11 过n边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成m个小三角形，则m+n的值是.

11. 18

【分析】
解题时首先回忆多边形的相关性质：过n边形一个顶点的对角线数量与边数的关系，以及这些对角线将多边形分成的小三角形个数与边数的关系。第一步先根据对角线的数量求出多边形的边数n，第二步根据边数求出分成的小三角形个数m，最后计算m+n的和即可。
【解析】
首先，过n边形的一个顶点可以画出的对角线的条数为(n-3)条（去掉顶点自身和相邻的2个顶点，剩余顶点数即为对角线数）。
已知可以画出7条对角线，因此列等式：
n - 3 = 7
解得：n = 10
其次，过n边形一个顶点的所有对角线将该多边形分成的小三角形个数m满足m = n - 2。
把n=10代入得：
m = 10 - 2 = 8
最后计算m+n的值：
m + n = 8 + 10 = 18
【答案】
18
【知识点】
多边形对角线性质，多边形分割三角形规律，代数式求值
【点评】
本题考查多边形的基础性质，解题的核心是牢记多边形边数与过单顶点对角线数、分割三角形个数之间的数量关系，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8

12（1）如图，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出$(5-3)$条对角线.这样依次从五边形的5个顶点去画，可以画$5×(5-3)$条对角线，但发现其中每一条对角线都重复画了一次，所以五边形共有________条对角线.
（2）同（1），从一个$n$边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的两个顶点，有$(n-3)$条对角线.这样，从$n$个顶点出发，可以有$n×(n-3)$条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以$n$边形共有________条对角线.
（第12题）

12. (1) 5 (2) $\frac{n(n-3)}{2}$

【分析】
（1）解决五边形对角线计数问题时，先按照题目的思路计算出所有顶点的对角线总计数：每个顶点可画(5-3)条对角线，5个顶点共得到$5×(5-3)$条。需注意对角线是连接两个不相邻顶点的线段，一条对角线会被它的两个端点各计算1次，因此总计数里每条对角线都重复统计了1次，要将总计数除以2得到实际的对角线数量。
（2）将五边形的计数规律推广到任意n边形，思路和五边形完全一致：n个顶点共得到$n(n-3)$条计数的对角线，去掉重复计算的部分，除以2即可得到n边形对角线的通用公式。
【解析】
（1）先计算所有顶点统计的对角线总条数：
$5×(5-3)=5×2=10$（条）
由于每条对角线被重复计算1次，因此实际对角线数量为：
$10÷2=5$（条）
（2）n个顶点统计得到的对角线总条数为$n(n-3)$条，每条对角线重复计算1次，因此n边形实际的对角线总数为总条数除以2，即$\frac{n(n-3)}{2}$条。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{\frac{n(n-3)}{2}}$
【知识点】
多边形的对角线、规律探究、代数式表示
【点评】
本题从特殊的五边形出发，引导学生推导多边形对角线的通用公式，核心是理解对角线的重复计数原理，能有效锻炼从特殊到一般的归纳推理能力，是多边形相关概念的基础应用题。
【难度系数】
0.7

13 如图,将三角形纸片 ABC 沿虚线剪掉两角得五边形 CDEFG.若 $DE// CG,FG// CD$,根据所标数据,求$∠A$的度数.

13. 根据题意,得$∠ AED + ∠ DEF = 180°, ∠ FGC + ∠ BGF = 180°$. 因为$∠ DEF = 120°, ∠ FGC = 118°$, 所以$∠ AED = 180° - ∠ DEF = 180° - 120° = 60°, ∠ BGF = 180° - ∠ FGC = 180° - 118° = 62°$. 因为 $DE // CG, FG // CD$, 所以$∠ B = ∠ AED = 60°$,$∠ C = ∠ BGF = 62°$. 因为$△ ABC$ 的内角和为 $180°$, 所以$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 60° - 62° = 58°$

