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19. 解下列不等式,并将其解集在数轴上表示出来.
(1)$8x - 1 ≥ 6x + 3$;
(2)$2x - 1 ＜ \frac{10x + 1}{6}$.
(1)$8x - 1 ≥ 6x + 3$;
(2)$2x - 1 ＜ \frac{10x + 1}{6}$.
答案
解：
(1) 移项，得：$8x - 6x ≥ 3 + 1$
合并同类项，得：$2x ≥ 4$
系数化为1，得：$x ≥ 2$
数轴表示：在数轴上对应数2的位置画实心圆点，从该点向右延伸画出折线。
(2) 去分母，两边同时乘6，得：$6(2x - 1) ＜ 10x + 1$
去括号，得：$12x - 6 ＜ 10x + 1$
移项，得：$12x - 10x ＜ 1 + 6$
合并同类项，得：$2x ＜ 7$
系数化为1，得：$x ＜ 3.5$
数轴表示：在数轴上对应数3.5的位置画空心圆圈，从该点向左延伸画出折线。
(1) 移项，得：$8x - 6x ≥ 3 + 1$
合并同类项，得：$2x ≥ 4$
系数化为1，得：$x ≥ 2$
数轴表示：在数轴上对应数2的位置画实心圆点，从该点向右延伸画出折线。
(2) 去分母，两边同时乘6，得：$6(2x - 1) ＜ 10x + 1$
去括号，得：$12x - 6 ＜ 10x + 1$
移项，得：$12x - 10x ＜ 1 + 6$
合并同类项，得：$2x ＜ 7$
系数化为1，得：$x ＜ 3.5$
数轴表示：在数轴上对应数3.5的位置画空心圆圈，从该点向左延伸画出折线。
解析
【分析】
这两道题都是一元一次不等式求解问题，解题思路可类比一元一次方程的求解步骤，同时要注意不等式的性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。数轴表示解集时要牢记规则：包含边界点（不等号为≥、≤）时用实心圆点，不包含边界点（不等号为＞、＜）时用空心圆圈，大于向右延伸，小于向左延伸。解题时按照对应步骤依次计算即可。
【解析】
(1) 求解不等式$8x - 1 ≥ 6x + 3$：
移项，将含未知数的项移到左侧、常数项移到右侧，得：$8x - 6x ≥ 3 + 1$
合并同类项，得：$2x ≥ 4$
系数化为1，两边同时除以2（正数，不等号方向不变），得：$x ≥ 2$
数轴表示：在数轴上对应数2的位置画实心圆点，从该点向右延伸画出折线。
(2) 求解不等式$2x - 1 ＜ \frac{10x + 1}{6}$：
去分母，两边同时乘6（正数，不等号方向不变，每一项都要乘6），得：$6(2x - 1) ＜ 10x + 1$
去括号，得：$12x - 6 ＜ 10x + 1$
移项，将含未知数的项移到左侧、常数项移到右侧，得：$12x - 10x ＜ 1 + 6$
合并同类项，得：$2x ＜ 7$
系数化为1，两边同时除以2（正数，不等号方向不变），得：$x ＜ 3.5$
数轴表示：在数轴上对应数3.5的位置画空心圆圈，从该点向左延伸画出折线。
【答案】
(1) $x ≥ 2$，数轴上2的位置画实心圆点并向右延伸；
(2) $x ＜ 3.5$，数轴上3.5的位置画空心圆圈并向左延伸。
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的性质，解集的数轴表示
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础考查题，重点考察解不等式的规范步骤，需要注意移项时符号要改变，去分母时不要漏乘不含分母的项，数轴表示解集时要准确区分实心圆点和空心圆圈的用法，避免细节失分。
【难度系数】
0.8
这两道题都是一元一次不等式求解问题，解题思路可类比一元一次方程的求解步骤，同时要注意不等式的性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。数轴表示解集时要牢记规则：包含边界点（不等号为≥、≤）时用实心圆点，不包含边界点（不等号为＞、＜）时用空心圆圈，大于向右延伸，小于向左延伸。解题时按照对应步骤依次计算即可。
【解析】
(1) 求解不等式$8x - 1 ≥ 6x + 3$：
移项，将含未知数的项移到左侧、常数项移到右侧，得：$8x - 6x ≥ 3 + 1$
合并同类项，得：$2x ≥ 4$
系数化为1，两边同时除以2（正数，不等号方向不变），得：$x ≥ 2$
数轴表示：在数轴上对应数2的位置画实心圆点，从该点向右延伸画出折线。
(2) 求解不等式$2x - 1 ＜ \frac{10x + 1}{6}$：
去分母，两边同时乘6（正数，不等号方向不变，每一项都要乘6），得：$6(2x - 1) ＜ 10x + 1$
去括号，得：$12x - 6 ＜ 10x + 1$
移项，将含未知数的项移到左侧、常数项移到右侧，得：$12x - 10x ＜ 1 + 6$
合并同类项，得：$2x ＜ 7$
系数化为1，两边同时除以2（正数，不等号方向不变），得：$x ＜ 3.5$
数轴表示：在数轴上对应数3.5的位置画空心圆圈，从该点向左延伸画出折线。
【答案】
(1) $x ≥ 2$，数轴上2的位置画实心圆点并向右延伸；
