登录
一、填一填。
1. (1)
$\frac{(\quad)}{(\quad)}$m 占全长的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$
1. (1)
$\frac{(\quad)}{(\quad)}$m 占全长的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$
答案
1. (1) $\frac{4}{5}$ $\frac{4}{5}$
解析 把这条4m长的线段看作单位“1”，平均分成了5份，每份长$4÷5=\frac{4}{5}(\mathrm{m})$；每份占这条线段的$\frac{1}{5}$，4份占这条线段的$\frac{4}{5}$。
解析 把这条4m长的线段看作单位“1”，平均分成了5份，每份长$4÷5=\frac{4}{5}(\mathrm{m})$；每份占这条线段的$\frac{1}{5}$，4份占这条线段的$\frac{4}{5}$。
解析
【分析】
首先要明确这道题的两个问题，一是求其中一段的具体长度，二是求4段占全长的分率。先把4m长的线段看作单位“1”，它被平均分成了5份。对于具体长度，用总长度除以平均分的份数就能得到每份长度；对于分率，因为单位“1”被平均分成5份，每份占全长的$\frac{1}{5}$，4份就是4个$\frac{1}{5}$。
【解析】
1. 计算每份的长度：
已知线段总长为4m，被平均分成5份，根据“总长度÷份数=每份长度”，可得每份长度为$4÷5=\frac{4}{5}$（m）。
2. 计算4份占全长的分率：
把全长看作单位“1”，平均分成5份，则每份占全长的$\frac{1}{5}$，4份占全长的$\frac{1}{5}×4=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$；$\frac{4}{5}$
【知识点】
分数的意义、分数与除法的关系
【点评】
本题重点考查对分数意义的理解，需要区分具体长度和分率的不同计算逻辑，具体长度通过总长度除以份数计算，分率是看所占份数与总份数的占比关系。
【难度系数】
0.8
首先要明确这道题的两个问题，一是求其中一段的具体长度，二是求4段占全长的分率。先把4m长的线段看作单位“1”，它被平均分成了5份。对于具体长度，用总长度除以平均分的份数就能得到每份长度；对于分率，因为单位“1”被平均分成5份，每份占全长的$\frac{1}{5}$，4份就是4个$\frac{1}{5}$。
【解析】
1. 计算每份的长度：
已知线段总长为4m，被平均分成5份，根据“总长度÷份数=每份长度”，可得每份长度为$4÷5=\frac{4}{5}$（m）。
2. 计算4份占全长的分率：
把全长看作单位“1”，平均分成5份，则每份占全长的$\frac{1}{5}$，4份占全长的$\frac{1}{5}×4=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$；$\frac{4}{5}$
【知识点】
分数的意义、分数与除法的关系
【点评】
本题重点考查对分数意义的理解，需要区分具体长度和分率的不同计算逻辑，具体长度通过总长度除以份数计算，分率是看所占份数与总份数的占比关系。
【难度系数】
0.8
(2)
10 只
24 只 $\frac{(\quad)}{(\quad)}$
7 只 $\frac{(\quad)}{(\quad)}$
10 只
24 只 $\frac{(\quad)}{(\quad)}$
7 只 $\frac{(\quad)}{(\quad)}$
答案
(2) $\frac{12}{5}$ $\frac{7}{10}$
解析 方法一 根据分数的意义计算。
把10只看作单位“1”，24只就是单位“1”的$\frac{24}{10}$，约分为$\frac{12}{5}$。同理，7只是单位“1”的$\frac{7}{10}$。
方法二 根据分数与除法的关系计算。
24只是10只的几分之几，$24÷10=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$。
7只是10只的几分之几，$7÷10=\frac{7}{10}$。
解析 方法一 根据分数的意义计算。
把10只看作单位“1”，24只就是单位“1”的$\frac{24}{10}$，约分为$\frac{12}{5}$。同理，7只是单位“1”的$\frac{7}{10}$。
方法二 根据分数与除法的关系计算。
24只是10只的几分之几，$24÷10=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$。
7只是10只的几分之几，$7÷10=\frac{7}{10}$。
解析
【分析】
首先明确题目中把10只看作单位“1”，我们的目标是求24只和7只分别是这个单位“1”的几分之几。解题思路有两种：一是从分数的意义出发，把单位“1”平均分成10份，看24只和7只分别占多少份，再写出对应的分数并约分；二是根据分数与除法的关系，求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以单位“1”的数量，再将结果转化为分数并化简。
【解析】
方法一：根据分数的意义计算
把10只看作单位“1”，将其平均分成10份，每份为1只。
24只占这样的24份，即$\frac{24}{10}$，约分后得到$\frac{12}{5}$；
7只占这样的7份，即$\frac{7}{10}$。
方法二：根据分数与除法的关系计算
求24只是10只的几分之几，用除法计算：$24÷10=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$；
求7只是10只的几分之几，用除法计算：$7÷10=\frac{7}{10}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$；$\frac{7}{10}$
