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1 已知数轴上的A，B两点表示的数分别为－5，3，点P，Q分别同时从点A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位长度/秒，点Q的运动速度为n个单位长度/秒.在运动过程中，取线段AQ的中点C(点C始终在线段PQ上)，若线段PC的长总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是
n=2m
.答案
n=2m
【解析】设点P,Q运动了t秒，则AQ=3−(−5)+nt=8+nt，AP=mt。因为C是AQ的中点，所以AC=1/2 AQ=4 + nt/2。所以PC=AC−AP=4 + nt/2 − mt。因为PC的长总为一个固定的值，即与t的值无关，所以易得n/2 − m=0，即n=2m。
【解析】设点P,Q运动了t秒，则AQ=3−(−5)+nt=8+nt，AP=mt。因为C是AQ的中点，所以AC=1/2 AQ=4 + nt/2。所以PC=AC−AP=4 + nt/2 − mt。因为PC的长总为一个固定的值，即与t的值无关，所以易得n/2 − m=0，即n=2m。
解析
【分析】
这是数轴上的动点定值问题，解题思路如下：第一步，先设运动时间为t秒，分别表示出运动过程中AP、AQ的长度；第二步，根据线段中点的性质求出AC的长度；第三步，结合数轴上点的位置关系写出PC的表达式；第四步，抓住PC为固定值的特点，说明PC的取值和时间t无关，因此表达式中含t的项的系数必须为0，即可推出m和n的数量关系。
【解析】
设点P、Q的运动时间为t秒。
A、B两点初始距离为$3-(-5)=8$，Q沿正方向运动t秒的路程为$nt$，因此$AQ=8+nt$。
点P运动t秒的路程$AP=mt$。
因为C是AQ的中点，根据中点定义，$AC=\frac{1}{2}AQ=\frac{1}{2}(8+nt)=4+\frac{nt}{2}$。
由图中点的位置可知$PC=AC-AP$，代入得：
$PC=4+\frac{nt}{2}-mt$。
因为PC的长为固定值，即PC的大小与t无关，因此含t的项的系数之和为0，即：
$\frac{n}{2}-m=0$，整理得$n=2m$。
【答案】
$n=2m$
【知识点】
数轴动点问题，线段中点定义，代数式定值
【点评】
本题属于动点中的定值问题，核心是将线段长度用含运动时间的代数式表示，再结合“定值与变量无关”的特点，令变量的系数为0即可求解，是数轴动点类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
这是数轴上的动点定值问题，解题思路如下：第一步，先设运动时间为t秒，分别表示出运动过程中AP、AQ的长度；第二步，根据线段中点的性质求出AC的长度；第三步，结合数轴上点的位置关系写出PC的表达式；第四步，抓住PC为固定值的特点，说明PC的取值和时间t无关，因此表达式中含t的项的系数必须为0，即可推出m和n的数量关系。
【解析】
设点P、Q的运动时间为t秒。
A、B两点初始距离为$3-(-5)=8$，Q沿正方向运动t秒的路程为$nt$，因此$AQ=8+nt$。
点P运动t秒的路程$AP=mt$。
因为C是AQ的中点，根据中点定义，$AC=\frac{1}{2}AQ=\frac{1}{2}(8+nt)=4+\frac{nt}{2}$。
由图中点的位置可知$PC=AC-AP$，代入得：
$PC=4+\frac{nt}{2}-mt$。
因为PC的长为固定值，即PC的大小与t无关，因此含t的项的系数之和为0，即：
$\frac{n}{2}-m=0$，整理得$n=2m$。
【答案】
$n=2m$
【知识点】
数轴动点问题，线段中点定义，代数式定值
【点评】
本题属于动点中的定值问题，核心是将线段长度用含运动时间的代数式表示，再结合“定值与变量无关”的特点，令变量的系数为0即可求解，是数轴动点类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
2 如图，O 为数轴的原点，A，B 为数轴上两点，$AB=12$，且 $OA=2OB$，点 P 从点 B 开始以每秒 4 个单位长度的速度向右运动，当点 P 开始运动时，点 A，B 分别以每秒 5 个单位长度和每秒 1 个单位长度的速度同时向右运动。设运动时间为 t 秒。若 $2AP + 3OP - mBP$ 的值在某段时间内不随着 t 的变化而变化，求 m 的值。
答案
