1 鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线.设切8刀最多可将鸡蛋饼分成 $ m $ 块，最少分成 $ n $ 块，则 $ m-n $ 的值为 （）

A.28
B.26
C.24
D.22

1. A 【解析】根据题意可知,n=1+8=9. 因为求最多块数时,切1刀可将鸡蛋饼分成的块数为 2=1+1;切 2 刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为 4=1+1+2;切 3 刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为 7=1+1+2+3;…,所以切 k(k 为正整数)刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为 $1+1+2+3+\dots +k=\frac{k(k+1)}{2}+1$. 所以切 8 刀最多可将鸡蛋饼分成的块数为 $\frac{8×(8+1)}{2}+1=37$,即m=37. 所以 $m-n=37-9=28$.

【分析】
解题时首先要分别确定切8刀时最多、最少分割块数的对应情况：①最少分割块数的情况：每一刀都与之前的所有刀平行，此时每切一刀仅新增1块；②最多分割块数的情况：每一刀都与之前所有的刀相交，且无重合交点，此时每切一刀新增的块数等于当前的刀数。接下来先推导最少块数n的计算方式，再通过列举前几刀的最多块数找规律，推导切k刀最多块数的通用公式，代入k=8算出m，最后计算m-n即可。
【解析】
首先计算最少分割块数n：
原有1块鸡蛋饼，每一刀都平行时，每切1刀仅增加1块，切8刀共增加8块，因此$n=1+8=9$。
再计算最多分割块数m：
观察规律：
切1刀最多分：$2=1+1$块；
切2刀最多分：$4=1+1+2$块；
切3刀最多分：$7=1+1+2+3$块；
……
由此可得，切k刀最多可分成的块数为$1+(1+2+3+\dots+k)=\frac{k(k+1)}{2}+1$。
当$k=8$时，代入得：
$m=\frac{8×(8+1)}{2}+1=36+1=37$。
因此$m-n=37-9=28$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
图形找规律，直线分割平面，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的直线分割平面最值问题，解题核心是明确最多、最少分割情况对应的直线位置关系，通过从简单情形入手找规律推导通用公式，代入数值计算即可得到结果，重点考察逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.7

2 鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线.如图①，切1刀将饼分成2块；如图②，切2刀可将饼分成3块；如图③，若切2刀在饼内有1个交点（不含边界），最多可将饼分成4块；如图④，切3刀在饼内最多有3个交点（不含边界），最多可将饼分成7块.若切a刀在饼内最多有b个交点（不含边界），最多可将饼分成c块，则a，b，c之间的数量关系是.

2. c=a+b+1 【解析】由题知,切 1 刀在饼内的交点个数为0,可将饼分成的块数为 2=1+1;切 2 刀在饼内最多的交点个数为 1,可将饼分成的最多块数为 4=1+2+1;切 3 刀在饼内最多的交点个数为 3=1+2,可将饼分成的最多块数为 7=1+2+3+1;切 4 刀在饼内最多的交点个数为 6=1+2+3,可将饼分成的最多块数为 11=1+2+3+4+1;…,所以切 a 刀在饼内最多的交点个数为 $1+2+3+\dots +a-1=\frac{a(a-1)}{2}$,可将饼分成的最多块数为 $1+2+3+\dots +a+1=\frac{a(a+1)}{2}+1$. 所以 $b=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}a$,$c=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}a+1$,所以 $c=a+b+1$.

【分析】
我们可以先从题目给出的特殊切饼情况入手，分别整理每种情况对应的刀数a、最多交点数b、最多分块数c，先计算每组a+b+1的值，对比c的值初步猜想数量关系，再推导切a刀时b和c的通用表达式，验证猜想的正确性，最终确定三者的数量关系。
【解析】
首先整理题目给出的已知情况：
1. 切1刀时：$a=1$，饼内最多交点数$b=0$，最多分块数$c=2$，此时$a+b+1=1+0+1=2=c$；
2. 切2刀时：$a=2$，饼内最多交点数$b=1$，最多分块数$c=4$，此时$a+b+1=2+1+1=4=c$；
3. 切3刀时：$a=3$，饼内最多交点数$b=3$，最多分块数$c=7$，此时$a+b+1=3+3+1=7=c$。
推导一般情况：
切a刀时，要让交点最多，每新增1刀都要和之前所有刀相交，因此最多交点数$b=1+2+3+\dots+(a-1)=\frac{a(a-1)}{2}$；
切a刀时，最多分块数$c=1+1+2+3+\dots+a=\frac{a(a+1)}{2}+1$；
将b的表达式代入$a+b+1$得：
$a+b+1=a+\frac{a(a-1)}{2}+1=\frac{a^2+a}{2}+1=c$，
因此三者的数量关系为$c=a+b+1$。
【答案】
$c=a+b+1$
【知识点】
规律探究；直线分平面；整式加减
【点评】
本题结合生活场景考查规律探究能力，解题时可先从特殊案例入手猜想关系，再通过整式运算验证一般规律，能很好地锻炼归纳总结和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