【知识点】
1. 单位“1”的认识
2. 分数与除法的关系
3. 分数约分
【点评】
本题重点考查分数意义的应用以及分数与除法的关系，解题关键是找准单位“1”，理解求一个数是另一个数的几分之几用除法计算，同时要注意将分数化为最简形式。
【难度系数】
0.7
首先明确题目中把10只看作单位“1”，我们的目标是求24只和7只分别是这个单位“1”的几分之几。解题思路有两种：一是从分数的意义出发，把单位“1”平均分成10份，看24只和7只分别占多少份，再写出对应的分数并约分；二是根据分数与除法的关系，求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以单位“1”的数量，再将结果转化为分数并化简。
【解析】
方法一：根据分数的意义计算
把10只看作单位“1”，将其平均分成10份，每份为1只。
24只占这样的24份，即$\frac{24}{10}$，约分后得到$\frac{12}{5}$；
7只占这样的7份，即$\frac{7}{10}$。
方法二：根据分数与除法的关系计算
求24只是10只的几分之几，用除法计算：$24÷10=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$；
求7只是10只的几分之几，用除法计算：$7÷10=\frac{7}{10}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$；$\frac{7}{10}$
【知识点】
1. 单位“1”的认识
2. 分数与除法的关系
3. 分数约分
【点评】
本题重点考查分数意义的应用以及分数与除法的关系，解题关键是找准单位“1”，理解求一个数是另一个数的几分之几用除法计算，同时要注意将分数化为最简形式。
【难度系数】
0.7
2. $20÷16=\frac{80}{(\quad)}=\frac{(\quad)}{4}=(\quad)$(填带分数)$=(\quad)$(填小数)
答案
2. 64 5 $1\frac{1}{4}$ 1.25
解析 分析过程如下图。
解析
【分析】
这道题主要考查除法与分数的关系、分数的基本性质以及分数与带分数、小数的互化。解题思路如下：
1. 先根据除法与分数的对应关系，将$20÷16$转化为分数$\frac{20}{16}$，再化简为最简分数$\frac{5}{4}$；
2. 对于$\frac{80}{(\quad)}$，观察到分子从5变为80是乘了16，依据分数的基本性质，分母4也需乘16，从而得出括号里的数；
3. 对于$\frac{(\quad)}{4}$，最简分数$\frac{5}{4}$的分母就是4，直接得到分子为5；
4. 将$\frac{5}{4}$化为带分数时，用分子除以分母，商作整数部分，余数作分子、分母不变；
5. 将分数化为小数，直接用分子除以分母计算即可。
【解析】
1. 把除法转化为分数并化简：
$20÷16=\frac{20}{16}=\frac{20÷4}{16÷4}=\frac{5}{4}$
2. 求$\frac{80}{(\quad)}$中的括号数：
因为$\frac{5}{4}=\frac{5×16}{4×16}=\frac{80}{64}$，所以第一个括号填64；
3. 求$\frac{(\quad)}{4}$中的括号数：
由最简分数$\frac{5}{4}$可知，第二个括号填5；
4. 将$\frac{5}{4}$化为带分数：
$5÷4=1······1$，所以$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$；
5. 将$\frac{5}{4}$化为小数：
$5÷4=1.25$
【答案】
64 5 $1\frac{1}{4}$ 1.25
【知识点】
1. 除法与分数的关系
2. 分数的基本性质
3. 分数与小数、带分数互化
【点评】
本题综合考查分数相关的基础知识点，涵盖除法与分数的转化、分数的基本性质应用以及分数的不同形式互化，只要熟练掌握这些基础概念和转化方法，理清各部分逻辑关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
这道题主要考查除法与分数的关系、分数的基本性质以及分数与带分数、小数的互化。解题思路如下：
1. 先根据除法与分数的对应关系，将$20÷16$转化为分数$\frac{20}{16}$，再化简为最简分数$\frac{5}{4}$；
2. 对于$\frac{80}{(\quad)}$，观察到分子从5变为80是乘了16，依据分数的基本性质，分母4也需乘16，从而得出括号里的数；
3. 对于$\frac{(\quad)}{4}$，最简分数$\frac{5}{4}$的分母就是4，直接得到分子为5；
4. 将$\frac{5}{4}$化为带分数时，用分子除以分母，商作整数部分，余数作分子、分母不变；
5. 将分数化为小数，直接用分子除以分母计算即可。
【解析】
1. 把除法转化为分数并化简：
$20÷16=\frac{20}{16}=\frac{20÷4}{16÷4}=\frac{5}{4}$
2. 求$\frac{80}{(\quad)}$中的括号数：
因为$\frac{5}{4}=\frac{5×16}{4×16}=\frac{80}{64}$，所以第一个括号填64；
3. 求$\frac{(\quad)}{4}$中的括号数：
由最简分数$\frac{5}{4}$可知，第二个括号填5；
4. 将$\frac{5}{4}$化为带分数：
$5÷4=1······1$，所以$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$；
5. 将$\frac{5}{4}$化为小数：
$5÷4=1.25$
【答案】
