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4. 下面的问题中，哪个是用最大公因数来解决的？($\quad$)
A.一批羽毛球，一盒5个或一盒7个都能正好装完，这些羽毛球至少有多少个？
B.三人围着公园跑步，甲跑一圈要18分钟，乙跑一圈要9分钟，丙跑一圈要12分钟，三人从同一起点同时起跑，下次同时回到起点是多少分钟后？
C.将72 dm和96 dm的两根长绳剪成若干根等长跳绳且无剩余，跳绳最长多少分米？
D.将36名学生和24套器材分组，要使每组人数相等，器材数也相等，可以分为多少组？
A.一批羽毛球，一盒5个或一盒7个都能正好装完，这些羽毛球至少有多少个？
B.三人围着公园跑步，甲跑一圈要18分钟，乙跑一圈要9分钟，丙跑一圈要12分钟，三人从同一起点同时起跑，下次同时回到起点是多少分钟后？
C.将72 dm和96 dm的两根长绳剪成若干根等长跳绳且无剩余，跳绳最长多少分米？
D.将36名学生和24套器材分组，要使每组人数相等，器材数也相等，可以分为多少组？
答案
4. C
解析 最大公因数和最小公倍数的常见应用场景和关键词总结如下：
| |最大公因数|最小公倍数|
| ---- | ---- | ---- |
|常见应用场景|将多个物体分割成等长或等价，要求无剩余|多个周期性事件再次同时发生；将不同单位的物品组合|
|关键词|最长，最多，最大……|至少，最少，下次同时……|
⚫A不符合，“至少”说明找5和7的最小公倍数。
⚫B不符合，三人跑的时间是分别跑一圈时间的公倍数时，才能同时回到起点，“下次同时”说明找18、9和12的最小公倍数。
⚫C符合，“最长”说明找72和96的最大公因数。
⚫D不符合，“可以分为多少组”是找36和24的公因数，未限制“最多”，不是找最大公因数。
解析 最大公因数和最小公倍数的常见应用场景和关键词总结如下：
| |最大公因数|最小公倍数|
| ---- | ---- | ---- |
|常见应用场景|将多个物体分割成等长或等价，要求无剩余|多个周期性事件再次同时发生；将不同单位的物品组合|
|关键词|最长，最多，最大……|至少，最少，下次同时……|
⚫A不符合，“至少”说明找5和7的最小公倍数。
⚫B不符合，三人跑的时间是分别跑一圈时间的公倍数时，才能同时回到起点，“下次同时”说明找18、9和12的最小公倍数。
⚫C符合，“最长”说明找72和96的最大公因数。
⚫D不符合，“可以分为多少组”是找36和24的公因数，未限制“最多”，不是找最大公因数。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确最大公因数和最小公倍数的典型应用场景：最大公因数常用于将多个物体分割成等长/等价的部分且无剩余，常对应“最长、最多、最大”这类关键词；最小公倍数多用于多个周期性事件再次同时发生，或求组合物品的最少数量，常对应“至少、最少、下次同时”这类关键词。接下来我们逐个分析选项，判断每个选项对应的是最大公因数还是最小公倍数的应用，从而找出正确答案。
【解析】
我们先总结最大公因数和最小公倍数的常见应用场景及关键词：
| |最大公因数|最小公倍数|
| ---- | ---- | ---- |
|常见应用场景|将多个物体分割成等长或等价，要求无剩余|多个周期性事件再次同时发生；将不同单位的物品组合|
|关键词|最长，最多，最大……|至少，最少，下次同时……|
选项A：“至少有多少个”是求能被5和7都整除的最小数，属于找5和7的最小公倍数，不符合要求。
选项B：“下次同时回到起点”是求18、9、12的最小公倍数，因为三人同时回到起点的时间需是各自跑一圈时间的公倍数，“下次”对应最小的那个公倍数，不符合要求。
选项C：“跳绳最长多少分米”是求72和96的最大公因数，要把两根长绳剪成等长且无剩余的跳绳，最长的长度就是它们的最大公因数，符合要求。
选项D：“可以分为多少组”是找36和24的公因数，题目未要求“最多”分组数，不是求最大公因数，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
最大公因数应用、最小公倍数应用、公因数与公倍数辨析
【点评】
