2. 如图,在$□ ABCD$中,点$E$和点$F$是$BD$的两个三等分点,连接$AE$,$CF$,$AF$,$CE$. 判断四边形$AECF$的形状,并说明理由.

2. 四边形AECF为平行四边形,理由略.

【分析】
要判断四边形AECF的形状，可结合已知平行四边形ABCD的性质分析：首先连接AC，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到OA=OC、OB=OD；再结合E、F是BD的三等分点，可推出OE=OF，此时四边形AECF满足对角线互相平分的特征，根据平行四边形的判定定理即可得出结论。
【解析】
解：连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）。
∵点E、F是BD的三等分点，
∴BE=DF，
∴OB - BE = OD - DF，即OE=OF。
又
∵OA=OC，
∴四边形AECF的对角线互相平分，
∴四边形AECF是平行四边形。
【答案】
四边形AECF是平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的基础应用题，解题关键是通过连接辅助线AC，将待证四边形的对角线与已知平行四边形的对角线关联，利用线段和差得到对角线互相平分的条件，是平行四边形证明类的典型常考题。
【难度系数】
0.8

3. 如图,平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O$, $AB ⊥ AC$, $AB=3$, $BC=5$,点 $P$ 从点 $A$ 出发,沿 $AD$ 以每秒1个单位的速度向终点 $D$ 运动,连接 $PO$ 并延长交 $BC$ 于点 $Q$.设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒.
(1) 则 $CQ$ 的长度为 ______ (用含 $t$ 的代数式表示);
(2) 当四边形 $ABQP$ 是平行四边形时,求 $t$ 的值;
(3) 当点 $O$ 在线段 $AP$ 的垂直平分线上时,求 $t$ 的值.

3. (1) $t$
(2) 当$t=\frac{5}{2}$时,四边形$ABQP$是平行四边形.
(3) $t=\frac{16}{5}$.

【分析】
(1) 先利用平行四边形的性质得对角线互相平分、对边平行，结合对顶角相等可证△AOP≌△COQ，可得CQ=AP，再结合点P的运动速度和时间即可表示出CQ的长度；
(2) 平行四边形对边平行，故AP//BQ，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，只需满足AP=BQ即可，先表示出BQ=BC-CQ，列等式求解t即可；
(3) 先用勾股定理求出AC的长度，得OA的长；再根据平行线内错角相等，结合直角可证△AEO与△CAB相似，利用垂直平分线的性质得AE是AP的一半，结合相似三角形的对应边成比例列方程即可求解t。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，
∴∠OAP=∠OCQ，
在△AOP和△COQ中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAP=∠ OCQ\\ OA=OC\\ ∠ AOP=∠ COQ\end{array} $
∴△AOP≌△COQ（ASA），
∴CQ=AP，
∵点P运动速度为1单位/秒，运动时间为t秒，
∴AP=t，
∴CQ=t。
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=5，
∴AP//BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∵CQ=t，
∴BQ=BC-CQ=5-t，
∴$t=5-t$，
解得$t=\frac{5}{2}$。
(3) 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3，BC=5，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵O是平行四边形对角线交点，
∴$OA=\frac{1}{2}AC=2$，
∵AD//BC，
∴∠PAO=∠ACB，
过O作OE⊥AP于E，
∵O在AP的垂直平分线上，
∴E是AP中点，即$AE=\frac{1}{2}AP=\frac{t}{2}$，
∵∠AEO=∠CAB=90°，∠EAO=∠ACB，
∴△AEO∽△CAB，
∴$\frac{AE}{CA}=\frac{AO}{CB}$，
代入数据得$\frac{\frac{t}{2}}{4}=\frac{2}{5}$，
解得$t=\frac{16}{5}$。
【答案】
(1) $t$
(2) 当$t=\frac{5}{2}$时，四边形$ABQP$是平行四边形
(3) $t=\frac{16}{5}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是平行四边形背景下的动点综合题，结合了全等、相似、勾股定理等知识点，解题的关键是抓住运动过程中不变的边角等量关系，掌握相关判定与性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.6

4. 如图,在$□ ABCD$中,$E,F$分别是边$AD,BC$的中点,点$G,H$在对角线$AC$上,$AG=CH$.
(1) 求证:$EH=FG$;
(2) 若$AB=4,BC=6$,四边形$EGFH$为矩形.
① 当$∠ B=90°$时,$AG$的长为________;
② 直接写出四边形$EGFH$为正方形时$AG$的长.