64 5 $1\frac{1}{4}$ 1.25
【知识点】
1. 除法与分数的关系
2. 分数的基本性质
3. 分数与小数、带分数互化
【点评】
本题综合考查分数相关的基础知识点，涵盖除法与分数的转化、分数的基本性质应用以及分数的不同形式互化，只要熟练掌握这些基础概念和转化方法，理清各部分逻辑关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
3. 8 和 12 的公因数有($\quad$)，最大公因数是($\quad$)；在 100 以内，这两个数的公倍数有($\quad$)，最小公倍数是($\quad$)。
答案
3. 1,2,4 4 24,48,72,96 24
解析 解答本题时有多种方法。
方法一 列举法，直接找出这两个数的公因数和公倍数，再确定最大公因数和最小公倍数。
方法二 短除法，先找出这两个数的最大公因数和最小公倍数，再确定公因数和公倍数。
$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {8\ 12}\\ 2\enclose{longdiv} {4\ 6}\\ \hline 2\ 3\end{array}$ 最大公因数：$2×2=4$
最小公倍数：$2×2×2×3=24$
公因数是最大公因数4的因数，即1,2,4。
公倍数是最小公倍数24的倍数，即24,48,72,96。
解析
【分析】
要解决这道题，可从两种核心思路展开：
1. 针对公因数和最大公因数：
思路一：列举法。先分别列出8和12的所有因数，筛选出共有的因数即为公因数，其中数值最大的就是最大公因数。
思路二：短除法。通过短除法求出8和12的最大公因数，再根据“公因数是最大公因数的所有因数”，直接推导得出所有公因数。
2. 针对公倍数和最小公倍数：
思路一：列举法。分别列出100以内8和12的所有倍数，找出公共的倍数就是公倍数，其中最小的那个就是最小公倍数。
思路二：短除法。先用短除法算出8和12的最小公倍数，再找出100以内该最小公倍数的所有倍数，即为要求的公倍数。
【解析】
方法一：列举法
找公因数和最大公因数：
8的因数：1、2、4、8；
12的因数：1、2、3、4、6、12；
因此8和12的公因数是1、2、4，最大公因数是4。
找公倍数和最小公倍数：
100以内8的倍数：8、16、24、32、40、48、56、64、72、80、88、96；
100以内12的倍数：12、24、36、48、60、72、84、96；
因此100以内8和12的公倍数是24、48、72、96，最小公倍数是24。
方法二：短除法
$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {8\ 12}\\ 2\enclose{longdiv} {4\ 6}\\ \hline 2\ 3\end{array}$
最大公因数：$2×2=4$；
公因数是最大公因数4的因数，即1、2、4；
最小公倍数：$2×2×2×3=24$；
公倍数是最小公倍数24的倍数，在100以内的有24、48、72、96。
【答案】
1,2,4 4 24,48,72,96 24
【知识点】
公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数、短除法求公因数和公倍数
【点评】
本题考查了公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的概念及求解方法，列举法和短除法是这类问题的常用解法。利用最大公因数的因数推导公因数、最小公倍数的倍数推导公倍数的技巧，能有效提升解题效率，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，可从两种核心思路展开：
1. 针对公因数和最大公因数：
思路一：列举法。先分别列出8和12的所有因数，筛选出共有的因数即为公因数，其中数值最大的就是最大公因数。
思路二：短除法。通过短除法求出8和12的最大公因数，再根据“公因数是最大公因数的所有因数”，直接推导得出所有公因数。
2. 针对公倍数和最小公倍数：
思路一：列举法。分别列出100以内8和12的所有倍数，找出公共的倍数就是公倍数，其中最小的那个就是最小公倍数。
思路二：短除法。先用短除法算出8和12的最小公倍数，再找出100以内该最小公倍数的所有倍数，即为要求的公倍数。
【解析】
方法一：列举法
找公因数和最大公因数：
8的因数：1、2、4、8；
12的因数：1、2、3、4、6、12；
因此8和12的公因数是1、2、4，最大公因数是4。
找公倍数和最小公倍数：
100以内8的倍数：8、16、24、32、40、48、56、64、72、80、88、96；
100以内12的倍数：12、24、36、48、60、72、84、96；
因此100以内8和12的公倍数是24、48、72、96，最小公倍数是24。
方法二：短除法
$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {8\ 12}\\ 2\enclose{longdiv} {4\ 6}\\ \hline 2\ 3\end{array}$
最大公因数：$2×2=4$；
公因数是最大公因数4的因数，即1、2、4；
最小公倍数：$2×2×2×3=24$；
公倍数是最小公倍数24的倍数，在100以内的有24、48、72、96。
【答案】
1,2,4 4 24,48,72,96 24
【知识点】
公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数、短除法求公因数和公倍数
【点评】
本题考查了公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的概念及求解方法，列举法和短除法是这类问题的常用解法。利用最大公因数的因数推导公因数、最小公倍数的倍数推导公倍数的技巧，能有效提升解题效率，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