因为OA=2OB，AB=12，所以OA=2/3 AB=8，OB=1/3 AB=4。所以点B表示的数是4。所以OP=4+4t，BP=4t−t=3t，AP=|5t−4t−12|=|t−12|。当0≤t≤12时，2AP+3OP−mBP=2(12−t)+3(4+4t)−3mt=24−2t+12+12t−3mt=(10−3m)t+36，所以当10−3m=0，即m=10/3时，2AP+3OP−mBP的值不随着t的变化而变化。当t＞12时，2AP+3OP−mBP=2(t−12)+3(4+4t)−3mt=2t−24+12+12t−3mt=(14−3m)t−12，所以当14−3m=0，即m=14/3时，2AP+3OP−mBP的值不随着t的变化而变化。综上所述，若2AP+3OP−mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为10/3或14/3。
解析
【分析】
解题时首先根据OA和OB的数量关系及AB的长度，先确定数轴上点A、B的初始位置；再结合各点的运动速度和方向，用含运动时间t的代数式分别表示出t秒后点A、B、P对应的数，进而写出AP、OP、BP的表达式；由于AP的表达式含有绝对值，需根据绝对值内式子的正负分类讨论去绝对值，将原式化简为整式的形式；最后根据“值不随t变化”的条件，令含t项的系数为0，即可求出对应的m值。
【解析】
第一步：求A、B的初始位置
已知$AB=12$，$OA=2OB$，且O在A、B之间，因此$AB=OA+OB$，可得：
$OA=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×12=8$，$OB=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×12=4$，
所以点A初始表示的数为$-8$，点B初始表示的数为$4$。
第二步：用含t的代数式表示各线段长度
运动t秒后：
点A对应的数为$-8+5t$，点B对应的数为$4+t$，点P对应的数为$4+4t$。
则$OP=4+4t$（P始终在原点右侧，直接取坐标值），
$BP=(4+4t)-(4+t)=3t$（P速度大于B，始终在B右侧），
$AP=|(4+4t)-(-8+5t)|=|12-t|$。
第三步：分类讨论化简代数式，求m的值
①当$0≤ t≤12$时，$12-t≥0$，则$AP=12-t$，代入原式：
$2AP + 3OP - mBP=2(12-t)+3(4+4t)-m·3t$
$=24-2t+12+12t-3mt$
$=(10-3m)t+36$
若值不随t变化，则含t项的系数为0，即$10-3m=0$，解得$m=\frac{10}{3}$。
②当$t＞12$时，$12-t＜0$，则$AP=t-12$，代入原式：
$2AP + 3OP - mBP=2(t-12)+3(4+4t)-m·3t$
$=2t-24+12+12t-3mt$
$=(14-3m)t-12$
若值不随t变化，则含t项的系数为0，即$14-3m=0$，解得$m=\frac{14}{3}$。
【答案】
$m$的值为$\frac{10}{3}$或$\frac{14}{3}$
【知识点】
数轴动点问题，绝对值化简，整式取值无关问题
【点评】
本题重点考察分类讨论思想在动点问题中的应用，解题关键是准确用参数表示运动后各点的坐标，再根据代数式取值与参数无关的特征（参数项系数为0）求解，需要注意不要漏解。
【难度系数】
0.4
解题时首先根据OA和OB的数量关系及AB的长度，先确定数轴上点A、B的初始位置；再结合各点的运动速度和方向，用含运动时间t的代数式分别表示出t秒后点A、B、P对应的数，进而写出AP、OP、BP的表达式；由于AP的表达式含有绝对值，需根据绝对值内式子的正负分类讨论去绝对值，将原式化简为整式的形式；最后根据“值不随t变化”的条件，令含t项的系数为0，即可求出对应的m值。
【解析】
第一步：求A、B的初始位置
已知$AB=12$，$OA=2OB$，且O在A、B之间，因此$AB=OA+OB$，可得：
$OA=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×12=8$，$OB=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×12=4$，
所以点A初始表示的数为$-8$，点B初始表示的数为$4$。
第二步：用含t的代数式表示各线段长度
运动t秒后：
点A对应的数为$-8+5t$，点B对应的数为$4+t$，点P对应的数为$4+4t$。
则$OP=4+4t$（P始终在原点右侧，直接取坐标值），