本题主要考查最大公因数和最小公倍数的应用场景辨析，解题关键是抓住题目中的关键词（如“最长”“至少”“下次同时”等），区分两种概念的适用情况，帮助学生掌握数论概念在实际问题中的应用方法。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需明确最大公因数和最小公倍数的典型应用场景：最大公因数常用于将多个物体分割成等长/等价的部分且无剩余，常对应“最长、最多、最大”这类关键词；最小公倍数多用于多个周期性事件再次同时发生，或求组合物品的最少数量，常对应“至少、最少、下次同时”这类关键词。接下来我们逐个分析选项，判断每个选项对应的是最大公因数还是最小公倍数的应用，从而找出正确答案。
【解析】
我们先总结最大公因数和最小公倍数的常见应用场景及关键词：
| |最大公因数|最小公倍数|
| ---- | ---- | ---- |
|常见应用场景|将多个物体分割成等长或等价，要求无剩余|多个周期性事件再次同时发生；将不同单位的物品组合|
|关键词|最长，最多，最大……|至少，最少，下次同时……|
选项A：“至少有多少个”是求能被5和7都整除的最小数，属于找5和7的最小公倍数，不符合要求。
选项B：“下次同时回到起点”是求18、9、12的最小公倍数，因为三人同时回到起点的时间需是各自跑一圈时间的公倍数，“下次”对应最小的那个公倍数，不符合要求。
选项C：“跳绳最长多少分米”是求72和96的最大公因数，要把两根长绳剪成等长且无剩余的跳绳，最长的长度就是它们的最大公因数，符合要求。
选项D：“可以分为多少组”是找36和24的公因数，题目未要求“最多”分组数，不是求最大公因数，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
最大公因数应用、最小公倍数应用、公因数与公倍数辨析
【点评】
本题主要考查最大公因数和最小公倍数的应用场景辨析，解题关键是抓住题目中的关键词（如“最长”“至少”“下次同时”等），区分两种概念的适用情况，帮助学生掌握数论概念在实际问题中的应用方法。
【难度系数】
0.6
三、右面的长方形表示$2\ \mathrm{m}^2$，请在图中分一分，涂一涂，表示出$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$。
答案
(分法、涂法不唯一)
解析 $\frac{1}{4}\mathrm{m}^2$表示$1\mathrm{m}^2$的$\frac{1}{4}$，因此可先将长方形平均分成2份，取其中的1份，即$1\mathrm{m}^2$。再将$1\mathrm{m}^2$平均分成4份，取其中的1份即可。
解析
【分析】
首先我们要明确目标是表示出$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$，已知长方形代表$2\ \mathrm{m}^2$。可以从两个角度思考：
1. 先把$2\ \mathrm{m}^2$转化为$1\ \mathrm{m}^2$：将长方形平均分成2份，其中1份就是$1\ \mathrm{m}^2$，而$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$是$1\ \mathrm{m}^2$的$\frac{1}{4}$，所以再把这$1\ \mathrm{m}^2$的部分平均分成4份，取其中1份即可。
2. 计算$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$占$2\ \mathrm{m}^2$的比例：$\frac{1}{4}÷2=\frac{1}{8}$，所以将长方形平均分成8份，涂其中1份，也能表示$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$。分法和涂法不唯一，只要符合分数的意义即可。
【解析】
因为$\frac{1}{4}\mathrm{m}^2$是$1\mathrm{m}^2$的$\frac{1}{4}$，所以先将代表$2\ \mathrm{m}^2$的长方形平均分成2份，取其中1份，这部分表示$1\mathrm{m}^2$；再将这$1\mathrm{m}^2$的部分平均分成4份，取其中1份，该部分即为$\frac{1}{4}\mathrm{m}^2$。
也可通过计算$\frac{1}{4}÷2=\frac{1}{8}$，将长方形平均分成8份，涂其中1份，同样表示$\frac{1}{4}\mathrm{m}^2$。