4. 在〇里填上“＞”“＜”或“＝”。(a 是非零自然数)
$\frac{9}{35}〇\frac{9}{34}$
$\frac{16}{9}〇1\frac{8}{9}$
$\frac{6}{11}〇\frac{4}{7}$
$1\frac{1}{3}〇1.\dot{3}$
$\frac{8}{3a}〇\frac{5}{2a}$
$\frac{9}{35}〇\frac{9}{34}$
$\frac{16}{9}〇1\frac{8}{9}$
$\frac{6}{11}〇\frac{4}{7}$
$1\frac{1}{3}〇1.\dot{3}$
$\frac{8}{3a}〇\frac{5}{2a}$
答案
4. ＜ ＜ ＜ = ＞
解析 下面为本题用到的比较大小的方法。
⚫分子相同看分母，分母大的分数小。
⚫分母相同看分子，分子大的分数大。
⚫分子、分母都不同，先通分再比较分数的大小。
⚫分数与小数比较大小，可先将分数转化成小数，或先将小数转化成分数，再比较。
解析 下面为本题用到的比较大小的方法。
⚫分子相同看分母，分母大的分数小。
⚫分母相同看分子，分子大的分数大。
⚫分子、分母都不同，先通分再比较分数的大小。
⚫分数与小数比较大小，可先将分数转化成小数，或先将小数转化成分数，再比较。
解析
【分析】
我们需要根据不同分数的特点，选择合适的比较方法逐一判断大小：
1. 分子相同的分数，依据“分子相同，分母越大，分数越小”的规律比较；
2. 带分数与假分数比较，先将带分数转化为假分数，再利用分母相同看分子的方法判断；
3. 分子分母均不同的分数，先通分转化为同分母分数，再比较分子大小；
4. 分数与循环小数比较，把分数转化为循环小数后对比；
5. 含字母的分数，结合a是非零自然数的条件，先通分再比较分子大小。
【解析】
1. 比较$\frac{9}{35}$和$\frac{9}{34}$：
分子相同，分母$35＞34$，根据“分子相同，分母大的分数小”，可得$\frac{9}{35}＜\frac{9}{34}$。
2. 比较$\frac{16}{9}$和$1\frac{8}{9}$：
将带分数化为假分数，$1\frac{8}{9}=\frac{1×9+8}{9}=\frac{17}{9}$，分母相同，分子$16＜17$，所以$\frac{16}{9}＜1\frac{8}{9}$。
3. 比较$\frac{6}{11}$和$\frac{4}{7}$：
通分，11和7的最小公倍数是77，$\frac{6}{11}=\frac{6×7}{11×7}=\frac{42}{77}$，$\frac{4}{7}=\frac{4×11}{7×11}=\frac{44}{77}$，因为$42＜44$，所以$\frac{6}{11}＜\frac{4}{7}$。
4. 比较$1\frac{1}{3}$和$1.\dot{3}$：
将分数化为小数，$1\frac{1}{3}=1+1÷3=1.\dot{3}$，所以$1\frac{1}{3}=1.\dot{3}$。
5. 比较$\frac{8}{3a}$和$\frac{5}{2a}$（a是非零自然数）：
通分，分母的最小公倍数是$6a$，$\frac{8}{3a}=\frac{8×2}{3a×2}=\frac{16}{6a}$，$\frac{5}{2a}=\frac{5×3}{2a×3}=\frac{15}{6a}$，因为$16＞15$且$a$是非零自然数，分母$6a＞0$，所以$\frac{8}{3a}＞\frac{5}{2a}$。
【答案】
＜ ＜ ＜ = ＞
【知识点】
分数大小比较、分数与小数互化、通分
【点评】
本题涵盖了分数大小比较的多种常见方法，需要根据分数的形式灵活选择策略，含字母的分数还需结合字母取值范围判断，能全面考查学生对分数相关知识的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.6
我们需要根据不同分数的特点，选择合适的比较方法逐一判断大小：
1. 分子相同的分数，依据“分子相同，分母越大，分数越小”的规律比较；
2. 带分数与假分数比较，先将带分数转化为假分数，再利用分母相同看分子的方法判断；
3. 分子分母均不同的分数，先通分转化为同分母分数，再比较分子大小；
4. 分数与循环小数比较，把分数转化为循环小数后对比；
5. 含字母的分数，结合a是非零自然数的条件，先通分再比较分子大小。
【解析】
1. 比较$\frac{9}{35}$和$\frac{9}{34}$：
分子相同，分母$35＞34$，根据“分子相同，分母大的分数小”，可得$\frac{9}{35}＜\frac{9}{34}$。
2. 比较$\frac{16}{9}$和$1\frac{8}{9}$：
将带分数化为假分数，$1\frac{8}{9}=\frac{1×9+8}{9}=\frac{17}{9}$，分母相同，分子$16＜17$，所以$\frac{16}{9}＜1\frac{8}{9}$。
3. 比较$\frac{6}{11}$和$\frac{4}{7}$：
通分，11和7的最小公倍数是77，$\frac{6}{11}=\frac{6×7}{11×7}=\frac{42}{77}$，$\frac{4}{7}=\frac{4×11}{7×11}=\frac{44}{77}$，因为$42＜44$，所以$\frac{6}{11}＜\frac{4}{7}$。
4. 比较$1\frac{1}{3}$和$1.\dot{3}$：
将分数化为小数，$1\frac{1}{3}=1+1÷3=1.\dot{3}$，所以$1\frac{1}{3}=1.\dot{3}$。
5. 比较$\frac{8}{3a}$和$\frac{5}{2a}$（a是非零自然数）：
