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6. 下列性质中,正方形具有而菱形不一定具有的性质是(
A.四条边相等
B.对角线互相平分
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
C
)A.四条边相等
B.对角线互相平分
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
答案
6. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先分别回忆正方形和菱形的相关性质，再逐一对比每个选项中的性质，判断哪些是两者共有的，哪些是正方形独有、菱形不一定具有的。首先明确：菱形是四条边相等的特殊平行四边形，具备平行四边形的所有性质，额外还有四条边相等、对角线互相垂直的特点；正方形是特殊的菱形，同时兼具矩形的性质，除了菱形的所有性质外，还有对角线相等、四个角都是直角的特点，接下来逐个核对选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 四条边相等：菱形的基本性质就是四条边相等，正方形作为特殊菱形也满足该性质，属于二者共有的性质，不符合题意；
B. 对角线互相平分：菱形和正方形都属于平行四边形，平行四边形的对角线都互相平分，属于二者共有的性质，不符合题意；
C. 对角线相等：菱形的对角线仅满足互相垂直平分，长度不一定相等；正方形的对角线互相垂直平分且相等，因此该性质是正方形具有而菱形不一定具有的，符合题意；
D. 对角线互相垂直：菱形的对角线互相垂直，正方形作为特殊菱形也满足该性质，属于二者共有的性质，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、菱形的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的性质辨析，解题核心是明确正方形是同时具备菱形、矩形性质的特殊平行四边形，牢记各类特殊四边形的性质差异就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要先分别回忆正方形和菱形的相关性质，再逐一对比每个选项中的性质，判断哪些是两者共有的，哪些是正方形独有、菱形不一定具有的。首先明确：菱形是四条边相等的特殊平行四边形，具备平行四边形的所有性质，额外还有四条边相等、对角线互相垂直的特点；正方形是特殊的菱形，同时兼具矩形的性质，除了菱形的所有性质外，还有对角线相等、四个角都是直角的特点，接下来逐个核对选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 四条边相等：菱形的基本性质就是四条边相等，正方形作为特殊菱形也满足该性质，属于二者共有的性质，不符合题意；
B. 对角线互相平分：菱形和正方形都属于平行四边形，平行四边形的对角线都互相平分，属于二者共有的性质，不符合题意；
C. 对角线相等：菱形的对角线仅满足互相垂直平分，长度不一定相等；正方形的对角线互相垂直平分且相等，因此该性质是正方形具有而菱形不一定具有的，符合题意；
D. 对角线互相垂直：菱形的对角线互相垂直，正方形作为特殊菱形也满足该性质，属于二者共有的性质，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、菱形的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的性质辨析，解题核心是明确正方形是同时具备菱形、矩形性质的特殊平行四边形，牢记各类特殊四边形的性质差异就能快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 如图,大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成.E为小正方形的顶点,延长CE交AD于点F,连接BF交小正方形的一边于点G.若△BCF为等腰三角形,AG=5,则小正方形的面积为（
A.15
B.16
C.20
D.25
B
）A.15
B.16
C.20
D.25
答案
7. B
解析
【分析】
首先观察图形为赵爽弦图结构，由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼接为大正方形ABCD。第一步先分析等腰△BCF的可能：F在AD上，在Rt△ABF中，BF是斜边，故BF＞AB=BC；同理Rt△CDF中CF＞CD=BC，因此△BCF的腰只能是BF=CF，可推出F为AD中点。接下来可通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数计算：设大正方形边长为a，写出各顶点坐标，求出直线BF的解析式，以及小正方形对应边的解析式，联立得到交点G的坐标，再根据AG=5利用勾股定理列方程求出a²，最后计算小正方形的面积即可。
【解析】
