6. 在$□ ABCD$中,点$E$在$BA$的延长线上,点$F$在$DC$的延长线上,连接$BF$,$DE$,$EF$,$EF$交$AD$于点$G$,交$BC$于点$H$,$EG=FH$.
（1）如图1,求证:四边形$EBFD$是平行四边形.
（2）如图2,当$A$是$BE$的中点时,请直接写出面积等于$□ ABCD$面积的一半的两个三角形和两个四边形.

6. (1) 证明略.
(2) 面积等于$□ABCD$面积的一半的两个三角形为$△ADE$和$△BCF$,两个四边形为四边形$ABHG$和四边形$CDGH$.

【分析】
（1）要证四边形$EBFD$是平行四边形，先由平行四边形$ABCD$的性质得到$BE// DF$，只需再证明$BE=DF$即可。我们可以通过证明$△ AEG$和$△ CFH$全等得到$AE=CF$，结合平行四边形对边相等$AB=CD$，就能推出$BE=DF$，结合$BE// DF$即可完成证明。
（2）第二问已知$A$是$BE$中点，即$AE=AB$，根据“等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半”可找到对应三角形；再结合平行四边形的性质和$EG=FH$的条件，就能推出面积为平行四边形$ABCD$面积一半的四边形。
【解析】
（1）证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD,AD// BC,AB=CD$，
$\therefore BE// DF$，可得$∠ E=∠ F$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ AGE=∠ CHF$，
在$△ AEG$和$△ CFH$中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ F\\ EG=FH\\ ∠ AGE=∠ CHF\end{array} $
$\therefore △ AEG≌△ CFH(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=CF$，
$\therefore AB+AE=CD+CF$，即$BE=DF$，
又$\because BE// DF$，
$\therefore$四边形$EBFD$是平行四边形。
（2）解：$\because A$是$BE$中点，$\therefore AE=AB$，设平行四边形$ABCD$以$AB$为底的高为$h$，则$S_{□ABCD}=AB· h$。
$△ ADE$以$AE$为底，高和平行四边形的高$h$相等，因此$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AE· h=\frac{1}{2}AB· h=\frac{1}{2}S_{□ABCD}$，同理可得$S_{△ BCF}=\frac{1}{2}S_{□ABCD}$；
结合平行四边形的对称性和$EG=FH$的条件，可推出四边形$ABHG$和四边形$CDGH$的面积均等于$□ABCD$面积的一半。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）两个三角形为$△ ADE$和$△ BCF$，两个四边形为四边形$ABHG$和四边形$CDGH$。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定；图形面积计算
【点评】
本题综合考察平行四边形的相关性质、判定以及全等三角形的应用，第二问需要结合中点特征分析图形的面积关系，侧重对基础知识点综合运用能力的考察，熟练掌握平行四边形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

1. 在平行四边形$ABCD$中,若$∠A:∠B=2:7$,则$∠C=$　　　　　。

40

【分析】
解题时首先回忆平行四边形关于角的性质：一是邻角互补，即相邻两个内角的和为180°；二是对角相等。首先利用邻角互补的性质，结合已知的∠A和∠B的比例关系，设未知数求出∠A的度数，再利用对角相等的性质，即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴$AD// BC$，且$∠ A=∠ C$
∴$∠ A+∠ B=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠ A:∠ B=2:7$，设$∠ A=2x$，$∠ B=7x$，代入得：
$2x+7x=180°$
$9x=180°$
解得$x=20°$
∴$∠ A=2×20°=40°$
∴$∠ C=∠ A=40°$
【答案】
40
【知识点】
1. 平行四边形邻角互补
2. 平行四边形对角相等
3. 比例计算应用
【点评】
本题是几何基础题型，核心考查平行四边形角的基本性质，解题逻辑清晰，只要熟练掌握平行四边形的相关性质，结合简单的比例运算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在平面直角坐标系中,正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$(记为第1个正方形)的顶点$A_{1}$与原点$O$重合,点$D_{1}$在$x$轴上,点$C_{1}$的坐标为$(1,1)$,以$C_{1}$为顶点作等边三角形$C_{1}A_{2}B_{2}$,点$A_{2}$落在$x$轴上,$A_{2}B_{2}⊥ x$轴,再以$A_{2}B_{2}$为边向右侧作正方形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$(记为第2个正方形)$···$,若按照上述的规律继续作正方形,则第2 025个正方形的边长为.

$2^{2\ 024}$

【分析】
解题时先从已知的第一个正方形入手，先求出第1个正方形的边长；再结合等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，推出第2个正方形的边长；同理推导第3个正方形的边长，总结出边长的变化规律，最后将n=2025代入规律式计算即可得到结果。
【解析】
首先，第1个正方形$A_1B_1C_1D_1$中，$C_1$坐标为$(1,1)$，因此第1个正方形的边长$a_1=1$。
接下来推导第2个正方形的边长：
以$C_1$为顶点作等边$△ C_1A_2B_2$，$A_2B_2⊥ x$轴，因此$∠ B_2A_2x=90°$，结合等边三角形内角为$60°$，可得$∠ C_1A_2D_1=90°-60°=30°$。
过$C_1$作$C_1D_1⊥ x$轴，垂足为$D_1$，$C_1D_1$的长度等于第1个正方形的边长，即$C_1D_1=1$。
在$Rt△ C_1D_1A_2$中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，因此斜边$C_1A_2=2C_1D_1=2×1=2$。
等边$△ C_1A_2B_2$的边长等于$C_1A_2=2$，因此$A_2B_2=2$，即第2个正方形的边长$a_2=2=2^1$。
同理，第2个正方形的$C_2$点纵坐标为$a_2=2$，作等边$△ C_2A_3B_3$时，可得$C_2A_3=2×2=4$，即第3个正方形的边长$a_3=4=2^2$。
以此类推，可总结规律：第$n$个正方形的边长$a_n=2^{n-1}$。
当$n=2025$时，$a_{2025}=2^{2025-1}=2^{2024}$。
【答案】
$2^{2024}$
【知识点】
图形规律探究，含30°角的直角三角形性质，等边三角形性质
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题核心是结合特殊三角形的性质找到相邻正方形边长的2倍关系，要求学生具备基本的归纳推理能力，熟练掌握等边三角形、特殊直角三角形的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.6

3. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$，$F$分别是线段$AO$，$BO$的中点.若$AC+BD=24$，$△ OAB$的周长是18，则$EF$的长为________.

3

【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手，平行四边形对角线互相平分，据此可先求出OA与OB的和；再结合△OAB的周长，就能算出AB的长度；最后E、F是AO、BO的中点，可知EF是△OAB的中位线，根据中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=1/2AC，OB=1/2BD（平行四边形对角线互相平分）
∵AC+BD=24
∴OA+OB=1/2(AC+BD)=1/2×24=12
∵△OAB的周长为18，即OA+OB+AB=18
∴AB=18-(OA+OB)=18-12=6
又
∵E、F分别是AO、BO的中点
∴EF是△OAB的中位线
∴EF=1/2AB=1/2×6=3
【答案】
3
【知识点】
平行四边形性质，三角形中位线定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何题，将平行四边形的性质与三角形中位线定理结合考查，解题的关键是先求出AB的长度，熟练掌握相关性质和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7