（分法、涂法不唯一）
【答案】
(分法、涂法不唯一)
【知识点】
分数的意义，分数与除法的关系
【点评】
本题考查分数意义的实际应用，需要学生结合已知整体量，通过分步划分或计算占比的方式确定目标量对应的图形部分，锻炼学生对分数概念的理解和动手操作能力，解题方法灵活多样，有助于培养学生的思维灵活性。
【难度系数】
0.7
首先我们要明确目标是表示出$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$，已知长方形代表$2\ \mathrm{m}^2$。可以从两个角度思考：
1. 先把$2\ \mathrm{m}^2$转化为$1\ \mathrm{m}^2$：将长方形平均分成2份，其中1份就是$1\ \mathrm{m}^2$，而$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$是$1\ \mathrm{m}^2$的$\frac{1}{4}$，所以再把这$1\ \mathrm{m}^2$的部分平均分成4份，取其中1份即可。
2. 计算$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$占$2\ \mathrm{m}^2$的比例：$\frac{1}{4}÷2=\frac{1}{8}$，所以将长方形平均分成8份，涂其中1份，也能表示$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}^2$。分法和涂法不唯一，只要符合分数的意义即可。
【解析】
因为$\frac{1}{4}\mathrm{m}^2$是$1\mathrm{m}^2$的$\frac{1}{4}$，所以先将代表$2\ \mathrm{m}^2$的长方形平均分成2份，取其中1份，这部分表示$1\mathrm{m}^2$；再将这$1\mathrm{m}^2$的部分平均分成4份，取其中1份，该部分即为$\frac{1}{4}\mathrm{m}^2$。
也可通过计算$\frac{1}{4}÷2=\frac{1}{8}$，将长方形平均分成8份，涂其中1份，同样表示$\frac{1}{4}\mathrm{m}^2$。
（分法、涂法不唯一）
【答案】
(分法、涂法不唯一)
【知识点】
分数的意义，分数与除法的关系
【点评】
本题考查分数意义的实际应用，需要学生结合已知整体量，通过分步划分或计算占比的方式确定目标量对应的图形部分，锻炼学生对分数概念的理解和动手操作能力，解题方法灵活多样，有助于培养学生的思维灵活性。
【难度系数】
0.7
四、解决问题。
1. 李老师感冒咳嗽，医生给他开了一瓶止咳药(如图)，李老师两天最多喝这瓶止咳药的几分之几？
【药品规格】300 mL
【用法用量】口服，成人每日三次，每次一汤匙(15～20 mL)，儿童酌减。
1. 李老师感冒咳嗽，医生给他开了一瓶止咳药(如图)，李老师两天最多喝这瓶止咳药的几分之几？
【药品规格】300 mL
【用法用量】口服，成人每日三次，每次一汤匙(15～20 mL)，儿童酌减。
答案
1. $20×3×2=120(\mathrm{mL})$ $120÷300=\frac{2}{5}$
答：李老师两天最多喝这瓶止咳药的$\frac{2}{5}$。
解析 先求出李老师两天最多喝多少毫升药，再用喝的药的量除以整瓶药的量即可。
答：李老师两天最多喝这瓶止咳药的$\frac{2}{5}$。
解析 先求出李老师两天最多喝多少毫升药，再用喝的药的量除以整瓶药的量即可。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确“最多喝几分之几”的计算逻辑：需要先算出李老师两天最多能喝多少毫升止咳药，再用这个量除以整瓶药的总量，得到占比。首先从用法用量里找到成人每次最多服用的剂量是20mL，接着计算每天最多服用的量，再算出两天的总量，最后用除法求出占整瓶药的几分之几。
【解析】
1. 确定成人每次最大服用量：根据用法用量，成人每次最多喝20mL。
2. 计算每日最大服用量：每日服用3次，每日最多喝$20×3=60(\mathrm{mL})$。
3. 计算两天最大服用量：$60×2=120(\mathrm{mL})$。
4. 计算占比：用两天服用的总量除以整瓶药的规格，即$120÷300=\frac{2}{5}$。
【答案】