建立平面直角坐标系，设B为原点(0,0)，C(a,0)，A(0,a)，D(a,a)，则大正方形边长为a：
1. 确定F点坐标：由△BCF为等腰三角形，且BF＞BC、CF＞BC，故BF=CF，易证Rt△ABF≌Rt△DCF，得AF=FD，即F是AD中点，故F坐标为$(\frac{a}{2},a)$。
2. 求直线BF的解析式：B(0,0)、F$(\frac{a}{2},a)$，可得直线BF的解析式为$y=2x$。
3. 求小正方形对应边的解析式：由四个直角三角形全等，可得小正方形左侧边的解析式为$y=-2x+a$。
4. 求G点坐标：联立$\begin{cases}y=2x\\y=-2x+a\end{cases}$，解得$x=\frac{a}{4},y=\frac{a}{2}$，即G$(\frac{a}{4},\frac{a}{2})$。
5. 利用AG=5列方程：A(0,a)，由勾股定理得$AG=\sqrt{(\frac{a}{4}-0)^2+(\frac{a}{2}-a)^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{5}}{4}=5$，解得$a=4\sqrt{5}$，故$a^2=80$。
6. 求小正方形面积：由弦图性质，小正方形面积为大正方形面积的$\frac{1}{5}$，即$80÷5=16$。
【答案】B
【知识点】勾股定理，等腰三角形性质，一次函数应用
【点评】本题结合赵爽弦图考查正方形、等腰三角形、勾股定理的综合应用，通过坐标法将几何关系转化为代数计算，能更清晰地梳理交点位置，解题时需先排除等腰三角形不符合题意的情况，避免多余运算。
【难度系数】0.6
首先观察图形为赵爽弦图结构，由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼接为大正方形ABCD。第一步先分析等腰△BCF的可能：F在AD上，在Rt△ABF中，BF是斜边，故BF＞AB=BC；同理Rt△CDF中CF＞CD=BC，因此△BCF的腰只能是BF=CF，可推出F为AD中点。接下来可通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数计算：设大正方形边长为a，写出各顶点坐标，求出直线BF的解析式，以及小正方形对应边的解析式，联立得到交点G的坐标，再根据AG=5利用勾股定理列方程求出a²，最后计算小正方形的面积即可。
【解析】
建立平面直角坐标系，设B为原点(0,0)，C(a,0)，A(0,a)，D(a,a)，则大正方形边长为a：
1. 确定F点坐标：由△BCF为等腰三角形，且BF＞BC、CF＞BC，故BF=CF，易证Rt△ABF≌Rt△DCF，得AF=FD，即F是AD中点，故F坐标为$(\frac{a}{2},a)$。
2. 求直线BF的解析式：B(0,0)、F$(\frac{a}{2},a)$，可得直线BF的解析式为$y=2x$。
3. 求小正方形对应边的解析式：由四个直角三角形全等，可得小正方形左侧边的解析式为$y=-2x+a$。
4. 求G点坐标：联立$\begin{cases}y=2x\\y=-2x+a\end{cases}$，解得$x=\frac{a}{4},y=\frac{a}{2}$，即G$(\frac{a}{4},\frac{a}{2})$。
5. 利用AG=5列方程：A(0,a)，由勾股定理得$AG=\sqrt{(\frac{a}{4}-0)^2+(\frac{a}{2}-a)^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{5}}{4}=5$，解得$a=4\sqrt{5}$，故$a^2=80$。
6. 求小正方形面积：由弦图性质，小正方形面积为大正方形面积的$\frac{1}{5}$，即$80÷5=16$。
【答案】B
【知识点】勾股定理，等腰三角形性质，一次函数应用
【点评】本题结合赵爽弦图考查正方形、等腰三角形、勾股定理的综合应用，通过坐标法将几何关系转化为代数计算，能更清晰地梳理交点位置，解题时需先排除等腰三角形不符合题意的情况，避免多余运算。
【难度系数】0.6
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=110°$,将$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转得到$△ DEC$,点$A,B$的对应点分别为$D,E$,连接$AD$.当点$A,D,E$在同一条直线上时,则旋转角$∠ ACD$的大小为 （
A.$50°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$20°$
B
）A.$50°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$20°$
答案
8. B
解析
【分析】
解题时先从旋转的性质入手，首先明确旋转前后对应边相等、对应角相等，得到AC=DC、∠CDE=∠BAC；再结合A、D、E共线的条件，利用平角的性质求出∠ADC的度数；最后根据等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，即可计算出旋转角∠ACD的大小。