【分析】
解题可按以下思路逐步推导：第一步，先观察已知的120°、118°角，它们与原三角形边上的∠AED、∠BGF是邻补角，根据邻补角和为180°，可先求出这两个角的度数；第二步，结合题目给出的DE//CG、FG//CD的平行条件，利用平行线同位角相等的性质，即可得到△ABC中∠B和∠C的度数；第三步，最后根据三角形内角和为180°，减去∠B和∠C的度数，就能求出∠A的大小。
【解析】
解：根据题意，得$∠ AED + ∠ DEF = 180°, ∠ FGC + ∠ BGF = 180°$。
因为$∠ DEF = 120°, ∠ FGC = 118°$，
所以$∠ AED = 180° - ∠ DEF = 180° - 120° = 60°$，
$∠ BGF = 180° - ∠ FGC = 180° - 118° = 62°$。
因为 $DE // CG, FG // CD$，
所以$∠ B = ∠ AED = 60°$，$∠ C = ∠ BGF = 62°$。
因为$△ ABC$ 的内角和为 $180°$，
所以$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 60° - 62° = 58°$。
【答案】
$58°$
【知识点】
平行线的性质；邻补角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线性质与三角形内角和的综合应用题，解题核心是通过邻补角、平行线的性质转化得到原三角形的两个内角，属于基础应用类题型，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

14 转化与化归思想 同学们,你们会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗?
比如,学校举办足球赛,共有5个班级的足球队参加比赛,每个队都要和其他各队比赛一场,根据积分排列名次.求学校一共要安排多少场比赛.我们画出5个点,每个点代表一个足球队,两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来.由于每个队都要与其他各队比赛一场,这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接(如图).现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了.由图可知,五边形的边数和对角线条数都是5,所以学校一共要安排10场比赛.
同学们,请用类似的方法来解决下面的问题:姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议,见面时他们相互握手问好.已知姣姣已握了5次手,林林已握了4次手,可可已握了3次手,飞飞已握了2次手,红红握手1次,请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手.

14. 先画出6个点,A,B,C,D,E,F各点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜,凡是两人之间握过手,就把代表他们的这两点用1条线段连接起来. 先看姣姣(A)和红红(E). 如图,姣姣已握手5次,说明姣姣与另外5人都握了手,所以代表姣姣的点A与B,C,D,E,F这5点都有一条线段连接. 红红握手1次,所以红红只能是与姣姣握的手. 所以点E只能与点A之间有线段连接,与其他各点再也不能有线段连接了. 其次分析林林(B). 林林已握手4次,由于他没有可能与红红握过手,所以只能是与剩下的四个人姣姣、可可、飞飞和娜娜握过手了. 所以点B与A,C,D,F四点之间有线段连接. 再看飞飞(D). 飞飞已握手2次,而代表飞飞的点D已与A,B两点有线段连接了,所以点D与其他的点不能再有线段连接了. 最后分析可可(C). 可可与3人握了手,但已不能是与飞飞和红红握的手了,所以代表可可的点C只能与A,B,F三点有线段连接. 现在观察图形,与代表娜娜的点F连接的线段有3条(AF,BF和CF),这说明娜娜目前已和姣姣、林林、可可三人握了手

【分析】
本题可类比题干中足球赛的解题思路，采用转化思想，将握手问题转化为平面内点与线段的问题：把6个人对应为6个点，两人握手等价于两点之间连一条线段。解题时从握手次数最多和最少的人入手，先确定姣姣和红红的握手情况，再依次推导其他人的握手对象，逐步排除不可能的情况，最终确定娜娜的握手对象。
【解析】
我们先画出6个点，用A、B、C、D、E、F依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，两人握过手就将对应两点用线段连接：
1. 姣姣已握手5次，说明姣姣和其余5人都握了手，因此点A与B、C、D、E、F都有线段连接；
2. 红红仅握手1次，说明红红只和姣姣握了手，因此点E仅和A有连接，与其余点均无连接；
3. 林林已握手4次，他不可能和红红握手，因此只能和姣姣、可可、飞飞、娜娜握手，即点B与A、C、D、F有线段连接；
4. 飞飞已握手2次，目前飞飞对应的点D已经和A、B连接，说明飞飞没有和其他人握手，点D不再与其余点连接；
5. 可可已握手3次，目前可可对应的点C已和A、B连接，且不能和红红、飞飞握手，因此可可只能再和娜娜握手，即点C与F有线段连接。
观察图形可知，代表娜娜的点F连接的线段有AF、BF、CF三条，即可得到娜娜的握手对象。
【答案】
娜娜目前已和姣姣、林林、可可三人握了手
【知识点】
转化与化归思想，线段的实际应用，逻辑推理
【点评】
本题将实际生活中的握手问题转化为几何中点与线段的计数问题，借助直观的图形降低了逻辑推理的难度，能够很好地考查学生的知识迁移能力和逻辑分析能力，也体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.6