$BP=(4+4t)-(4+t)=3t$（P速度大于B，始终在B右侧），
$AP=|(4+4t)-(-8+5t)|=|12-t|$。
第三步：分类讨论化简代数式，求m的值
①当$0≤ t≤12$时，$12-t≥0$，则$AP=12-t$，代入原式：
$2AP + 3OP - mBP=2(12-t)+3(4+4t)-m·3t$
$=24-2t+12+12t-3mt$
$=(10-3m)t+36$
若值不随t变化，则含t项的系数为0，即$10-3m=0$，解得$m=\frac{10}{3}$。
②当$t＞12$时，$12-t＜0$，则$AP=t-12$，代入原式：
$2AP + 3OP - mBP=2(t-12)+3(4+4t)-m·3t$
$=2t-24+12+12t-3mt$
$=(14-3m)t-12$
若值不随t变化，则含t项的系数为0，即$14-3m=0$，解得$m=\frac{14}{3}$。
【答案】
$m$的值为$\frac{10}{3}$或$\frac{14}{3}$
【知识点】
数轴动点问题，绝对值化简，整式取值无关问题
【点评】
本题重点考察分类讨论思想在动点问题中的应用，解题关键是准确用参数表示运动后各点的坐标，再根据代数式取值与参数无关的特征（参数项系数为0）求解，需要注意不要漏解。
【难度系数】
0.4
3【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图所示的方式拼接在一起，其中 $ OC $ 与直线 $ MN $ 重合，$ ∠ AOM = ∠ COD = 30°, ∠ AOB = 45° $。
（1）在上述所拼图形中，$ ∠ BOD $ 的度数为 ______。
【问题探究】
（2）在上述所拼图形的基础上，让三角尺 $ COD $ 固定不动，将三角尺 $ AOB $ 绕着点 $ O $ 以每秒 $ 5° $ 的速度按顺时针方向旋转，且两块三角尺均在直线 $ MN $ 的上方。设三角尺 $ AOB $ 的旋转时间为 $ t $ 秒，在旋转过程中，当 $ ∠ BOC = 2∠ BOD $ 时，求 $ t $ 的值。
【拓展延伸】
（3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺 $ AOB $ 绕着点 $ O $ 以每秒 $ 5° $ 的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺 $ COD $ 也绕着点 $ O $ 以每秒 $ 1° $ 的速度按逆时针方向旋转。在旋转过程中，两块三角尺均在直线 $ MN $ 的上方，且当三角尺 $ AOB $ 停止旋转时，三角尺 $ COD $ 也停止旋转。设三角尺 $ AOB $ 的旋转时间为 $ t $ 秒。在旋转过程中，当 $ AB $ 与三角尺 $ COD $ 的某一边平行时，求 $ t $ 的值。
（1）在上述所拼图形中，$ ∠ BOD $ 的度数为 ______。
【问题探究】
（2）在上述所拼图形的基础上，让三角尺 $ COD $ 固定不动，将三角尺 $ AOB $ 绕着点 $ O $ 以每秒 $ 5° $ 的速度按顺时针方向旋转，且两块三角尺均在直线 $ MN $ 的上方。设三角尺 $ AOB $ 的旋转时间为 $ t $ 秒，在旋转过程中，当 $ ∠ BOC = 2∠ BOD $ 时，求 $ t $ 的值。
【拓展延伸】
（3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺 $ AOB $ 绕着点 $ O $ 以每秒 $ 5° $ 的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺 $ COD $ 也绕着点 $ O $ 以每秒 $ 1° $ 的速度按逆时针方向旋转。在旋转过程中，两块三角尺均在直线 $ MN $ 的上方，且当三角尺 $ AOB $ 停止旋转时，三角尺 $ COD $ 也停止旋转。设三角尺 $ AOB $ 的旋转时间为 $ t $ 秒。在旋转过程中，当 $ AB $ 与三角尺 $ COD $ 的某一边平行时，求 $ t $ 的值。
答案
（1）75° 【解析】因为OC与直线MN重合，所以∠MOC=180°。因为∠AOM=30°，∠AOB=45°，∠COD=30°，所以∠BOD=180°−∠AOM−∠AOB−∠COD=180°−30°−45°−30°=75°。