李老师两天最多喝这瓶止咳药的$\frac{2}{5}$。
【知识点】
分数与除法的关系、整数乘法应用
【点评】
本题结合实际生活场景，考查学生对“最多”含义的理解，以及整数乘法和分数除法的综合应用，需要学生先分析出最大服用剂量，再逐步计算总量和占比，培养学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确“最多喝几分之几”的计算逻辑：需要先算出李老师两天最多能喝多少毫升止咳药，再用这个量除以整瓶药的总量，得到占比。首先从用法用量里找到成人每次最多服用的剂量是20mL，接着计算每天最多服用的量，再算出两天的总量，最后用除法求出占整瓶药的几分之几。
【解析】
1. 确定成人每次最大服用量：根据用法用量，成人每次最多喝20mL。
2. 计算每日最大服用量：每日服用3次，每日最多喝$20×3=60(\mathrm{mL})$。
3. 计算两天最大服用量：$60×2=120(\mathrm{mL})$。
4. 计算占比：用两天服用的总量除以整瓶药的规格，即$120÷300=\frac{2}{5}$。
【答案】
李老师两天最多喝这瓶止咳药的$\frac{2}{5}$。
【知识点】
分数与除法的关系、整数乘法应用
【点评】
本题结合实际生活场景，考查学生对“最多”含义的理解，以及整数乘法和分数除法的综合应用，需要学生先分析出最大服用剂量，再逐步计算总量和占比，培养学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
2. 为方便游客夜间游览，某古城打算在下图的街道两边等距离安装一些夜景灯，且两端和转折点处都要安装。在夜景灯价格一定的情况下，最省钱的方案需要安装多少盏？
答案
2. 84和60的最大公因数是12。
$(84+60)÷12=12$
$(12+1)×2=26(\mathrm{盏})$
答：最省钱的方案需要安装26盏。
解析 本题隐含的信息较多，先找出关键词，再分析每个关键词隐含的信息，最后列式计算。
⚫“街道两边”：先算出一边的盏数后再乘2。
⚫“等距离”“两端”：植树问题中两端都栽的情况。
棵数=间隔数+1 间隔数=路的长度÷间距
⚫“转折点”：每段路的长度都是间距的倍数，即间距是每段路长度的因数。
⚫“最省钱”：安装盏数最少→间距最长。
第一步 找出最长的间距，即84和60的最大公因数12。
第二步 求出间隔数$(84+60)÷12=12$。
第三步 根据棵数=间隔数+1，求出一边需要安装13盏，13再乘2即为街道两边需要安装的盏数。
$(84+60)÷12=12$
$(12+1)×2=26(\mathrm{盏})$
答：最省钱的方案需要安装26盏。
解析 本题隐含的信息较多，先找出关键词，再分析每个关键词隐含的信息，最后列式计算。
⚫“街道两边”：先算出一边的盏数后再乘2。
⚫“等距离”“两端”：植树问题中两端都栽的情况。
棵数=间隔数+1 间隔数=路的长度÷间距
⚫“转折点”：每段路的长度都是间距的倍数，即间距是每段路长度的因数。
⚫“最省钱”：安装盏数最少→间距最长。
第一步 找出最长的间距，即84和60的最大公因数12。
第二步 求出间隔数$(84+60)÷12=12$。
第三步 根据棵数=间隔数+1，求出一边需要安装13盏，13再乘2即为街道两边需要安装的盏数。
解析
【分析】
要找到最省钱的方案，需让安装的夜景灯数量最少，而灯数量最少的关键是让灯的间距最大。由于两端和转折点都要安装灯，所以间距必须是两段街道长度84m和60m的公因数，因此我们先求出84和60的最大公因数，这个最大公因数就是最长的间距。接下来，这属于植树问题中“两端都栽”的情况，棵数=间隔数+1，我们先计算街道一边的间隔数，再求出一边的灯数，最后因为是街道两边，所以要将一边的灯数乘2得到总数。
【解析】
1. 求最长间距：计算84和60的最大公因数，可得最大公因数是12，即最长间距为12m。
2. 计算街道一边的间隔数：两段街道总长度为$84+60=144$m，间隔数为$144÷12=12$个。
3. 计算街道一边的灯数：根据两端都栽的植树问题公式，棵数=间隔数+1，所以一边灯数为$12+1=13$盏。
4. 计算街道两边的灯数：$13×2=26$盏。
【答案】
26盏
【知识点】
最大公因数的应用、两端都栽的植树问题
【点评】
