1. 如图，从一块直径是 2 的圆形铁片上剪出一个圆心角为 $ 90 ^ { \circ } $ 的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是()

A.$ \frac { \pi } { 4 } $
B.$ \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } $
C.$ \frac { 1 } { 2 } $
D.1

1. B

解：圆形铁片直径为2，半径$ R=1 $。
扇形圆心角$ 90° $，半径为圆内接等腰直角三角形的斜边，即$ AB=AC=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} $。
扇形弧长$ l=\frac{90°}{360°}×2\pi×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}\pi}{2} $。
圆锥底面圆周长等于扇形弧长，设底面半径为$ r $，则$ 2\pi r=\frac{\sqrt{2}\pi}{2} $，解得$ r=\frac{\sqrt{2}}{4} $。
答案：B

2. (2023·娄底改编)如图，在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ A C = 5 \mathrm { cm } $，$ B C = 12 \mathrm { cm } $，$ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $。把 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 沿 $ B C $ 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为()

A.$ 60 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $
B.$ 65 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $
C.$ 120 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $
D.$ 130 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $

2. B

解：在$\mathrm { Rt } \triangle A B C$中，$\angle A C B = 90 ^ { \circ }$，$A C = 5 \mathrm { cm }$，$B C = 12 \mathrm { cm }$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13\mathrm{cm}$。
把$\mathrm { Rt } \triangle A B C$沿$B C$所在的直线旋转一周得到一个圆锥，该圆锥底面半径为$AC=5\mathrm{cm}$，母线长为$AB=13\mathrm{cm}$。
圆锥侧面积公式为$S=\pi rl$（其中$r$为底面半径，$l$为母线长），则侧面积为：
$S=\pi×5×13=65\pi\mathrm{cm}^{2}$。
答案：B

3. (2024·南通)若圆锥的底面圆半径为 $ 2 \mathrm { cm } $，母线长为 $ 6 \mathrm { cm } $，则该圆锥的侧面积是 $ \mathrm { cm } ^ { 2 } $。

3. $12\pi$

圆锥的侧面积公式为$S = \pi r l$（其中$r$为底面圆半径，$l$为母线长）。
已知$r = 2\ cm$，$l = 6\ cm$，则侧面积$S = \pi × 2 × 6 = 12\pi\ cm^2$。
$12\pi$

4. (1)(2024·宿迁)已知圆锥的底面圆半径为 3，母线长为 12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 $ ^ { \circ } $；
(2)(2024·徐州)将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 $ 4 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $，圆心角 $ \theta $ 为 $ 90 ^ { \circ } $，圆锥的底面圆的半径为 $ \mathrm { cm } $。

4. (1) 90 (2) 1

(1) 圆锥底面周长为 $2\pi × 3 = 6\pi$，侧面展开扇形弧长等于底面周长，扇形半径为母线长12。设圆心角为$n°$，由弧长公式$\frac{n\pi × 12}{180} = 6\pi$，解得$n = 90$，故答案为$90$。
(2) 扇形面积公式$\frac{90\pi l^2}{360} = 4\pi$（$l$为母线长），解得$l = 4$。扇形弧长为$\frac{90\pi × 4}{180} = 2\pi$，此弧长等于圆锥底面周长$2\pi r$，解得$r = 1$，故答案为$1$。

5. 已知某圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，求该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角的度数。

5. 设母线长为 $R$，底面圆的半径为 $r$，则底面周长为 $2\pi r$，底面积为 $\pi r^{2}$，侧面积为 $\frac{1}{2} × 2\pi r· R = \pi rR$。
∵ 侧面积是底面积的 2 倍，
∴ $\pi rR = 2\pi r^{2}$，
∴ $R = 2r$。设扇形的圆心角的度数为 $n^{\circ}$。根据弧长的计算公式，得 $\frac{n\pi R}{180} = 2\pi r$，即 $\frac{n\pi· 2r}{180} = 2\pi r$，解得 $n = 180$。
∴ 该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角的度数为 $180^{\circ}$

6. (新情境·现实生活)(2023·赤峰)某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽。该圆锥的底面圆的周长为 $ 20 \pi \mathrm { cm } $，母线长为 $ 30 \mathrm { cm } $。为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从底面圆周上的点 $ A $ 处开始，绕侧面一周又回到点 $ A $ 的彩带(彩带宽度忽略不计)，这条彩带的最短长度是()

A.$ 30 \mathrm { cm } $
B.$ 30 \sqrt { 3 } \mathrm { cm } $
C.$ 60 \mathrm { cm } $
D.$ 20 \pi \mathrm { cm } $

6. B

设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为$n^{\circ}$。
圆锥底面圆周长为$20\pi\ cm$，即侧面展开图扇形的弧长为$20\pi\ cm$。
母线长为$30\ cm$，即扇形半径$R = 30\ cm$。
由弧长公式$\frac{n\pi R}{180}=20\pi$，代入$R = 30$，得$\frac{n\pi×30}{180}=20\pi$，解得$n = 120$。
将圆锥侧面展开，点$A$展开后对应两点$A$、$A'$，彩带最短长度为线段$AA'$的长。
在展开图扇形中，半径$OA=OA'=30\ cm$，圆心角$\angle AOA'=120^{\circ}$。
过$O$作$OH\perp AA'$于$H$，则$\angle AOH = 60^{\circ}$，$AH=\frac{1}{2}AA'$。
在$ Rt\triangle AOH$中，$\sin60^{\circ}=\frac{AH}{OA}$，即$AH=OA·\sin60^{\circ}=30×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\ cm$。
故$AA'=2AH=30\sqrt{3}\ cm$。
这条彩带的最短长度是$30\sqrt{3}\ cm$。
B

7. (2023·济宁)如图所示为一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是()

A.$ 39 \pi $
B.$ 45 \pi $
C.$ 48 \pi $
D.$ 54 \pi $

7. B

由三视图可知该几何体为圆柱和圆锥的组合体。
圆柱底面直径为6，半径$r = 3$，高$h_1 = 4$；圆锥母线长$l = 5$，底面半径与圆柱相同$r = 3$。
圆柱侧面积：$2\pi rh_1 = 2\pi×3×4 = 24\pi$，圆柱底面积：$\pi r^2=\pi×3^2 = 9\pi$（组合体中圆柱只有一个底面需计算）。
圆锥侧面积：$\pi rl=\pi×3×5 = 15\pi$。
表面积：$24\pi+9\pi + 15\pi=48\pi$。
答案：C