（2）三角尺AOB以每秒5°的速度顺时针旋转t秒后，∠BOM=∠AOM+∠AOB=30°+(5t)°+45°=75°+(5t)°，所以∠BOC=180°−∠BOM=180°−75°−(5t)°=105°−(5t)°。所以∠BOD=|∠BOC−∠COD|=|105°−(5t)°−30°|=|75°−(5t)°|。因为∠BOC=2∠BOD，所以当t＞15时，105−5t=2(5t−75)，解得t=17。当0≤t≤15时，105−5t=2(75−5t)，解得t=9。综上所述，t的值为9或17。
（3）当OB运动到MN上时，t=(180−30−45)/5=21，所以0≤t≤21。① 当AB//OD时，∠BOD=∠ABO=45°，所以75−5t−t=45，解得t=5。② 当AB//OC时，∠BOC=∠ABO=45°，所以75+30−5t−t=45，解得t=10。③ 当AB//CD时，因为∠OAB=∠ODC=90°，即OA⊥AB，OD⊥CD，所以易得OA与OD重合。此时∠AOM+∠COD+∠CON=180°，即30+5t+30+t=180，解得t=20。综上所述，当AB与三角尺COD的某一边平行时，t的值为5或10或20。
（2）三角尺AOB以每秒5°的速度顺时针旋转t秒后，∠BOM=∠AOM+∠AOB=30°+(5t)°+45°=75°+(5t)°，所以∠BOC=180°−∠BOM=180°−75°−(5t)°=105°−(5t)°。所以∠BOD=|∠BOC−∠COD|=|105°−(5t)°−30°|=|75°−(5t)°|。因为∠BOC=2∠BOD，所以当t＞15时，105−5t=2(5t−75)，解得t=17。当0≤t≤15时，105−5t=2(75−5t)，解得t=9。综上所述，t的值为9或17。
（3）当OB运动到MN上时，t=(180−30−45)/5=21，所以0≤t≤21。① 当AB//OD时，∠BOD=∠ABO=45°，所以75−5t−t=45，解得t=5。② 当AB//OC时，∠BOC=∠ABO=45°，所以75+30−5t−t=45，解得t=10。③ 当AB//CD时，因为∠OAB=∠ODC=90°，即OA⊥AB，OD⊥CD，所以易得OA与OD重合。此时∠AOM+∠COD+∠CON=180°，即30+5t+30+t=180，解得t=20。综上所述，当AB与三角尺COD的某一边平行时，t的值为5或10或20。
解析
【分析】
（1）第一问利用平角为180°的性质，用平角减去已知的∠AOM、∠AOB、∠COD的度数，即可直接求出∠BOD的度数。
（2）第二问先根据旋转速度和时间表示出旋转t秒后∠BOM的度数，进而得到∠BOC的度数，再分OB在OD左侧、OB在OD右侧两种情况表示∠BOD，结合∠BOC=2∠BOD的等量关系列方程求解，注意验证解的范围符合两块三角尺都在MN上方的要求。
（3）第三问先确定t的取值范围：当OB旋转到MN上时运动停止，计算出最大t值为21。再分三种平行情况讨论：①AB//OD，利用平行线内错角相等得到∠BOD=45°列方程；②AB//OC，同理得到∠BOC=45°列方程；③AB//CD，此时OA与OD共线，根据平角关系列方程，最后验证所有解都在t的取值范围内即可。
【解析】
（1）
∵OC与直线MN重合，
∴∠MOC=180°，
又
∵∠AOM=30°，∠AOB=45°，∠COD=30°，
∴∠BOD=180°-∠AOM-∠AOB-∠COD=180°-30°-45°-30°=75°。
（2）三角尺AOB顺时针旋转t秒后，旋转的角度为$(5t)°$，
∴∠BOM=∠AOM+旋转角度+∠AOB=$30°+(5t)°+45°=75°+(5t)°$，
∴∠BOC=$180°-∠BOM=180°-75°-(5t)°=105°-(5t)°$，
∠BOD=$|∠BOC-∠COD|=|105°-(5t)°-30°|=|75°-(5t)°|$。
∵∠BOC=2∠BOD，分两种情况：
①当$0≤ t≤15$时，$75°-(5t)°≥0$，方程为$105-5t=2(75-5t)$，
解得$t=9$，符合范围；
②当$t＞15$时，$75°-(5t)°＜0$，方程为$105-5t=2(5t-75)$，
解得$t=17$，符合范围。
综上，t的值为9或17。
（3）当OB旋转至MN上时，运动停止，此时∠BOM=180°，
即$75+5t=180$，解得$t=21$，故t的取值范围为$0≤ t≤21$。
AOB顺时针转$5°/\mathrm{s}$，COD逆时针转$1°/\mathrm{s}$，分三种平行情况：
①当AB//OD时，内错角相等得$∠BOD=∠ABO=45°$，
初始∠BOD=75°，t秒后两角靠近的总角度为$(5t+t)°$，故$75-5t-t=45$，
解得$t=5$，符合范围；
②当AB//OC时，内错角相等得$∠BOC=∠ABO=45°$，
