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1. 有理数$a,b,c$在数轴上的位置如图：
(1)判断正负，用“$＞$”或“$＜$”填空：$b-c$ ______ $0$，$a+b$ ______ $0$，$c-a$ ______ $0$；
(2)化简：$|b-c|+|a+b|-|c-a|$.
(1)判断正负，用“$＞$”或“$＜$”填空：$b-c$ ______ $0$，$a+b$ ______ $0$，$c-a$ ______ $0$；
(2)化简：$|b-c|+|a+b|-|c-a|$.
答案
1.(1)＜ ＜ ＞
(2)解:原式=(c-b)+(-a-b)-(c-a)=c-b-a-b-c+a=-2b.
(2)解:原式=(c-b)+(-a-b)-(c-a)=c-b-a-b-c+a=-2b.
解析
【分析】
首先观察数轴可得有理数的大小关系：$a＜0＜b＜c$，且$|a|＞|b|$。
(1) 判断各式正负：两个数相减，较小数减较大数结果为负，反之为正；异号两数相加，取绝对值更大的数的符号作为和的符号，据此可判断三个式子与0的大小关系。
(2) 化简含绝对值的式子时，先根据(1)的结论判断绝对值内式子的正负，再依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后去括号合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 由数轴可知$a＜0＜b＜c$，且$|a|＞|b|$：
因为$b＜c$，所以$b-c＜0$；
因为$a$为负数且$|a|＞|b|$，异号两数相加取绝对值更大的数的符号，所以$a+b＜0$；
因为$c$为正数，$a$为负数，正数减负数结果为正，所以$c-a＞0$。
(2) 根据绝对值的性质化简：
$\begin{split}|b-c|+|a+b|-|c-a|&=(c-b)+(-a-b)-(c-a)\\&=c-b-a-b-c+a\\&=-2b\end{split}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＞}$
(2) $\boldsymbol{-2b}$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题是代数式化简的基础题型，核心是结合数轴判断有理数的大小和正负关系，再利用绝对值的性质去绝对值符号，解题时要注意去括号时的符号变化。
【难度系数】
0.8
首先观察数轴可得有理数的大小关系：$a＜0＜b＜c$，且$|a|＞|b|$。
(1) 判断各式正负：两个数相减，较小数减较大数结果为负，反之为正；异号两数相加，取绝对值更大的数的符号作为和的符号，据此可判断三个式子与0的大小关系。
(2) 化简含绝对值的式子时，先根据(1)的结论判断绝对值内式子的正负，再依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后去括号合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 由数轴可知$a＜0＜b＜c$，且$|a|＞|b|$：
因为$b＜c$，所以$b-c＜0$；
因为$a$为负数且$|a|＞|b|$，异号两数相加取绝对值更大的数的符号，所以$a+b＜0$；
因为$c$为正数，$a$为负数，正数减负数结果为正，所以$c-a＞0$。
(2) 根据绝对值的性质化简：
$\begin{split}|b-c|+|a+b|-|c-a|&=(c-b)+(-a-b)-(c-a)\\&=c-b-a-b-c+a\\&=-2b\end{split}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＞}$
(2) $\boldsymbol{-2b}$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题是代数式化简的基础题型，核心是结合数轴判断有理数的大小和正负关系，再利用绝对值的性质去绝对值符号，解题时要注意去括号时的符号变化。
【难度系数】
0.8
2. 在密码学的学习中，我们知道可以通过设定规则在数字和字母间建立对应关系来编制密码. 现有以下两种密码规则：
规则1:如图①,数字为密文,字母为明文,比如密文“13 1 20 8 5 13 1 20 9 3”翻译成明文为“Mathematic”.
规则2:如图②,同样数字为密文,字母为明文.
(1)根据规则1,将密文“23 5 12 3 15 13 34”翻译成明文；
(2)根据规则2,若明文为“Hello”,请写出对应的密文；
(3)你能自己编制一种简单的密码规则,将明文“Study”翻译成密文吗？
规则1:如图①,数字为密文,字母为明文,比如密文“13 1 20 8 5 13 1 20 9 3”翻译成明文为“Mathematic”.
规则2:如图②,同样数字为密文,字母为明文.
(1)根据规则1,将密文“23 5 12 3 15 13 34”翻译成明文；
(2)根据规则2,若明文为“Hello”,请写出对应的密文；
(3)你能自己编制一种简单的密码规则,将明文“Study”翻译成密文吗？
答案
2.解:(1)密文“23 5 12 3 15 13 34”翻译成明文为“Welcome”.
(2)根据规则2的对应关系:
“H”对应“17”或“75”或“133”…;
“e”对应“11”或“69”或“127”…;
“l”对应“25”或“83”或“141”…;
“o”对应“31”或“89”或“147”….
所以明文“Hello”对应的密文为“17 11 25 25 31”.(答案不唯一)
(3)编制密码规则:设定字母顺序为a=1,b=2,c=3,…,z=26,若字母为大写,则对应数字加上26.