(2) $x ＜ 3.5$，数轴上3.5的位置画空心圆圈并向左延伸。
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的性质，解集的数轴表示
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础考查题，重点考察解不等式的规范步骤，需要注意移项时符号要改变，去分母时不要漏乘不含分母的项，数轴表示解集时要准确区分实心圆点和空心圆圈的用法，避免细节失分。
【难度系数】
0.8
20. 解不等式$\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1$，并写出它的负整数解。
答案
解：去分母，得
$2(2x-1) - 3(5x+1) ≤ 6$
去括号，得
$4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6$
移项，得
$4x - 15x ≤ 6 + 2 + 3$
合并同类项，得
$-11x ≤ 11$
系数化为1，得
$x ≥ -1$
该不等式的负整数解为$x=-1$。
$2(2x-1) - 3(5x+1) ≤ 6$
去括号，得
$4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6$
移项，得
$4x - 15x ≤ 6 + 2 + 3$
合并同类项，得
$-11x ≤ 11$
系数化为1，得
$x ≥ -1$
该不等式的负整数解为$x=-1$。
解析
【分析】
这是求解一元一次不等式并找特殊解的题目，解题步骤与一元一次方程类似，依次按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序操作即可。注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，系数化为1时若系数为负数，不等号方向要改变，最后在解集中筛选出负整数即可。
【解析】
去分母，两边同时乘2和3的最小公倍数6，得
$2(2x-1) - 3(5x+1) ≤ 6$
去括号，根据乘法分配律展开，括号前为负号时括号内各项变号，得
$4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6$
移项，将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号，得
$4x - 15x ≤ 6 + 2 + 3$
合并同类项，得
$-11x ≤ 11$
系数化为1，两边同时除以-11，不等号方向改变，得
$x ≥ -1$
负整数指小于0的整数，满足$x ≥ -1$的负整数只有-1。
【答案】
不等式的解集为$x ≥ -1$，负整数解为$x=-1$。
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的性质、不等式特殊解求解
【点评】
本题属于基础题型，考查一元一次不等式的规范求解步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、系数为负时未改变不等号方向，求特殊解时要明确解的取值范围。
【难度系数】
0.8
这是求解一元一次不等式并找特殊解的题目，解题步骤与一元一次方程类似，依次按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序操作即可。注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，系数化为1时若系数为负数，不等号方向要改变，最后在解集中筛选出负整数即可。
【解析】
去分母，两边同时乘2和3的最小公倍数6，得
$2(2x-1) - 3(5x+1) ≤ 6$
去括号，根据乘法分配律展开，括号前为负号时括号内各项变号，得
$4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6$
移项，将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号，得
$4x - 15x ≤ 6 + 2 + 3$
合并同类项，得
$-11x ≤ 11$
系数化为1，两边同时除以-11，不等号方向改变，得
$x ≥ -1$
负整数指小于0的整数，满足$x ≥ -1$的负整数只有-1。
【答案】
不等式的解集为$x ≥ -1$，负整数解为$x=-1$。
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的性质、不等式特殊解求解
【点评】
本题属于基础题型，考查一元一次不等式的规范求解步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、系数为负时未改变不等号方向，求特殊解时要明确解的取值范围。
【难度系数】
0.8
21. 对于实数$x$，我们规定$[x]$表示不大于$x$的最大整数，例如，$[1.2]=1$.
(1)填空：$[0.5]=$，$[-2.5]=$；
(2)若$[\dfrac{x+4}{10}]=5$，求$x$的取值范围.