4. (1) 证明略.
(2) ① $\sqrt{13}-2$ ② $AG=\sqrt{5}-2$.

【分析】
(1) 要证$EH=FG$，可先证四边形$EGFH$是平行四边形。首先利用平行四边形$ABCD$的性质得$AD// BC$、$AD=BC$，结合$E$、$F$是中点得$AE=CF$且$AE// CF$，再结合$AG=CH$证$△ AEG≌△ CFH$，推出$EG$与$FH$平行且相等，即可得四边形$EGFH$是平行四边形，从而得到$EH=FG$。
(2) ①当$∠ B=90°$时，$□ ABCD$是矩形，先由勾股定理求对角线$AC$的长度，再根据矩形$EGFH$对角线相等得$GH=EF$，结合$EF=AB$、$AG=CH$即可求出$AG$的长。
②当四边形$EGFH$是正方形时，对角线互相垂直，即$EF⊥ AC$，结合$EF// AB$得$AB⊥ AC$，先由勾股定理求此时$AC$的长度，再结合正方形对角线相等得$GH=EF$，即可求出$AG$的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AD=BC$，
$\therefore ∠ EAG=∠ FCH$。
$\because E$、$F$分别是$AD$、$BC$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD$，$CF=\frac{1}{2}BC$，即$AE=CF$。
在$△ AEG$和$△ CFH$中：
$\begin{cases}AE=CF \\∠ EAG=∠ FCH \\AG=CH\end{cases}$
$\therefore △ AEG≌△ CFH(\mathrm{SAS})$，
$\therefore EG=FH$，$∠ AGE=∠ CHF$，
$\therefore ∠ EGH=∠ FHG$，即$EG// FH$，
$\therefore$ 四边形$EGFH$是平行四边形，
$\therefore EH=FG$。
(2) ① 当$∠ B=90°$时，$□ ABCD$是矩形，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$。
$\because E$、$F$是$AD$、$BC$中点，$\therefore EF// AB$，$EF=AB=4$。
$\because$ 四边形$EGFH$是矩形，$\therefore$ 对角线$GH=EF=4$。
又$\because AG=CH$，
$\therefore AG=\frac{AC-GH}{2}=\frac{2\sqrt{13}-4}{2}=\sqrt{13}-2$。
② 当四边形$EGFH$是正方形时，对角线$EF⊥ GH$且$GH=EF$，
$\because GH$在$AC$上，$\therefore EF⊥ AC$，
又$\because EF// AB$，$\therefore AB⊥ AC$，即$∠ BAC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$。
$\because EF=AB=4$，$\therefore GH=EF=4$，
又$\because AG=CH$，
$\therefore AG=\frac{AC-GH}{2}=\frac{2\sqrt{5}-4}{2}=\sqrt{5}-2$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ① $\sqrt{13}-2$；② $AG=\sqrt{5}-2$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；特殊平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质、判定和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握不同特殊四边形的边角、对角线特征，结合已知条件找到线段间的数量关系。
【难度系数】
0.6

5. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$∠ ACB = ∠ CAD = 90°$,点 $E$ 在 $BC$ 上,$AE // DC$,$EF ⊥ AB$,垂足为 $F$.
(1) 求证:四边形 $AECD$ 是平行四边形;
(2) 若 $AE$ 平分 $∠ BAC$,$BE = 10$,$BF:BE = 4:5$,求 $AD$ 的长.

5. (1) 证明略.
(2) 6.

【分析】
(1) 要证四边形AECD是平行四边形，可通过证明两组对边分别平行推导：首先由∠ACB=∠CAD=90°，可得AD与BC的内错角相等，推出AD//BC，再结合已知条件AE//DC，即可依据平行四边形的判定定理得证。
(2) 求AD的长可借助等量转换：由(1)的平行四边形性质可知AD=EC，因此只需算出EC的长度即可。先在Rt△BEF中，利用已知的边长比例和BE的长度，结合勾股定理算出EF的长度；再根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得EC=EF，最终得到AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行），
又
∵AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
已知BF:BE=4:5，BE=10，
∴$BF=\frac{4}{5}× BE=\frac{4}{5}×10=8$，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{BE^2-BF^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACB=90°即EC⊥AC，
∴EC=EF=6（角平分线上的点到角两边的距离相等），
由(1)知四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC=6。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{6}$
【知识点】
平行四边形的判定、角平分线的性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问直接考察平行四边形的判定，难度较低；第二问需要结合勾股定理和角平分线性质完成线段的等量转换，考察学生对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7