【解析】
解：根据旋转的性质可得：$AC=DC$，$∠ CDE=∠ BAC=110°$。
∵点A、D、E在同一条直线上，
∴$∠ ADC+∠ CDE=180°$，
则$∠ ADC=180°-∠ CDE=180°-110°=70°$。
∵$AC=DC$，
∴$△ ACD$是等腰三角形，$∠ CAD=∠ ADC=70°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACD=180°-∠ CAD-∠ ADC=180°-70°-70°=40°$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何变换类基础题，解题核心是熟练掌握旋转的性质，结合平角、等腰三角形和内角和的相关知识逐步推导即可，解题时注意不要混淆旋转前后的对应角。
【难度系数】
0.7
解题时先从旋转的性质入手，首先明确旋转前后对应边相等、对应角相等，得到AC=DC、∠CDE=∠BAC；再结合A、D、E共线的条件，利用平角的性质求出∠ADC的度数；最后根据等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，即可计算出旋转角∠ACD的大小。
【解析】
解：根据旋转的性质可得：$AC=DC$，$∠ CDE=∠ BAC=110°$。
∵点A、D、E在同一条直线上，
∴$∠ ADC+∠ CDE=180°$，
则$∠ ADC=180°-∠ CDE=180°-110°=70°$。
∵$AC=DC$，
∴$△ ACD$是等腰三角形，$∠ CAD=∠ ADC=70°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACD=180°-∠ CAD-∠ ADC=180°-70°-70°=40°$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何变换类基础题，解题核心是熟练掌握旋转的性质，结合平角、等腰三角形和内角和的相关知识逐步推导即可，解题时注意不要混淆旋转前后的对应角。
【难度系数】
0.7
9. 如图,甲、乙两人分别用一张矩形纸做一个折菱形的游戏.甲沿BE折叠使得点A落在BD上,沿DF折叠使得点C落在BD上,甲所得到的四边形BEDF为菱形;乙沿MN折叠使得AB与DC重合,再折出BM,DN,乙所得到的四边形BMDN为菱形,下列说法正确的是 （
A.甲一定成立,乙可能成立
B.甲可能成立,乙一定不成立
C.甲一定成立,乙一定不成立
D.甲可能成立,乙也可能成立
B
）A.甲一定成立,乙可能成立
B.甲可能成立,乙一定不成立
C.甲一定成立,乙一定不成立
D.甲可能成立,乙也可能成立
答案
9. B
解析
【分析】
我们分别对甲、乙的操作结果分两步分析：第一步先判断两人得到的四边形首先是平行四边形，第二步再结合菱形“邻边相等的平行四边形是菱形”的判定条件，分别分析两种操作下邻边相等的条件是否可能实现：
1. 甲的操作中，平行四边形BEDF的邻边相等的条件可通过调整矩形的长宽比满足，因此存在成立的可能；
2. 乙的操作中，结合直角三角形斜边大于直角边的性质，可推出平行四边形BMDN的邻边不可能相等，因此一定不成立。
【解析】
分析甲的情况：
矩形ABCD中，AD//BC，因此ED//BF，可知四边形BEDF首先是平行四边形。
平行四边形要成为菱形，只需满足一组邻边相等（如BE=DE）。沿BE折叠点A落在BD上，可得∠ABE=∠EBD，当矩形长宽比满足∠EBD=∠EDB时，即可得BE=DE，此时平行四边形BEDF为菱形，因此甲的情况可能成立。
分析乙的情况：
沿MN折叠使AB与DC重合，说明MN是矩形的中位线，因此M、N分别是AD、BC的中点，可得MD=BN，且MD//BN，因此四边形BMDN首先是平行四边形。
若要BMDN是菱形，需满足邻边BM=MD。在Rt△ABM中，BM是斜边，因此BM＞AM，而M是AD中点，故AM=MD，可得BM＞MD，邻边相等的条件不可能满足，因此乙的情况一定不成立。
综上，甲可能成立，乙一定不成立，故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；矩形的性质；折叠的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查特殊四边形的判定，需要熟练掌握平行四边形、菱形的判定规则，同时结合几何图形的边长关系分析条件成立的可能性，解题的关键是发现乙的操作中邻边长度的必然矛盾。
【难度系数】
0.6
我们分别对甲、乙的操作结果分两步分析：第一步先判断两人得到的四边形首先是平行四边形，第二步再结合菱形“邻边相等的平行四边形是菱形”的判定条件，分别分析两种操作下邻边相等的条件是否可能实现：
1. 甲的操作中，平行四边形BEDF的邻边相等的条件可通过调整矩形的长宽比满足，因此存在成立的可能；