通分，分母的最小公倍数是$6a$，$\frac{8}{3a}=\frac{8×2}{3a×2}=\frac{16}{6a}$，$\frac{5}{2a}=\frac{5×3}{2a×3}=\frac{15}{6a}$，因为$16＞15$且$a$是非零自然数，分母$6a＞0$，所以$\frac{8}{3a}＞\frac{5}{2a}$。
【答案】
＜ ＜ ＜ = ＞
【知识点】
分数大小比较、分数与小数互化、通分
【点评】
本题涵盖了分数大小比较的多种常见方法，需要根据分数的形式灵活选择策略，含字母的分数还需结合字母取值范围判断，能全面考查学生对分数相关知识的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.6
5. 如果$\frac{x}{6}$是最简真分数，$\frac{x}{4}$是假分数，那么 x 等于($\quad$)。(x 是非零自然数)
答案
5. 5
解析 根据$\frac{x}{6}$是最简真分数，可知x是1或5，又因为$\frac{x}{4}$是假分数，所以x只能是5。
解析 根据$\frac{x}{6}$是最简真分数，可知x是1或5，又因为$\frac{x}{4}$是假分数，所以x只能是5。
解析
【分析】
首先要明确最简真分数和假分数的定义：最简真分数是分子小于分母且分子分母互质的分数，假分数是分子大于或等于分母的分数。我们先根据$\frac{x}{6}$是最简真分数确定x的可能取值，再结合$\frac{x}{4}$是假分数的条件，筛选出同时满足两个要求的x值。
【解析】
1. 对于$\frac{x}{6}$是最简真分数，x是非零自然数，需满足：$x ＜ 6$（真分数分子小于分母），且x与6互质，因此x的可能取值为1、5。
2. 对于$\frac{x}{4}$是假分数，需满足：$x ≥ 4$（假分数分子大于或等于分母）。
3. 结合上述两个条件，x既要属于{1,5}，又要满足$x ≥ 4$，所以x只能是5。
【答案】
5
【知识点】
最简真分数定义、假分数定义
【点评】
本题考查对最简真分数和假分数核心概念的理解，需要准确把握两类分数的特征，通过分步筛选确定符合条件的数值，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】
0.7
首先要明确最简真分数和假分数的定义：最简真分数是分子小于分母且分子分母互质的分数，假分数是分子大于或等于分母的分数。我们先根据$\frac{x}{6}$是最简真分数确定x的可能取值，再结合$\frac{x}{4}$是假分数的条件，筛选出同时满足两个要求的x值。
【解析】
1. 对于$\frac{x}{6}$是最简真分数，x是非零自然数，需满足：$x ＜ 6$（真分数分子小于分母），且x与6互质，因此x的可能取值为1、5。
2. 对于$\frac{x}{4}$是假分数，需满足：$x ≥ 4$（假分数分子大于或等于分母）。
3. 结合上述两个条件，x既要属于{1,5}，又要满足$x ≥ 4$，所以x只能是5。
【答案】
5
【知识点】
最简真分数定义、假分数定义
【点评】
本题考查对最简真分数和假分数核心概念的理解，需要准确把握两类分数的特征，通过分步筛选确定符合条件的数值，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】
0.7
6. 如果$A=2×3×m$，$B=3×5×m$，m 是非零自然数，并且 A 和 B 的最大公因数是 21，那么$m=(\quad)$，A 和 B 的最小公倍数是($\quad$)。
答案
6. 7 210
解析 A和B的最大公因数是这两个数公有质因数的积，所以$3m=21$，$m=7$。A和B的最小公倍数是这两个数公有质因数和各自独有质因数的积，即$3×7×2×5=210$。
解析 A和B的最大公因数是这两个数公有质因数的积，所以$3m=21$，$m=7$。A和B的最小公倍数是这两个数公有质因数和各自独有质因数的积，即$3×7×2×5=210$。
解析
【分析】
首先要明确最大公因数和最小公倍数的定义：两个数的最大公因数是它们公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数与各自独有质因数的乘积。观察A和B的分解质因数形式，A=2×3×m，B=3×5×m，它们的公有质因数是3和m，已知最大公因数是21，可通过公有质因数的乘积等于21求出m的值；求出m后，再结合最小公倍数的计算方法，将公有质因数和各自独有质因数相乘，就能得到A和B的最小公倍数。
【解析】
1. 计算m的值：
因为A和B的最大公因数是公有质因数的乘积，A、B的公有质因数为3和m，所以有：
$3×m=21$
解得：$m=21÷3=7$
2. 计算A和B的最小公倍数：
A和B的公有质因数是3和7，A独有的质因数是2，B独有的质因数是5，根据最小公倍数的计算规则可得：
最小公倍数=$3×7×2×5=210$
【答案】
7；210
【知识点】
最大公因数求法、最小公倍数求法
【点评】
本题考查利用分解质因数法求最大公因数和最小公倍数，核心是理解两者的定义，准确区分公有质因数和独有质因数，属于基础题型，熟练掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先要明确最大公因数和最小公倍数的定义：两个数的最大公因数是它们公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数与各自独有质因数的乘积。观察A和B的分解质因数形式，A=2×3×m，B=3×5×m，它们的公有质因数是3和m，已知最大公因数是21，可通过公有质因数的乘积等于21求出m的值；求出m后，再结合最小公倍数的计算方法，将公有质因数和各自独有质因数相乘，就能得到A和B的最小公倍数。
【解析】
1. 计算m的值：
因为A和B的最大公因数是公有质因数的乘积，A、B的公有质因数为3和m，所以有：