初始∠BOC=105°，t秒后$∠BOC=105-5t-t=45$，
解得$t=10$，符合范围；
③当AB//CD时，
∵$∠OAB=∠ODC=90°$，
∴OA与OD共线时满足平行，
此时$∠AOM+5t+30°+t=180°$，即$30+5t+30+t=180$，
解得$t=20$，符合范围。
综上，t的值为5或10或20。
【答案】
（1）$\boldsymbol{75°}$；（2）$\boldsymbol{9}$或$\boldsymbol{17}$；（3）$\boldsymbol{5}$或$\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{20}$
【知识点】
角的和差计算，旋转的性质，平行线的性质
【点评】
本题以三角尺的旋转为背景，考查角的计算、旋转性质和平行线的性质，需要结合运动过程分类讨论不同的位置关系，能有效考查动态分析能力和分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.55
（1）第一问利用平角为180°的性质，用平角减去已知的∠AOM、∠AOB、∠COD的度数，即可直接求出∠BOD的度数。
（2）第二问先根据旋转速度和时间表示出旋转t秒后∠BOM的度数，进而得到∠BOC的度数，再分OB在OD左侧、OB在OD右侧两种情况表示∠BOD，结合∠BOC=2∠BOD的等量关系列方程求解，注意验证解的范围符合两块三角尺都在MN上方的要求。
（3）第三问先确定t的取值范围：当OB旋转到MN上时运动停止，计算出最大t值为21。再分三种平行情况讨论：①AB//OD，利用平行线内错角相等得到∠BOD=45°列方程；②AB//OC，同理得到∠BOC=45°列方程；③AB//CD，此时OA与OD共线，根据平角关系列方程，最后验证所有解都在t的取值范围内即可。
【解析】
（1）
∵OC与直线MN重合，
∴∠MOC=180°，
又
∵∠AOM=30°，∠AOB=45°，∠COD=30°，
∴∠BOD=180°-∠AOM-∠AOB-∠COD=180°-30°-45°-30°=75°。
（2）三角尺AOB顺时针旋转t秒后，旋转的角度为$(5t)°$，
∴∠BOM=∠AOM+旋转角度+∠AOB=$30°+(5t)°+45°=75°+(5t)°$，
∴∠BOC=$180°-∠BOM=180°-75°-(5t)°=105°-(5t)°$，
∠BOD=$|∠BOC-∠COD|=|105°-(5t)°-30°|=|75°-(5t)°|$。
∵∠BOC=2∠BOD，分两种情况：
①当$0≤ t≤15$时，$75°-(5t)°≥0$，方程为$105-5t=2(75-5t)$，
解得$t=9$，符合范围；
②当$t＞15$时，$75°-(5t)°＜0$，方程为$105-5t=2(5t-75)$，
解得$t=17$，符合范围。
综上，t的值为9或17。
（3）当OB旋转至MN上时，运动停止，此时∠BOM=180°，
即$75+5t=180$，解得$t=21$，故t的取值范围为$0≤ t≤21$。
AOB顺时针转$5°/\mathrm{s}$，COD逆时针转$1°/\mathrm{s}$，分三种平行情况：
①当AB//OD时，内错角相等得$∠BOD=∠ABO=45°$，
初始∠BOD=75°，t秒后两角靠近的总角度为$(5t+t)°$，故$75-5t-t=45$，
解得$t=5$，符合范围；
②当AB//OC时，内错角相等得$∠BOC=∠ABO=45°$，
初始∠BOC=105°，t秒后$∠BOC=105-5t-t=45$，
解得$t=10$，符合范围；
③当AB//CD时，
∵$∠OAB=∠ODC=90°$，
∴OA与OD共线时满足平行，
此时$∠AOM+5t+30°+t=180°$，即$30+5t+30+t=180$，
解得$t=20$，符合范围。
综上，t的值为5或10或20。
【答案】
（1）$\boldsymbol{75°}$；（2）$\boldsymbol{9}$或$\boldsymbol{17}$；（3）$\boldsymbol{5}$或$\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{20}$
【知识点】
角的和差计算，旋转的性质，平行线的性质
【点评】
本题以三角尺的旋转为背景，考查角的计算、旋转性质和平行线的性质，需要结合运动过程分类讨论不同的位置关系，能有效考查动态分析能力和分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.55
