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7. 已知$a^2 - a - 5 = 0$，求$(3a^2 - 7a) - 2(a^2 - 3a + 2)$的值.
答案
7. 解:原式$=3a^2-7a-2a^2+6a-4=a^2-a-4$.
因为$a^2-a-5=0$,所以$a^2-a=5$,
所以原式$=5-4=1$.
因为$a^2-a-5=0$,所以$a^2-a=5$,
所以原式$=5-4=1$.
解析
【分析】
解题时无需先求出a的具体值，按两步思考即可：第一步先对所求整式进行化简，通过去括号、合并同类项整理为最简形式；第二步观察化简后的式子和已知等式的关联，从已知等式中得到化简式中整体部分的取值，用整体代入的方法计算结果，既能简化计算，也符合当前学段的知识要求。
【解析】
先化简待求式：
$\begin{aligned}原式&=3a^2-7a-2a^2+6a-4\\&=a^2-a-4\end{aligned}$
由已知$a^2 - a - 5 = 0$，移项可得$a^2 - a = 5$，
将$a^2 - a = 5$代入化简后的式子，得：
$原式=5-4=1$
【答案】
1
【知识点】
整式的加减运算，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，核心是运用整体转化思想，通过化简待求式建立和已知条件的关联，不用计算未知数的具体值即可求解，重点考查学生的整式运算熟练度和对整体思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题时无需先求出a的具体值，按两步思考即可：第一步先对所求整式进行化简，通过去括号、合并同类项整理为最简形式；第二步观察化简后的式子和已知等式的关联，从已知等式中得到化简式中整体部分的取值，用整体代入的方法计算结果，既能简化计算，也符合当前学段的知识要求。
【解析】
先化简待求式：
$\begin{aligned}原式&=3a^2-7a-2a^2+6a-4\\&=a^2-a-4\end{aligned}$
由已知$a^2 - a - 5 = 0$，移项可得$a^2 - a = 5$，
将$a^2 - a = 5$代入化简后的式子，得：
$原式=5-4=1$
【答案】
1
【知识点】
整式的加减运算，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，核心是运用整体转化思想，通过化简待求式建立和已知条件的关联，不用计算未知数的具体值即可求解，重点考查学生的整式运算熟练度和对整体思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
8.已知当$x=-1$时,代数式$ax^3+bx+1$的值为$-2025$,当$x=1$时,求代数式$ax^3+bx+1$的值.
答案
8. 解:当$x=-1$时,$ax^3+bx+1=-a-b+1=-2025$,
所以$a+b=2026$.
当$x=1$时,$ax^3+bx+1=a+b+1=2026+1=2027$.
所以$a+b=2026$.
当$x=1$时,$ax^3+bx+1=a+b+1=2026+1=2027$.
解析
【分析】
解题时先根据已知条件，把x=-1代入给定的代数式，得到含有a、b的等式，整理后可以得到a+b的整体值；再把x=1代入待求的代数式，发现刚好可以用a+b的整体值代入计算，不需要单独求出a、b的具体数值，用整体代入法就能快速算出结果。
【解析】
解：当$x=-1$时，将其代入代数式$ax^3+bx+1$可得：
$a× (-1)^3 + b× (-1) +1 = -a -b +1 = -2025$
移项整理得：$-a -b = -2026$，两边同时乘$-1$，得$a + b = 2026$。
当$x=1$时，将其代入代数式$ax^3+bx+1$可得：
$a× 1^3 + b× 1 +1 = a + b +1$
把$a+b=2026$整体代入上式，得$2026 +1 = 2027$。
【答案】
$2027$
【知识点】
代数式求值；整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是运用整体代入的思想，避开求解单个未知参数的步骤，通过得到未知参数的整体数值直接代入计算，简化运算过程。
【难度系数】
0.75
解题时先根据已知条件，把x=-1代入给定的代数式，得到含有a、b的等式，整理后可以得到a+b的整体值；再把x=1代入待求的代数式，发现刚好可以用a+b的整体值代入计算，不需要单独求出a、b的具体数值，用整体代入法就能快速算出结果。
【解析】
解：当$x=-1$时，将其代入代数式$ax^3+bx+1$可得：
$a× (-1)^3 + b× (-1) +1 = -a -b +1 = -2025$
移项整理得：$-a -b = -2026$，两边同时乘$-1$，得$a + b = 2026$。
当$x=1$时，将其代入代数式$ax^3+bx+1$可得：
$a× 1^3 + b× 1 +1 = a + b +1$
把$a+b=2026$整体代入上式，得$2026 +1 = 2027$。
【答案】
$2027$
【知识点】
代数式求值；整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是运用整体代入的思想，避开求解单个未知参数的步骤，通过得到未知参数的整体数值直接代入计算，简化运算过程。
【难度系数】
0.75
9. 已知$3x^2 - 4xy = 31$，$4xy - 3y^2 = 35$，求代数式$x^2 - y^2$的值.
