登录
7. (2024·广安)如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = AC = 10$, $\angle C = 70^{\circ}$, 以 $AB$ 为直径作半圆 $O$, 与 $AC$、$BC$ 分别相交于点 $D$、$E$, 则 $\overgroup{DE}$ 的长为
$\frac{10}{9}$π
.答案
7.$\frac{10}{9}$π
解析
解：连接 $OD$、$OE$。
在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 10$，$\angle C = 70°$，
$\therefore \angle B = \angle C = 70°$，$\angle A = 180° - 2 × 70° = 40°$。
$\because OA = OD$，$\therefore \angle ADO = \angle A = 40°$，$\angle AOD = 180° - 2 × 40° = 100°$。
$\because OB = OE$，$\therefore \angle OEB = \angle B = 70°$，$\angle BOE = 180° - 2 × 70° = 40°$。
$\angle DOE = 180° - \angle AOD - \angle BOE = 180° - 100° - 40° = 40° = \frac{2\pi}{9}$（弧度）。
$\because AB = 10$，$\therefore$ 半圆 $O$ 的半径 $r = 5$。
$\overgroup{DE}$ 的长为 $r × \angle DOE = 5 × \frac{2\pi}{9} = \frac{10\pi}{9}$。
$\frac{10}{9}\pi$
在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 10$，$\angle C = 70°$，
$\therefore \angle B = \angle C = 70°$，$\angle A = 180° - 2 × 70° = 40°$。
$\because OA = OD$，$\therefore \angle ADO = \angle A = 40°$，$\angle AOD = 180° - 2 × 40° = 100°$。
$\because OB = OE$，$\therefore \angle OEB = \angle B = 70°$，$\angle BOE = 180° - 2 × 70° = 40°$。
$\angle DOE = 180° - \angle AOD - \angle BOE = 180° - 100° - 40° = 40° = \frac{2\pi}{9}$（弧度）。
$\because AB = 10$，$\therefore$ 半圆 $O$ 的半径 $r = 5$。
$\overgroup{DE}$ 的长为 $r × \angle DOE = 5 × \frac{2\pi}{9} = \frac{10\pi}{9}$。
$\frac{10}{9}\pi$
8. 若一个扇形的弧长是 $2\pi\mathrm{cm}$, 面积是 $6\pi\mathrm{cm}^2$, 则该扇形的圆心角的度数是
60°
.答案
8.60°
解析
设扇形的半径为$r\ cm$，圆心角的度数为$n^{\circ}$。
由扇形面积公式$S = \frac{1}{2}lr$，得$6\pi=\frac{1}{2}×2\pi× r$，解得$r = 6$。
由弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，得$2\pi=\frac{n\pi×6}{180}$，解得$n = 60$。
60°
由扇形面积公式$S = \frac{1}{2}lr$，得$6\pi=\frac{1}{2}×2\pi× r$，解得$r = 6$。
由弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，得$2\pi=\frac{n\pi×6}{180}$，解得$n = 60$。
60°
9. (整体思想)如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = 5$, $AC = 3$, $BC = 4$, 将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $40^{\circ}$ 得到 $\triangle ADE$, 点 $B$ 经过的路径为 $\overgroup{BD}$, 则图中阴影部分的面积为
$\frac{25π}{9}$
.答案
9.$\frac{25π}{9}$ 解析:根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形.根据旋转性质，得S△ADE=S△ABC.由题图，可知S阴影=S△ADE+S扇形ADB−S△ABC=S扇形ADB=$\frac{40×π×5²}{360}$=$\frac{25π}{9}$.
