4 如图①，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°.将一块三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.
（1）将图①中的三角尺绕点O按逆时针方向旋转至图②的位置，使一边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（2）将图①中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分∠AOC，求t的值；
（3）将图①中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转至图③的位置，使一边ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由.

（1）因为∠AOC=60°，∠AOB=180°，所以∠BOC=∠AOB−∠AOC=180°−60°=120°。又因为OM平分∠BOC，所以∠COM=1/2∠BOC=60°。所以∠CON=∠COM+∠MON=60°+90°=150°。
（2）如图①，延长NO至点D。因为∠AOC=60°，直线ON平分∠AOC，所以∠AOD=∠COD=30°。所以∠BOM=∠MON−∠BON=∠MON−∠AOD=90°−30°=60°。所以易得按顺时针方向旋转300°时，NO的延长线平分∠AOC。根据题意，得10t=300，解得t=30。如图②，因为直线ON平分∠AOC，所以∠NOA=30°。所以∠AOM=∠MON−∠NOA=90°−30°=60°。所以易得按顺时针方向旋转120°时，直线ON平分∠AOC。根据题意，得10t=120，解得t=12。综上所述，t的值为30或12。
（3）∠AOM−∠NOC=30° 理由：因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°−∠AON，∠NOC=60°−∠AON。所以∠AOM−∠NOC=(90°−∠AON)−(60°−∠AON)=30°。

【分析】
（1）首先根据平角为180°，结合已知∠AOC的度数求出∠BOC的度数；再利用角平分线的性质得到∠COM的度数；最后结合三角尺的直角∠MON=90°，通过角的和差运算即可求出∠CON的度数。
（2）直线ON平分∠AOC需分两种情况讨论：第一种是ON的反向延长线平分∠AOC，第二种是ON本身在∠AOC内部平分∠AOC；分别计算两种情况下三角尺顺时针旋转的总角度，再结合每秒10°的旋转速度，即可求出对应的t值。
（3）将∠AOM和∠NOC都用公共角∠AON表示，再将两个表达式作差，消去公共角后即可得到两个角的数量关系。
【解析】
（1）因为∠AOC=60°，∠AOB=180°，所以∠BOC=∠AOB−∠AOC=180°−60°=120°。
又因为OM平分∠BOC，所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$。
因为三角尺的∠MON=90°，所以∠CON=∠COM+∠MON=60°+90°=150°。
（2）分两种情况讨论：
① 如图①，延长NO至点D。因为∠AOC=60°，直线ON平分∠AOC，所以∠AOD=∠COD=30°。所以∠BOM=∠MON−∠BON=∠MON−∠AOD=90°−30°=60°，此时三角尺顺时针旋转了300°，根据题意得$10t=300$，解得$t=30$。
② 如图②，因为直线ON平分∠AOC，所以∠NOA=30°。所以∠AOM=∠MON−∠NOA=90°−30°=60°，此时三角尺顺时针旋转了120°，根据题意得$10t=120$，解得$t=12$。
综上所述，t的值为30或12。

（3）$∠ AOM-∠ NOC=30°$，理由如下：
因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以$∠ AOM=90°-∠ AON$，$∠ NOC=60°-∠ AON$。
所以$∠ AOM-∠ NOC=(90°-∠ AON)-(60°-∠ AON)=30°$。
【答案】
（1）$∠ CON=150°$；
（2）t的值为12或30；
（3）$∠ AOM-∠ NOC=30°$，理由见解析。

【知识点】
角平分线定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合三角尺旋转的动态场景考查角度的相关计算，既需要熟练掌握平角、直角的性质以及角平分线的定义，又需要考虑动态过程中不同的位置情况，能够锻炼对几何动态问题的分析能力，解题时注意避免漏解。
【难度系数】
0.6

5 如图,直线 EF 与 MN 相交于点 O,∠MOE=30°.将一块三角尺的直角顶点与点 O 重合,直角边 OA 在 MN 上,OB 在∠NOE 的内部.将三角尺绕点 O 以每秒 3°的速度按顺时针方向旋转一周,设旋转时间为 t s.
(1) 当 t 为何值时,OB 恰好平分∠NOE? 此时 OA 是否平分∠MOE? 请说明理由.
(2) 若在三角尺旋转的同时,直线 EF 也绕点 O 以每秒 9°的速度按顺时针方向旋转一周,当一方先完成旋转一周时,另一方同时停止旋转.
① 当 t 为何值时,EF 平分∠AOB?
② EF 能否平分∠NOB? 若能,请直接写出 t 的值;若不能,请说明理由.