本题综合考查了最大公因数和植树问题的知识，需要准确理解“最省钱”“等距离”“两端和转折点都安装”这些隐含条件，将实际问题转化为数学问题，培养了分析问题和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要找到最省钱的方案，需让安装的夜景灯数量最少，而灯数量最少的关键是让灯的间距最大。由于两端和转折点都要安装灯，所以间距必须是两段街道长度84m和60m的公因数，因此我们先求出84和60的最大公因数，这个最大公因数就是最长的间距。接下来，这属于植树问题中“两端都栽”的情况，棵数=间隔数+1，我们先计算街道一边的间隔数，再求出一边的灯数，最后因为是街道两边，所以要将一边的灯数乘2得到总数。
【解析】
1. 求最长间距：计算84和60的最大公因数，可得最大公因数是12，即最长间距为12m。
2. 计算街道一边的间隔数：两段街道总长度为$84+60=144$m，间隔数为$144÷12=12$个。
3. 计算街道一边的灯数：根据两端都栽的植树问题公式，棵数=间隔数+1，所以一边灯数为$12+1=13$盏。
4. 计算街道两边的灯数：$13×2=26$盏。
【答案】
26盏
【知识点】
最大公因数的应用、两端都栽的植树问题
【点评】
本题综合考查了最大公因数和植树问题的知识，需要准确理解“最省钱”“等距离”“两端和转折点都安装”这些隐含条件，将实际问题转化为数学问题，培养了分析问题和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
3. 小锦、小林、小欣三人以相同的速度从家去学校，结果小锦10分钟到校，小林$\frac{1}{5}$小时到校，小欣0.25小时到校。谁家离学校最近？请你先补全聪聪的方法，再用另一种方法解题。
答案
3. 聪聪的方法：
小锦：$10÷60=\frac{1}{6}(\mathrm{时})$ 小林：$\frac{1}{5}$时
小欣：$0.25\mathrm{时}=\frac{1}{4}\mathrm{时}$ $\frac{1}{6}＜\frac{1}{5}＜\frac{1}{4}$
答：小锦家离学校最近。
我的方法：
小锦：10分 小林：$60÷5=12(\mathrm{分})$
小欣：$60×0.25=15(\mathrm{分})$ $10＜12＜15$
答：小锦家离学校最近。
(自选的解题方法不唯一)
解析 路程=速度×时间，当速度相同时，时间越短，路程越短。
聪聪的方法是把时间单位统一成“时”，而“我”是统一成“分”，都是先统一成相同单位再比较大小。也可用其他的方法比较。
小锦：$10÷60=\frac{1}{6}(\mathrm{时})$ 小林：$\frac{1}{5}$时
小欣：$0.25\mathrm{时}=\frac{1}{4}\mathrm{时}$ $\frac{1}{6}＜\frac{1}{5}＜\frac{1}{4}$
答：小锦家离学校最近。
我的方法：
小锦：10分 小林：$60÷5=12(\mathrm{分})$
小欣：$60×0.25=15(\mathrm{分})$ $10＜12＜15$
答：小锦家离学校最近。
(自选的解题方法不唯一)
解析 路程=速度×时间，当速度相同时，时间越短，路程越短。
聪聪的方法是把时间单位统一成“时”，而“我”是统一成“分”，都是先统一成相同单位再比较大小。也可用其他的方法比较。
解析
【分析】
这道题的核心是运用“路程=速度×时间”的数量关系来分析。由于三人速度相同，根据公式可知，到校时间越短，家到学校的路程就越近。解题思路是先将三人的到校时间统一为相同的时间单位，再比较时间的长短，时间最短的人家离学校最近，可选择统一成“时”或“分”两种单位进行换算比较。
【解析】
聪聪的方法（统一单位为“时”）：
1. 把小锦的到校时间换算为小时：因为1小时=60分钟，所以$10÷60=\frac{1}{6}$（时）
2. 把小欣的到校时间转化为分数形式：$0.25\mathrm{时}=\frac{25}{100}\mathrm{时}=\frac{1}{4}\mathrm{时}$
3. 比较三个时间的大小：分子相同的分数，分母越大分数越小，可得$\frac{1}{6}＜\frac{1}{5}＜\frac{1}{4}$，小锦用时最短，所以小锦家离学校最近。
我的方法（统一单位为“分”）：
1. 把小林的到校时间换算为分钟：1小时=60分钟，所以$60×\frac{1}{5}=12$（分）