(1)填空：$[0.5]=$，$[-2.5]=$；
(2)若$[\dfrac{x+4}{10}]=5$，求$x$的取值范围.
答案
解：
(1) 根据$[x]$的定义，不大于$0.5$的最大整数是$0$，故$[0.5]=\boldsymbol{0}$；
不大于$-2.5$的最大整数是$-3$，故$[-2.5]=\boldsymbol{-3}$。
(2) 由$[x]$的定义可知：若$[\dfrac{x+4}{10}]=5$，则
$5 ≤ \dfrac{x+4}{10} ＜ 6$
不等式两边同乘10，得：
$50 ≤ x+4 ＜ 60$
不等式两边同减4，得：
$46 ≤ x ＜ 56$
所以$x$的取值范围是$46 ≤ x ＜ 56$。
(1) 根据$[x]$的定义，不大于$0.5$的最大整数是$0$，故$[0.5]=\boldsymbol{0}$；
不大于$-2.5$的最大整数是$-3$，故$[-2.5]=\boldsymbol{-3}$。
(2) 由$[x]$的定义可知：若$[\dfrac{x+4}{10}]=5$，则
$5 ≤ \dfrac{x+4}{10} ＜ 6$
不等式两边同乘10，得：
$50 ≤ x+4 ＜ 60$
不等式两边同减4，得：
$46 ≤ x ＜ 56$
所以$x$的取值范围是$46 ≤ x ＜ 56$。
解析
【分析】
本题考查对新定义取整符号$[x]$的理解及一元一次不等式的应用。(1)问直接根据$[x]$表示不大于$x$的最大整数的定义，分别找出不大于$0.5$、$-2.5$的最大整数即可；(2)问根据取整定义，若$[a]=n$（$n$为整数），则$a$的取值范围是$n≤ a＜n+1$，将$a$替换为$\frac{x+4}{10}$得到关于$x$的不等式，再按照一元一次不等式的解法步骤求解即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 根据题意，$[x]$表示不大于$x$的最大整数：
不大于$0.5$的最大整数是$0$，因此$[0.5]=0$；
不大于$-2.5$的最大整数是$-3$，因此$[-2.5]=-3$。
(2) 由$[x]$的定义可得，当$[\dfrac{x+4}{10}]=5$时，满足不等式：
$5 ≤ \dfrac{x+4}{10} ＜ 6$
不等式三边同时乘10，得：
$50 ≤ x+4 ＜ 60$
不等式三边同时减4，得：
$46 ≤ x ＜ 56$
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{-3}$；
(2) $\boldsymbol{46 ≤ x ＜ 56}$
【知识点】
新定义运算，一元一次不等式求解，实数大小比较
【点评】
本题侧重考察对新定义的理解与转化能力，第一问为基础题，直接套用定义即可解答；第二问需要将新定义规则转化为不等式求解，解题时需注意不等号的方向及边界值的取舍，避免因边界判断错误失分。
【难度系数】
0.7
本题考查对新定义取整符号$[x]$的理解及一元一次不等式的应用。(1)问直接根据$[x]$表示不大于$x$的最大整数的定义，分别找出不大于$0.5$、$-2.5$的最大整数即可；(2)问根据取整定义，若$[a]=n$（$n$为整数），则$a$的取值范围是$n≤ a＜n+1$，将$a$替换为$\frac{x+4}{10}$得到关于$x$的不等式，再按照一元一次不等式的解法步骤求解即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 根据题意，$[x]$表示不大于$x$的最大整数：
不大于$0.5$的最大整数是$0$，因此$[0.5]=0$；
不大于$-2.5$的最大整数是$-3$，因此$[-2.5]=-3$。
(2) 由$[x]$的定义可得，当$[\dfrac{x+4}{10}]=5$时，满足不等式：
$5 ≤ \dfrac{x+4}{10} ＜ 6$
不等式三边同时乘10，得：
$50 ≤ x+4 ＜ 60$
不等式三边同时减4，得：
$46 ≤ x ＜ 56$
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{-3}$；
(2) $\boldsymbol{46 ≤ x ＜ 56}$
【知识点】
新定义运算，一元一次不等式求解，实数大小比较
【点评】
本题侧重考察对新定义的理解与转化能力，第一问为基础题，直接套用定义即可解答；第二问需要将新定义规则转化为不等式求解，解题时需注意不等号的方向及边界值的取舍，避免因边界判断错误失分。
【难度系数】
0.7