解析
解：在$\triangle ABC$中，$AB=5$，$AC=3$，$BC=4$，
$\because AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = AB^2$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形。
$\because \triangle ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$40°$得到$\triangle ADE$，
$\therefore S_{\triangle ADE} = S_{\triangle ABC}$。
由图形可知，$S_{ 阴影} = S_{\triangle ADE} + S_{ 扇形ADB} - S_{\triangle ABC} = S_{ 扇形ADB}$。
$\because$扇形$ADB$的半径为$AB = 5$，圆心角为$40°$，
$\therefore S_{ 扇形ADB} = \frac{40\pi × 5^2}{360} = \frac{25\pi}{9}$。
故阴影部分的面积为$\frac{25\pi}{9}$。
$\because AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = AB^2$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形。
$\because \triangle ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$40°$得到$\triangle ADE$，
$\therefore S_{\triangle ADE} = S_{\triangle ABC}$。
由图形可知，$S_{ 阴影} = S_{\triangle ADE} + S_{ 扇形ADB} - S_{\triangle ABC} = S_{ 扇形ADB}$。
$\because$扇形$ADB$的半径为$AB = 5$，圆心角为$40°$，
$\therefore S_{ 扇形ADB} = \frac{40\pi × 5^2}{360} = \frac{25\pi}{9}$。
故阴影部分的面积为$\frac{25\pi}{9}$。
10. 如图, $\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$, $AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $CE$ 平分 $\angle ACB$, 交 $\odot O$ 于点 $E$, 过点 $E$ 作 $EF// AB$, 交 $CA$ 的延长线于点 $F$.
(1) 求证: $EF$ 与 $\odot O$ 相切;
(2) 若 $\angle CAB = 30^{\circ}$, $AB = 8$, 过点 $E$ 作 $EG\perp AC$ 于点 $M$, 交 $\odot O$ 于点 $G$, 交 $AB$ 于点 $N$, 求 $\overgroup{AG}$ 的长.
(1) 求证: $EF$ 与 $\odot O$ 相切;
(2) 若 $\angle CAB = 30^{\circ}$, $AB = 8$, 过点 $E$ 作 $EG\perp AC$ 于点 $M$, 交 $\odot O$ 于点 $G$, 交 $AB$ 于点 $N$, 求 $\overgroup{AG}$ 的长.
答案
10.(1)如图，连接OE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°.
∵$\overset{\frown}{AE}$=$\overset{\frown}{AE}$，
∴∠AOE=2∠ACE=90°.
∵EF//AB,
∴∠AOE+∠FEO=180°,
∴∠FEO=90°,
∴OE⊥FE.又
∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切 (2)如图，连接OG、OC.
∵∠CAB=30°,∠ACB=90°,
∴∠B=60°.
∵OB=OC,
∴△OBC为等边三角形,
∴∠COB=60°,
∴∠AOC=180°−∠COB=120°.
∵EG⊥AC,∠ACE=45°,
∴∠MEC=45°.
∵$\overset{\frown}{CG}$=$\overset{\frown}{CG}$，
∴∠GOC=2∠MEC=90°,
∴∠AOG=∠AOC−∠GOC=30°.
∵AB=8,AB是⊙O的直径，
∴OA=OG=4,
∴$\overset{\frown}{AG}$的长=$\frac{30π×4}{180}$=$\frac{2π}{3}$
11. 如图, 在扇形 $OAB$ 中, $\angle AOB = 100^{\circ}$, $OA = 12$, $C$ 是 $OB$ 的中点, $CD\perp OB$ 于点 $C$, 交 $\overgroup{AB}$ 于点 $D$, 以 $OC$ 为半径的 $\overgroup{CE}$ 交 $OA$ 于点 $E$. 求图中涂色部分的面积.
答案
11.如图，连接OD、BD.
∵OA=12,
∴OB=OD=12.
∵C为OB的中点，CD⊥OB，
∴BC=OC=$\frac{1}{2}$OB=6,OD=BD,
∴OD=BD=OB,
∴△BDO为等边三角形,
∴∠DOB=60°.在Rt△DOC中,由勾股定理，得DC=$\sqrt{OD²−OC²}$=$\sqrt{12²−6²}$=6$\sqrt{3}$,
∴S涂色=S扇形OAB−S扇形OCE−(S扇形OBD−S△OCD)=$\frac{100π×12²}{360}$−$\frac{100π×6²}{360}$−($\frac{60π×12²}{360}$−$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$)=18$\sqrt{3}$+6π