$3×m=21$
解得：$m=21÷3=7$
2. 计算A和B的最小公倍数：
A和B的公有质因数是3和7，A独有的质因数是2，B独有的质因数是5，根据最小公倍数的计算规则可得：
最小公倍数=$3×7×2×5=210$
【答案】
7；210
【知识点】
最大公因数求法、最小公倍数求法
【点评】
本题考查利用分解质因数法求最大公因数和最小公倍数，核心是理解两者的定义，准确区分公有质因数和独有质因数，属于基础题型，熟练掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.
天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测。
十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。(10 年一循环)
十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。(12 年一循环)
自古农历就借用天干地支来表示年份，十天干和十二地支依次相配，例如：2025 年是乙巳年，2026 年是丙午年，2027 年是丁未年……那么下一个乙巳年是($\quad$)年。
天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测。
十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。(10 年一循环)
十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。(12 年一循环)
自古农历就借用天干地支来表示年份，十天干和十二地支依次相配，例如：2025 年是乙巳年，2026 年是丙午年，2027 年是丁未年……那么下一个乙巳年是($\quad$)年。
答案
7. 2085
解析 如下图，十天干和十二地支依次相配。
|天干|甲|乙|丙|丁|戊|己|庚|辛|壬|癸|甲|乙|丙|丁|…|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|地支|子|丑|寅|卯|辰|巳|午|未|申|酉|戌|亥|子|丑|…|
根据上图可推出$\begin{cases} \mathrm{天干中的“乙”每10年出现一次} \\ \mathrm{地支中的“巳”每12年出现一次} \end{cases}$
到下一个乙巳年出现，经历的年数正好是10和12的最小公倍数60，即60年一轮回。
$2025+60=2085$，下一个乙巳年是2085年。
解析 如下图，十天干和十二地支依次相配。
|天干|甲|乙|丙|丁|戊|己|庚|辛|壬|癸|甲|乙|丙|丁|…|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|地支|子|丑|寅|卯|辰|巳|午|未|申|酉|戌|亥|子|丑|…|
根据上图可推出$\begin{cases} \mathrm{天干中的“乙”每10年出现一次} \\ \mathrm{地支中的“巳”每12年出现一次} \end{cases}$
到下一个乙巳年出现，经历的年数正好是10和12的最小公倍数60，即60年一轮回。
$2025+60=2085$，下一个乙巳年是2085年。
解析
【分析】
要找到下一个乙巳年，首先明确天干和地支的循环规律：十天干每10年一循环，十二地支每12年一循环。乙巳年需要天干为“乙”且地支为“巳”，因此下一次同时满足这两个条件的年份，经过的年数必须是10和12的最小公倍数，因为这个数能同时被10和12整除，可保证天干回到“乙”、地支回到“巳”。先计算10和12的最小公倍数，再用2025年加上这个公倍数即可得到下一个乙巳年的年份。
【解析】
1. 明确循环周期：天干中的“乙”每10年出现一次，地支中的“巳”每12年出现一次。
2. 计算最小公倍数：对10和12分解质因数，10=2×5，12=2²×3，因此二者的最小公倍数为2²×3×5=60，即每60年天干和地支会再次组合成乙巳年。
3. 计算下一个乙巳年：2025 + 60 = 2085（年）。
【答案】
2085
【知识点】
最小公倍数应用、天干地支纪年规律
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，结合传统文化中的天干地支纪年法，需要理解循环周期的概念，关键是明确要同时满足天干和地支的循环需取两个周期的最小公倍数，体现了数学知识与传统文化的融合。
【难度系数】
0.6
要找到下一个乙巳年，首先明确天干和地支的循环规律：十天干每10年一循环，十二地支每12年一循环。乙巳年需要天干为“乙”且地支为“巳”，因此下一次同时满足这两个条件的年份，经过的年数必须是10和12的最小公倍数，因为这个数能同时被10和12整除，可保证天干回到“乙”、地支回到“巳”。先计算10和12的最小公倍数，再用2025年加上这个公倍数即可得到下一个乙巳年的年份。
【解析】
1. 明确循环周期：天干中的“乙”每10年出现一次，地支中的“巳”每12年出现一次。
2. 计算最小公倍数：对10和12分解质因数，10=2×5，12=2²×3，因此二者的最小公倍数为2²×3×5=60，即每60年天干和地支会再次组合成乙巳年。
3. 计算下一个乙巳年：2025 + 60 = 2085（年）。
【答案】
2085
【知识点】
最小公倍数应用、天干地支纪年规律
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，结合传统文化中的天干地支纪年法，需要理解循环周期的概念，关键是明确要同时满足天干和地支的循环需取两个周期的最小公倍数，体现了数学知识与传统文化的融合。
【难度系数】
0.6
二、选一选。
1. 下面的选项中表示的涂色部分与整体的关系和其他选项不一样的是($\quad$)。
A.