3【问题情境】课本 196 页有这样一个数学探究:鸡蛋饼的分割.小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题:鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面,分割的每一刀都可以抽象为一条直线,鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题.
【数学问题】分割线的条数、分割线的最多交点个数、分割出的最多平面区域个数之间存在什么样的数量关系?
【问题探究】为了解决这个问题,我们利用图①②③④,并借助表格探索圆中分割线的条数$m$、分割线的最多交点个数$n$、分割出的最多平面区域个数$t$之间的一般规律.


【问题解决】
(1) 请在图④中用四条分割线将圆面分割出最多的平面区域,并画出分割后的图形.
(2) 将表格中的数据补充完整:$x=$,$y=$.
(3) 猜想:圆中分割线的条数$m$、分割线的最多交点个数$n$、分割出的最多平面区域个数$t$之间的数量关系为.
(4) 根据以上规律,你能用 10 条分割线将一个圆面分割出 57 个平面区域吗?请说明理由.

3. (1) 如图所示 (2) 6 11 (3) t-m-n=1 (4) 不能 理由:2条分割线最多有1个交点,3条分割线最多有1+2=3(个)交点,4条分割线最多有1+2+3=6(个)交点,5条分割线最多有1+2+3+4=10(个)交点,6条分割线最多有1+2+3+4+5=15(个)交点,…,10条分割线最多有 $1+2+3+\dots +9=\frac{1}{2}×(1+9)×9=45$(个)交点. 根据(3)中的结论,得 10 条分割线将圆面分割出最多的平面区域数量为 10+45+1=56(个). 因为 56＜57,所以不能用 10 条分割线将一个圆面分割出 57 个平面区域.

【分析】
本题是探究直线分割圆面的规律类问题，解题思路如下：
1. 要得到最多的平面区域，需让每一条新增的分割线都和之前所有的分割线相交，且交点互不重合，这样能保证交点最多、新增区域最多，据此完成(1)的作图。
2. 计算(2)的表格数据时，先按累加规则算4条分割线的最多交点数：第2条线和第1条交新增1个交点，第3条线和前2条交新增2个交点，第4条线和前3条交新增3个交点，总和就是最多交点数；再按“每新增1条线，新增区域数等于这条线和已有的线的交点数+1”的规则，算出4条线分割的最多区域数。
3. 探究m、n、t的关系时，代入不同条数下的三组及以上数据验证，即可归纳出通用数量关系。
4. 解决(4)问时，先按累加规则算出10条分割线的最多交点数，再代入已得的规律式算出最多可分割的区域数，和57比较大小即可判断能不能。
【解析】
(1) 作4条两两相交且无公共交点的分割线，即可得到最多的平面区域，作图如下：
(2) 4条分割线的最多交点数为$1+2+3=6$，故$x=6$；
1条分割线分2个区域，2条最多分$2+2=4$个区域，3条最多分$4+3=7$个区域，4条最多分$7+4=11$个区域，故$y=11$。
(3) 代入多组数据验证：
当$m=1,n=0,t=2$时，$2-1-0=1$；
当$m=2,n=1,t=4$时，$4-2-1=1$；
当$m=3,n=3,t=7$时，$7-3-3=1$；
当$m=4,n=6,t=11$时，$11-4-6=1$；
因此可得数量关系为$t=m+n+1$（或$t-m-n=1$）。
(4) 首先计算10条分割线的最多交点数：m条分割线的最多交点为$1+2+3+\dots+(m-1)$，因此10条分割线最多有交点$1+2+3+\dots+9=\frac{1}{2}×(1+9)×9=45$个。
将$m=10,n=45$代入$t=m+n+1$，得最多可分割的区域数为$10+45+1=56$个。
因为$56＜57$，所以不能用10条分割线分割出57个平面区域。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $6$；$11$
(3) $t=m+n+1$（或$t-m-n=1$）
(4) 不能，理由：10条分割线最多有$1+2+3+\dots +9=\frac{1}{2}×(1+9)×9=45$个交点，根据规律最多可分割出$10+45+1=56$个平面区域，$56＜57$，故不能。
【知识点】
1. 图形规律探究
2. 直线分平面问题
3. 有理数求和
【点评】
本题以生活中切鸡蛋饼的场景切入，通过从特殊到一般的归纳方法总结直线分割圆面的规律，再应用规律解决实际问题，考查归纳推理能力和规律应用能力，解题的关键是明确“最多区域”的前提是每两条分割线都相交且交点不重合。
【难度系数】
0.65