2. 乙的操作中，结合直角三角形斜边大于直角边的性质，可推出平行四边形BMDN的邻边不可能相等，因此一定不成立。
【解析】
分析甲的情况：
矩形ABCD中，AD//BC，因此ED//BF，可知四边形BEDF首先是平行四边形。
平行四边形要成为菱形，只需满足一组邻边相等（如BE=DE）。沿BE折叠点A落在BD上，可得∠ABE=∠EBD，当矩形长宽比满足∠EBD=∠EDB时，即可得BE=DE，此时平行四边形BEDF为菱形，因此甲的情况可能成立。
分析乙的情况：
沿MN折叠使AB与DC重合，说明MN是矩形的中位线，因此M、N分别是AD、BC的中点，可得MD=BN，且MD//BN，因此四边形BMDN首先是平行四边形。
若要BMDN是菱形，需满足邻边BM=MD。在Rt△ABM中，BM是斜边，因此BM＞AM，而M是AD中点，故AM=MD，可得BM＞MD，邻边相等的条件不可能满足，因此乙的情况一定不成立。
综上，甲可能成立，乙一定不成立，故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；矩形的性质；折叠的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查特殊四边形的判定，需要熟练掌握平行四边形、菱形的判定规则，同时结合几何图形的边长关系分析条件成立的可能性，解题的关键是发现乙的操作中邻边长度的必然矛盾。
【难度系数】
0.6
10. 如图,格点三角形甲逆时针旋转 $ 90° $ 后得到格点三角形乙,则其旋转中心是 （
A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q
A
）A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q
答案
10. A
解析
【分析】
要确定旋转中心，需依据旋转的性质：旋转过程中旋转中心保持不动，且旋转中心到每一组对应点的距离相等，同时对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。我们可以通过找两组对应点，作出对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心；也可以逐个验证选项中的点，看哪个点满足到对应点距离相等、对应点与该点连线夹角为90°的条件。
【解析】
根据旋转的性质，旋转中心到旋转前后的对应点距离相等，且对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角90°：
1. 首先确定格点三角形甲和三角形乙的三组对应顶点；
2. 分别验证各选项的点：
验证点M：连接甲的各顶点与M，再连接乙对应的各顶点与M，可发现每组对应点到M的距离相等，且对应点与M的连线夹角恰好为90°，符合逆时针旋转90°的特点；
验证点N、P、Q：均不满足对应点到其距离相等，或对应点连线夹角为90°的要求。
因此旋转中心是点M。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，旋转中心的确定
【点评】
本题考查旋转性质的实际应用，解题的核心是牢记旋转中心的特征，通过验证或作图的方法都能快速得到结果，掌握旋转的基本性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
要确定旋转中心，需依据旋转的性质：旋转过程中旋转中心保持不动，且旋转中心到每一组对应点的距离相等，同时对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。我们可以通过找两组对应点，作出对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心；也可以逐个验证选项中的点，看哪个点满足到对应点距离相等、对应点与该点连线夹角为90°的条件。
【解析】
根据旋转的性质，旋转中心到旋转前后的对应点距离相等，且对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角90°：
1. 首先确定格点三角形甲和三角形乙的三组对应顶点；
2. 分别验证各选项的点：
验证点M：连接甲的各顶点与M，再连接乙对应的各顶点与M，可发现每组对应点到M的距离相等，且对应点与M的连线夹角恰好为90°，符合逆时针旋转90°的特点；
验证点N、P、Q：均不满足对应点到其距离相等，或对应点连线夹角为90°的要求。
因此旋转中心是点M。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，旋转中心的确定
【点评】
本题考查旋转性质的实际应用，解题的核心是牢记旋转中心的特征，通过验证或作图的方法都能快速得到结果，掌握旋转的基本性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
1. 如图,矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E、F.连接BE,DF,求证:四边形EBFD是菱形.