B.
C.
D.
1. 下面的选项中表示的涂色部分与整体的关系和其他选项不一样的是($\quad$)。
A.
B.
C.
D.
答案
1. D
解析 A、B、C选项都是将整体平均分成4份，涂色部分占其中的3份。而D选项是将整体平均分成4份，涂色部分占其中的1份。
解析 A、B、C选项都是将整体平均分成4份，涂色部分占其中的3份。而D选项是将整体平均分成4份，涂色部分占其中的1份。
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先分析每个选项中整体的分割情况是否为平均分，再确定涂色部分占整体的份数，最后对比各选项表示的分数，找出与其他选项不同的那一个。首先依次观察每个选项：A选项把整体平均分成4份，涂色部分占3份；B选项同样是将整体平均分成4份，涂色部分占3份；C选项是把圆形平均分成4份，涂色部分占3份；D选项是把整体平均分成4份，涂色部分占1份。通过对比可以发现，D选项的涂色占比和其他三个选项不同。
【解析】
A、B、C选项都是将整体平均分成4份，涂色部分占其中的3份，对应分数为$\frac{3}{4}$；而D选项是将整体平均分成4份，涂色部分占其中的1份，对应分数为$\frac{1}{4}$。因此D选项表示的涂色部分与整体的关系和其他选项不一样。
【答案】
D
【知识点】
分数的意义，平均分
【点评】
本题主要考查对分数意义的理解，核心是判断整体是否被平均分，以及准确识别涂色部分占整体的份数，通过对比各选项的分数占比找出差异，题目较为基础，侧重对分数概念的初步应用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要先分析每个选项中整体的分割情况是否为平均分，再确定涂色部分占整体的份数，最后对比各选项表示的分数，找出与其他选项不同的那一个。首先依次观察每个选项：A选项把整体平均分成4份，涂色部分占3份；B选项同样是将整体平均分成4份，涂色部分占3份；C选项是把圆形平均分成4份，涂色部分占3份；D选项是把整体平均分成4份，涂色部分占1份。通过对比可以发现，D选项的涂色占比和其他三个选项不同。
【解析】
A、B、C选项都是将整体平均分成4份，涂色部分占其中的3份，对应分数为$\frac{3}{4}$；而D选项是将整体平均分成4份，涂色部分占其中的1份，对应分数为$\frac{1}{4}$。因此D选项表示的涂色部分与整体的关系和其他选项不一样。
【答案】
D
【知识点】
分数的意义，平均分
【点评】
本题主要考查对分数意义的理解，核心是判断整体是否被平均分，以及准确识别涂色部分占整体的份数，通过对比各选项的分数占比找出差异，题目较为基础，侧重对分数概念的初步应用。
【难度系数】
0.8
2. 如图，纸条的长度是($\quad$)m。
A.0.6
B.1.3
C.$\frac{8}{10}$
D.$1\frac{3}{5}$
A.0.6
B.1.3
C.$\frac{8}{10}$
D.$1\frac{3}{5}$
答案
2. D
解析 将1m看作单位“1”，把1m平均分成5份，每份是$\frac{1}{5}\mathrm{m}$，纸条长度比1m还长3份，所以纸条长$1\frac{3}{5}\mathrm{m}$。
解析 将1m看作单位“1”，把1m平均分成5份，每份是$\frac{1}{5}\mathrm{m}$，纸条长度比1m还长3份，所以纸条长$1\frac{3}{5}\mathrm{m}$。
解析
【分析】
首先观察刻度尺的刻度，1m被平均分成5份，先确定每份的长度为$\frac{1}{5}\mathrm{m}$；接着观察纸条的长度，它超过1m且多出3份，我们可以通过1m加上多出的3份的长度得到纸条总长度，再对比选项找到正确答案。
【解析】
将1m看作单位“1”，把1m平均分成5份，每份是$\frac{1}{5}\mathrm{m}$，纸条长度比1m还长3份，所以纸条长$1\frac{3}{5}\mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
分数的意义、长度测量
【点评】
本题结合长度测量考查分数的意义，解题关键是准确识别刻度尺的分度值，正确计算纸条的长度，避免误看刻度导致错误。
【难度系数】
0.7
首先观察刻度尺的刻度，1m被平均分成5份，先确定每份的长度为$\frac{1}{5}\mathrm{m}$；接着观察纸条的长度，它超过1m且多出3份，我们可以通过1m加上多出的3份的长度得到纸条总长度，再对比选项找到正确答案。