2. 把小欣的到校时间换算为分钟：$60×0.25=15$（分）
3. 比较三个时间的大小：$10＜12＜15$，小锦用时最短，所以小锦家离学校最近。
【答案】
聪聪的方法：
小锦：$10÷60=\frac{1}{6}(\mathrm{时})$ 小林：$\frac{1}{5}$时
小欣：$0.25\mathrm{时}=\frac{1}{4}\mathrm{时}$ $\frac{1}{6}＜\frac{1}{5}＜\frac{1}{4}$
答：小锦家离学校最近。
我的方法：
小锦：10分 小林：$60÷5=12(\mathrm{分})$
小欣：$60×0.25=15(\mathrm{分})$ $10＜12＜15$
答：小锦家离学校最近。
【知识点】
1. 时间单位换算
2. 分数小数互化
3. 路程速度时间关系
【点评】
本题主要考查时间单位换算以及路程、速度、时间三者的关系，解题关键是明确速度相同时，时间越短路程越短。通过统一时间单位比较时长来判断路程远近，能培养学生单位换算能力和运用数量关系解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是运用“路程=速度×时间”的数量关系来分析。由于三人速度相同，根据公式可知，到校时间越短，家到学校的路程就越近。解题思路是先将三人的到校时间统一为相同的时间单位，再比较时间的长短，时间最短的人家离学校最近，可选择统一成“时”或“分”两种单位进行换算比较。
【解析】
聪聪的方法（统一单位为“时”）：
1. 把小锦的到校时间换算为小时：因为1小时=60分钟，所以$10÷60=\frac{1}{6}$（时）
2. 把小欣的到校时间转化为分数形式：$0.25\mathrm{时}=\frac{25}{100}\mathrm{时}=\frac{1}{4}\mathrm{时}$
3. 比较三个时间的大小：分子相同的分数，分母越大分数越小，可得$\frac{1}{6}＜\frac{1}{5}＜\frac{1}{4}$，小锦用时最短，所以小锦家离学校最近。
我的方法（统一单位为“分”）：
1. 把小林的到校时间换算为分钟：1小时=60分钟，所以$60×\frac{1}{5}=12$（分）
2. 把小欣的到校时间换算为分钟：$60×0.25=15$（分）
3. 比较三个时间的大小：$10＜12＜15$，小锦用时最短，所以小锦家离学校最近。
【答案】
聪聪的方法：
小锦：$10÷60=\frac{1}{6}(\mathrm{时})$ 小林：$\frac{1}{5}$时
小欣：$0.25\mathrm{时}=\frac{1}{4}\mathrm{时}$ $\frac{1}{6}＜\frac{1}{5}＜\frac{1}{4}$
答：小锦家离学校最近。
我的方法：
小锦：10分 小林：$60÷5=12(\mathrm{分})$
小欣：$60×0.25=15(\mathrm{分})$ $10＜12＜15$
答：小锦家离学校最近。
【知识点】
1. 时间单位换算
2. 分数小数互化
3. 路程速度时间关系
【点评】
本题主要考查时间单位换算以及路程、速度、时间三者的关系，解题关键是明确速度相同时，时间越短路程越短。通过统一时间单位比较时长来判断路程远近，能培养学生单位换算能力和运用数量关系解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
4. 有两根绳子，长度都是2 m，第一根用去$\frac{1}{2}$m，第二根用去$\frac{1}{2}$。哪根绳子用去的长？画一画或写一写你的思考过程。
想一想，当绳子原来的长度都是1 m时，哪根绳子用去的长？
想一想，当绳子原来的长度都是1 m时，哪根绳子用去的长？
答案
4. 答：当绳子的长度都是2m时，第二根绳子用去的长。
当绳子原来的长度都是1m时，两根绳子用去的一样长。
(思考过程不唯一)
解析 $\frac{1}{2}\mathrm{m}$是一个分量，而$\frac{1}{2}$是一个分率，分率所对应的数量会随着单位“1”所代表的数量的变化而变化，是一个不确定的量。
⚫当绳子的长度大于1m时，第二根绳子用去的长。
⚫当绳子的长度等于1m时，两根绳子用去的一样长。
⚫当绳子的长度小于1m，如$\frac{1}{2}\mathrm{m}$时，第一根绳子用去的长，如下图。
用去$\frac{1}{2}$m