对于明文“Study”:
“S”是第19个字母,大写对应19+26=45;
“t”是第20个字母,对应20;
“u”是第21个字母,对应21;
“d”是第4个字母,对应4;
“y”是第25个字母,对应25.
所以按照此规则,“Study”对应的密文为“45 20 21 4 25”.(答案不唯一)
(2)根据规则2的对应关系:
“H”对应“17”或“75”或“133”…;
“e”对应“11”或“69”或“127”…;
“l”对应“25”或“83”或“141”…;
“o”对应“31”或“89”或“147”….
所以明文“Hello”对应的密文为“17 11 25 25 31”.(答案不唯一)
(3)编制密码规则:设定字母顺序为a=1,b=2,c=3,…,z=26,若字母为大写,则对应数字加上26.
对于明文“Study”:
“S”是第19个字母,大写对应19+26=45;
“t”是第20个字母,对应20;
“u”是第21个字母,对应21;
“d”是第4个字母,对应4;
“y”是第25个字母,对应25.
所以按照此规则,“Study”对应的密文为“45 20 21 4 25”.(答案不唯一)
解析
【分析】
解答本题的核心是明确两个规则的本质是数字与字母的对应关系：
(1) 第一问需对照图①的对应关系，逐个查找每个密文数字对应的字母，将字母拼接即可得到明文；
(2) 第二问需对照图②的对应关系，为每个明文字母选择一个对应的密文数字即可，同一字母有多个对应数字，因此答案不唯一；
(3) 第三问为开放性问题，只需设计简单合理的数字与字母对应规则，再按规则将“Study”的每个字母转换为数字即可。
【解析】
(1) 对照规则1的图①查找对应关系：密文23对应W，5对应e，12对应l，3对应c，15对应o，13对应m，34对应e，将字母拼接得明文“Welcome”。
(2) 对照规则2的图②查找对应关系：字母H可选对应数字17，e可选对应数字11，l可选对应数字25，o可选对应数字31，明文“Hello”由H、e、l、l、o组成，因此对应密文可为“17 11 25 25 31”（每个字母有多个对应数字，答案不唯一）。
(3) 示例编制规则：设定小写字母a对应1，b对应2，……，z对应26，大写字母对应数字为其小写对应数字加26。
对明文“Study”逐个转换：
“S”是大写，为第19个字母，对应19+26=45；
“t”是小写，为第20个字母，对应20；
“u”是小写，为第21个字母，对应21；
“d”是小写，为第4个字母，对应4；
“y”是小写，为第25个字母，对应25。
因此按此规则得到密文为“45 20 21 4 25”（规则合理即可，答案不唯一）。
【答案】
(1) Welcome；
(2) 17 11 25 25 31（答案不唯一）；
(3) 示例：规则为a=1,b=2,…,z=26，大写字母对应数字加26，密文为45 20 21 4 25（答案不唯一）。
【知识点】
规律探究，自定义规则应用，开放设计
【点评】
本题以密码编制为情景，考查学生观察图表提取对应关系的能力，同时开放性设问鼓励学生发散思维，兼具趣味性和实践性，能有效锻炼学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解答本题的核心是明确两个规则的本质是数字与字母的对应关系：
(1) 第一问需对照图①的对应关系，逐个查找每个密文数字对应的字母，将字母拼接即可得到明文；
(2) 第二问需对照图②的对应关系，为每个明文字母选择一个对应的密文数字即可，同一字母有多个对应数字，因此答案不唯一；
(3) 第三问为开放性问题，只需设计简单合理的数字与字母对应规则，再按规则将“Study”的每个字母转换为数字即可。
【解析】
(1) 对照规则1的图①查找对应关系：密文23对应W，5对应e，12对应l，3对应c，15对应o，13对应m，34对应e，将字母拼接得明文“Welcome”。
(2) 对照规则2的图②查找对应关系：字母H可选对应数字17，e可选对应数字11，l可选对应数字25，o可选对应数字31，明文“Hello”由H、e、l、l、o组成，因此对应密文可为“17 11 25 25 31”（每个字母有多个对应数字，答案不唯一）。
(3) 示例编制规则：设定小写字母a对应1，b对应2，……，z对应26，大写字母对应数字为其小写对应数字加26。
对明文“Study”逐个转换：
“S”是大写，为第19个字母，对应19+26=45；
“t”是小写，为第20个字母，对应20；
“u”是小写，为第21个字母，对应21；
“d”是小写，为第4个字母，对应4；
“y”是小写，为第25个字母，对应25。
因此按此规则得到密文为“45 20 21 4 25”（规则合理即可，答案不唯一）。
【答案】
(1) Welcome；
(2) 17 11 25 25 31（答案不唯一）；
(3) 示例：规则为a=1,b=2,…,z=26，大写字母对应数字加26，密文为45 20 21 4 25（答案不唯一）。
【知识点】
规律探究，自定义规则应用，开放设计
【点评】
本题以密码编制为情景，考查学生观察图表提取对应关系的能力，同时开放性设问鼓励学生发散思维，兼具趣味性和实践性，能有效锻炼学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