【解析】
将1m看作单位“1”，把1m平均分成5份，每份是$\frac{1}{5}\mathrm{m}$，纸条长度比1m还长3份，所以纸条长$1\frac{3}{5}\mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
分数的意义、长度测量
【点评】
本题结合长度测量考查分数的意义，解题关键是准确识别刻度尺的分度值，正确计算纸条的长度，避免误看刻度导致错误。
【难度系数】
0.7
3. 小红和小丽花同样多的钱买了一本书，小红花了自己的钱的$\frac{2}{5}$，小丽花了自己的钱的$\frac{1}{3}$，谁原有的钱多？下面是3名同学的解法，正确的($\quad$)。
A.只有甲
B.只有乙
C.只有甲、丙
D.有甲、乙、丙
A.只有甲
B.只有乙
C.只有甲、丙
D.有甲、乙、丙
答案
3. C
解析 解题关键是明确两人花的钱数一样多。
乙的解法中，小红和小丽每份的钱数相同，但是份数不同，花的钱数就不同，所以错误。
解析 解题关键是明确两人花的钱数一样多。
乙的解法中，小红和小丽每份的钱数相同，但是份数不同，花的钱数就不同，所以错误。
解析
【分析】
首先明确解题核心：小红和小丽花的钱数相等，即小红原有钱数的$\frac{2}{5}$ = 小丽原有钱数的$\frac{1}{3}$。接下来逐一分析三名同学的解法：
1. 甲的解法：将两人花的钱数看作等量，把小红的钱分成5份，花了2份；小丽的钱分成3份，花了1份。通过份数关系可推导，若把花的钱统一成相同的份数，能得出小丽原有的钱更多，符合题意，是正确的。
2. 乙的解法：小红和小丽的每份钱数相同，导致小红花2份、小丽花1份，两人花的钱数不相等，违背了“花同样多的钱”的条件，是错误的。
3. 丙的解法：用相同数量的圆圈表示两人花的钱，小红总钱数对应5个圆圈，小丽对应6个圆圈，能直观得出小丽原有的钱更多，符合题意，是正确的。
综上，甲和丙的解法正确。
【解析】
解题关键是明确两人花的钱数一样多。
甲的解法：通过份数关系，将两人花的钱视为等量，正确推导出小丽原有的钱多，解法正确。
乙的解法：小红和小丽每份的钱数相同，导致两人花的钱数不同，不符合“花同样多的钱”的条件，解法错误。
丙的解法：用相同数量的图形表示两人花的钱，直观得出小丽原有的钱多，解法正确。
因此正确的是甲和丙，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分数的意义、等量关系应用
【点评】
本题借助直观图示考查对分数意义的理解及等量关系的运用，解题需紧扣“两人花同样多的钱”这一核心条件，判断图示是否符合该条件来推导结论，培养学生的逻辑分析与直观理解能力。
【难度系数】
0.6
首先明确解题核心：小红和小丽花的钱数相等，即小红原有钱数的$\frac{2}{5}$ = 小丽原有钱数的$\frac{1}{3}$。接下来逐一分析三名同学的解法：
1. 甲的解法：将两人花的钱数看作等量，把小红的钱分成5份，花了2份；小丽的钱分成3份，花了1份。通过份数关系可推导，若把花的钱统一成相同的份数，能得出小丽原有的钱更多，符合题意，是正确的。
2. 乙的解法：小红和小丽的每份钱数相同，导致小红花2份、小丽花1份，两人花的钱数不相等，违背了“花同样多的钱”的条件，是错误的。
3. 丙的解法：用相同数量的圆圈表示两人花的钱，小红总钱数对应5个圆圈，小丽对应6个圆圈，能直观得出小丽原有的钱更多，符合题意，是正确的。
综上，甲和丙的解法正确。
【解析】
解题关键是明确两人花的钱数一样多。
甲的解法：通过份数关系，将两人花的钱视为等量，正确推导出小丽原有的钱多，解法正确。
乙的解法：小红和小丽每份的钱数相同，导致两人花的钱数不同，不符合“花同样多的钱”的条件，解法错误。
丙的解法：用相同数量的图形表示两人花的钱，直观得出小丽原有的钱多，解法正确。
因此正确的是甲和丙，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分数的意义、等量关系应用
【点评】
本题借助直观图示考查对分数意义的理解及等量关系的运用，解题需紧扣“两人花同样多的钱”这一核心条件，判断图示是否符合该条件来推导结论，培养学生的逻辑分析与直观理解能力。
【难度系数】
0.6