第一根:$\frac{1}{2}$m 第一根绳子
第二根:$\frac{1}{2}$m用去的长
用去$\frac{1}{2}$
当绳子原来的长度都是1m时，两根绳子用去的一样长。
(思考过程不唯一)
解析 $\frac{1}{2}\mathrm{m}$是一个分量，而$\frac{1}{2}$是一个分率，分率所对应的数量会随着单位“1”所代表的数量的变化而变化，是一个不确定的量。
⚫当绳子的长度大于1m时，第二根绳子用去的长。
⚫当绳子的长度等于1m时，两根绳子用去的一样长。
⚫当绳子的长度小于1m，如$\frac{1}{2}\mathrm{m}$时，第一根绳子用去的长，如下图。
用去$\frac{1}{2}$m
第一根:$\frac{1}{2}$m 第一根绳子
第二根:$\frac{1}{2}$m用去的长
用去$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先要明确两个$\frac{1}{2}$的不同含义：$\frac{1}{2}$m是一个具体的长度，不会随绳子总长变化；而$\frac{1}{2}$是分率，表示占绳子总长的$\frac{1}{2}$，对应的具体长度会随绳子总长（单位“1”）变化。我们需要分别计算两种长度下第二根绳子用去的长度，再和第一根的$\frac{1}{2}$m对比，从而判断哪根用去的长。
1. 当绳子长2m时，计算第二根用去的长度，再和$\frac{1}{2}$m比较；
2. 当绳子长1m时，同样计算第二根用去的长度，再和$\frac{1}{2}$m比较。
【解析】
1. 当绳子长度为2m时：
第一根用去的长度：$\frac{1}{2}$m；
第二根用去的长度：$2×\frac{1}{2}=1$m；
因为$1\mathrm{m}＞\frac{1}{2}\mathrm{m}$，所以第二根绳子用去的长。
2. 当绳子长度为1m时：
第一根用去的长度：$\frac{1}{2}$m；
第二根用去的长度：$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$m；
因为$\frac{1}{2}\mathrm{m}=\frac{1}{2}\mathrm{m}$，所以两根绳子用去的一样长。
【答案】
当绳子的长度都是2m时，第二根绳子用去的长；当绳子原来的长度都是1m时，两根绳子用去的一样长。
【知识点】
分数的意义、分数乘法应用
【点评】
本题核心是区分分数表示具体量和分率的不同，通过计算不同单位“1”下分率对应的具体长度，对比得出结论，帮助学生深化对分数概念的理解，明确单位“1”的变化会影响分率对应的实际数量。
【难度系数】
0.6
首先要明确两个$\frac{1}{2}$的不同含义：$\frac{1}{2}$m是一个具体的长度，不会随绳子总长变化；而$\frac{1}{2}$是分率，表示占绳子总长的$\frac{1}{2}$，对应的具体长度会随绳子总长（单位“1”）变化。我们需要分别计算两种长度下第二根绳子用去的长度，再和第一根的$\frac{1}{2}$m对比，从而判断哪根用去的长。
1. 当绳子长2m时，计算第二根用去的长度，再和$\frac{1}{2}$m比较；
2. 当绳子长1m时，同样计算第二根用去的长度，再和$\frac{1}{2}$m比较。
【解析】
1. 当绳子长度为2m时：
第一根用去的长度：$\frac{1}{2}$m；
第二根用去的长度：$2×\frac{1}{2}=1$m；
因为$1\mathrm{m}＞\frac{1}{2}\mathrm{m}$，所以第二根绳子用去的长。
2. 当绳子长度为1m时：
第一根用去的长度：$\frac{1}{2}$m；
第二根用去的长度：$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$m；
因为$\frac{1}{2}\mathrm{m}=\frac{1}{2}\mathrm{m}$，所以两根绳子用去的一样长。
【答案】
当绳子的长度都是2m时，第二根绳子用去的长；当绳子原来的长度都是1m时，两根绳子用去的一样长。
【知识点】
分数的意义、分数乘法应用
【点评】
本题核心是区分分数表示具体量和分率的不同，通过计算不同单位“1”下分率对应的具体长度，对比得出结论，帮助学生深化对分数概念的理解，明确单位“1”的变化会影响分率对应的实际数量。
【难度系数】
0.6