答案
证明如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDO = ∠FBO。
∵ O是BD的中点，
∴ OB = OD。
在△EOD和△FOB中：
$\{\begin{array}{l}∠EDO = ∠FBO \\OD = OB \\∠EOD = ∠FOB\end{array} $
∴ △EOD ≌ △FOB（ASA），
∴ EO = FO。
又∵ OB = OD，
∴ 四边形EBFD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ EF⊥BD，
∴ 平行四边形EBFD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDO = ∠FBO。
∵ O是BD的中点，
∴ OB = OD。
在△EOD和△FOB中：
$\{\begin{array}{l}∠EDO = ∠FBO \\OD = OB \\∠EOD = ∠FOB\end{array} $
∴ △EOD ≌ △FOB（ASA），
∴ EO = FO。
又∵ OB = OD，
∴ 四边形EBFD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ EF⊥BD，
∴ 平行四边形EBFD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
解析
【分析】
要证明四边形EBFD是菱形，可先判定其为平行四边形，再结合对角线互相垂直的条件完成证明。首先利用矩形对边平行的性质可得一组内错角相等，结合O是BD中点得到OB=OD，再加上对顶角相等，可通过ASA证明△EOD≌△FOB，得到EO=FO，由此可知四边形EBFD对角线互相平分，可判定为平行四边形，最后结合EF⊥BD的条件即可证得该平行四边形是菱形。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDO = ∠FBO。
∵ O是BD的中点，
∴ OB = OD。
在△EOD和△FOB中：
$\begin{cases}∠EDO = ∠FBO \\OD = OB \\∠EOD = ∠FOB\end{cases}$
∴ △EOD ≌ △FOB（ASA），
∴ EO = FO。
又
∵ OB = OD，
∴ 四边形EBFD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ EF⊥BD，
∴ 平行四边形EBFD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】
四边形EBFD是菱形，证明过程如上。
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定，菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题时可从结论倒推所需条件，再结合已知逐步推导，熟练掌握特殊平行四边形的性质和判定定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明四边形EBFD是菱形，可先判定其为平行四边形，再结合对角线互相垂直的条件完成证明。首先利用矩形对边平行的性质可得一组内错角相等，结合O是BD中点得到OB=OD，再加上对顶角相等，可通过ASA证明△EOD≌△FOB，得到EO=FO，由此可知四边形EBFD对角线互相平分，可判定为平行四边形，最后结合EF⊥BD的条件即可证得该平行四边形是菱形。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDO = ∠FBO。
∵ O是BD的中点，
∴ OB = OD。
在△EOD和△FOB中：
$\begin{cases}∠EDO = ∠FBO \\OD = OB \\∠EOD = ∠FOB\end{cases}$
∴ △EOD ≌ △FOB（ASA），
∴ EO = FO。
又
∵ OB = OD，
∴ 四边形EBFD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ EF⊥BD，
∴ 平行四边形EBFD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】
四边形EBFD是菱形，证明过程如上。
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定，菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题时可从结论倒推所需条件，再结合已知逐步推导，熟练掌握特殊平行四边形的性质和判定定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