（1）当OB恰好平分∠NOE时，∠NOB=1/2∠NOE=1/2(180°−∠MOE)=1/2×(180°−30°)=75°。根据题意，得90−3t=75，解得t=5。此时OA平分∠MOE 理由：因为此时∠MOA=3°×5=15°，∠EOA=∠MOE−∠MOA=30°−15°=15°，所以∠MOA=∠EOA。所以OA平分∠MOE。
（2）① 因为360°÷3°=120(s)，360°÷9°=40(s)，所以直线EF首先完成旋转一周，此时三角尺旋转的角度为3°×40=120°。情况1：当射线OE平分∠AOB时，9t+30−3t=90×1/2，解得t=2.5。情况2：当射线OF平分∠AOB时，9t+30−3t=90×1/2+180，解得t=32.5。所以当t的值为2.5或32.5时，EF平分∠AOB。
② 能 t的值为14或38。

【分析】
本题属于图形旋转的动态角度计算问题，解题思路如下：
（1）先根据已知角算出初始∠NOE的度数，结合角平分线定义得到OB平分∠NOE时∠NOB的度数；再根据三角尺的旋转速度，用含t的式子表示出旋转后∠NOB的度数，列方程求解t；之后计算此时OA旋转的角度，判断∠MOA和∠EOA是否相等即可验证OA是否平分∠MOE。
（2）先计算两者旋转一周的时间，确定t的取值范围为0≤t≤40；①EF平分∠AOB分两种情况：OE平分∠AOB、OF平分∠AOB，分别根据角平分线的角度等量关系列方程求解，舍去超出范围的解；②假设EF能平分∠NOB，根据角度等量关系列方程，看解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
（1）已知初始状态下∠MOE=30°，∠AOB=90°且OB⊥MN，因此∠NOE=180°-∠MOE=180°-30°=150°。
若OB平分∠NOE，根据角平分线定义，得$∠ NOB=\frac{1}{2}∠ NOE=\frac{1}{2}×150°=75°$。
三角尺顺时针旋转速度为每秒3°，旋转t秒后，OB顺时针转过3t°，因此此时$∠ NOB=90°-3t°$，列方程：
$90-3t=75$
解得$t=5$。
此时OA平分∠MOE，理由如下：
t=5时，OA顺时针转过的角度为$3°×5=15°$，即$∠ MOA=15°$，
则$∠ EOA=∠ MOE-∠ MOA=30°-15°=15°$，
∴$∠ MOA=∠ EOA$，即OA平分∠MOE。
（2）首先计算旋转时长：三角尺旋转一周需$360°÷3°=120\mathrm{s}$，直线EF旋转一周需$360°÷9°=40\mathrm{s}$，因此运动最多持续40s，即t的取值范围是$0≤ t≤40$。
① EF平分∠AOB分两种情况：
情况1：射线OE平分∠AOB，此时$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$。
旋转t秒后，OE顺时针转过9t°，OA顺时针转过3t°，因此$∠ AOE=9t°+30°-3t°$，列方程：
$9t+30-3t=45$
解得$t=2.5$，符合$0≤ t≤40$。
情况2：射线OF平分∠AOB，此时$∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$，等价于$∠ AOE=180°+45°=225°$，列方程：
$9t+30-3t=225$
解得$t=32.5$，符合$0≤ t≤40$。
综上，t=2.5或32.5时，EF平分∠AOB。
② 能，t的值为14或38。
【答案】
（1）当$t=5$时，OB恰好平分∠NOE，此时OA平分∠MOE，理由见解析；
（2）① 当t的值为2.5或32.5时，EF平分∠AOB；② 能，t的值为14或38。
【知识点】
角平分线的定义，动态角度计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题重点考查动态旋转背景下的角度运算，需要结合运动状态分类讨论不同的位置情况，解题的关键是准确用含t的代数式表示出运动后各角的度数，同时注意运动的时间限制，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.55