}^2$.答案
4.3000π
解析
解：涂色部分的面积为扇形$OAD$的面积减去扇形$OBC$的面积。
扇形面积公式为$S = \frac{n\pi r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径）。
对于扇形$OAD$，$n = 100°$，$r = OA = 120\mathrm{cm}$，其面积为：
$S_{OAD} = \frac{100\pi × 120^2}{360} = \frac{100\pi × 14400}{360} = 4000\pi\ \mathrm{cm}^2$
对于扇形$OBC$，$n = 100°$，$r = OB = 60\mathrm{cm}$，其面积为：
$S_{OBC} = \frac{100\pi × 60^2}{360} = \frac{100\pi × 3600}{360} = 1000\pi\ \mathrm{cm}^2$
则涂色部分面积为：
$S = S_{OAD} - S_{OBC} = 4000\pi - 1000\pi = 3000\pi\ \mathrm{cm}^2$
3000π
扇形面积公式为$S = \frac{n\pi r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径）。
对于扇形$OAD$，$n = 100°$，$r = OA = 120\mathrm{cm}$，其面积为：
$S_{OAD} = \frac{100\pi × 120^2}{360} = \frac{100\pi × 14400}{360} = 4000\pi\ \mathrm{cm}^2$
对于扇形$OBC$，$n = 100°$，$r = OB = 60\mathrm{cm}$，其面积为：
$S_{OBC} = \frac{100\pi × 60^2}{360} = \frac{100\pi × 3600}{360} = 1000\pi\ \mathrm{cm}^2$
则涂色部分面积为：
$S = S_{OAD} - S_{OBC} = 4000\pi - 1000\pi = 3000\pi\ \mathrm{cm}^2$
3000π
5. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, 以点 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径的圆恰好与 $CD$ 相切于点 $C$, 交 $AD$ 于点 $E$, 延长 $BA$, 交 $\odot A$ 于点 $F$. 若 $\overgroup{EF}$ 的长为 $\frac{\pi}{2}$, 求图中阴影部分的面积.
答案
5.连接AC.
∵DC是⊙A的切线，
∴AC⊥CD.又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=AC=CD,AB//CD,
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°,∠CAF=90°,
∴∠EAF=∠CAF−∠CAD=45°.设⊙A的半径为r.
∵$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$=$\frac{45πr}{180}$，解得r=2,
∴S阴影=S△ACD−S扇形ACE=$\frac{1}{2}$×2×2−$\frac{45π×2²}{360}$=2−$\frac{π}{2}$
∵DC是⊙A的切线，
∴AC⊥CD.又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=AC=CD,AB//CD,
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°,∠CAF=90°,
∴∠EAF=∠CAF−∠CAD=45°.设⊙A的半径为r.
∵$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$=$\frac{45πr}{180}$，解得r=2,
∴S阴影=S△ACD−S扇形ACE=$\frac{1}{2}$×2×2−$\frac{45π×2²}{360}$=2−$\frac{π}{2}$
6. (2024·河南)如图, $\odot O$ 是边长为 $4\sqrt{3}$ 的等边三角形 $ABC$ 的外接圆, $D$ 是 $\overgroup{BC}$ 的中点, 连接 $BD$、$CD$. 以点 $D$ 为圆心, $BD$ 为半径在 $\odot O$ 内画弧, 则涂色部分的面积为 (
A.$\frac{8\pi}{3}$
B.$4\pi$
C.$\frac{16\pi}{3}$
D.$16\pi$
C
)A.$\frac{8\pi}{3}$
B.$4\pi$
C.$\frac{16\pi}{3}$
D.$16\pi$
答案
6.C