答案
9. 解:因为$(3x^2-4xy)+(4xy-3y^2)=31+35=66$,
即$3x^2-3y^2=66$,所以$x^2-y^2=22$.
即$3x^2-3y^2=66$,所以$x^2-y^2=22$.
解析
【分析】
我们先观察已知的两个等式和所求代数式的结构特征：两个已知等式左边相加时，-4xy和+4xy会相互抵消，得到$3x^2-3y^2$，刚好是所求代数式$x^2-y^2$的3倍，因此不需要单独求解x、y的具体值，只需将两个等式左右两边分别相加，再整体变形即可求出结果。
【解析】
解：将已知的两个等式左右两边分别相加，可得：
$(3x^2 - 4xy)+(4xy - 3y^2)=31 + 35$
左边合并同类项得：$3x^2 - 3y^2=66$
提取公因式得：$3(x^2 - y^2)=66$
两边同时除以3，得：$x^2 - y^2=22$
【答案】
22
【知识点】
代数式求值，整式加减运算，整体代入思想
【点评】
本题的核心是利用整体思想简化计算，通过观察已知式子和所求式子的结构关联，用相加消去中间项的方法快速得到结果，避免了无意义的单独求解x、y的运算。
【难度系数】
0.7
我们先观察已知的两个等式和所求代数式的结构特征：两个已知等式左边相加时，-4xy和+4xy会相互抵消，得到$3x^2-3y^2$，刚好是所求代数式$x^2-y^2$的3倍，因此不需要单独求解x、y的具体值，只需将两个等式左右两边分别相加，再整体变形即可求出结果。
【解析】
解：将已知的两个等式左右两边分别相加，可得：
$(3x^2 - 4xy)+(4xy - 3y^2)=31 + 35$
左边合并同类项得：$3x^2 - 3y^2=66$
提取公因式得：$3(x^2 - y^2)=66$
两边同时除以3，得：$x^2 - y^2=22$
【答案】
22
【知识点】
代数式求值，整式加减运算，整体代入思想
【点评】
本题的核心是利用整体思想简化计算，通过观察已知式子和所求式子的结构关联，用相加消去中间项的方法快速得到结果，避免了无意义的单独求解x、y的运算。
【难度系数】
0.7
10.已知$x^2 - xy = -3$，$2xy - y^2 = -8$，求代数式$2x^2 + 4xy - 3y^2$的值.
答案
10. 解:原式$=2x^2-2xy+6xy-3y^2=2(x^2-xy)+3(2xy-y^2)=2×(-3)+3×(-8)=-30$.
解析
【分析】
本题无法直接求出x、y的具体数值，因此采用整体代入的思路求解。首先观察已知等式和待求代数式的系数特征：待求式中x²的系数为2，对应已知式x²-xy中x²的系数1，因此可先构造2倍的(x²-xy)，得到2x²-2xy；待求式中y²的系数为-3，对应已知式2xy-y²中y²的系数-1，因此构造3倍的(2xy-y²)，得到6xy-3y²；将两个构造出的式子相加恰好等于待求的2x²+4xy-3y²，最后将已知的两个代数式的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：先对待求代数式进行恒等变形：
$\begin{aligned}2x^2 + 4xy - 3y^2&=2x^2 - 2xy + 6xy - 3y^2\\&=2(x^2 - xy) + 3(2xy - y^2)\end{aligned}$
已知$x^2 - xy = -3$，$2xy - y^2 = -8$，将其整体代入上式得：
$\begin{aligned}原式&=2×(-3) + 3×(-8)\\&=-6 -24\\&=-30\end{aligned}$
【答案】
$-30$
【知识点】
整体代入求值，代数式恒等变形，整式的加减
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，解题的核心是根据已知式子的结构特征，对待求式进行合理拆分变形，转化为已知式子的组合形式，无需计算未知数的具体值即可简化运算，是代数式求值类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.6
本题无法直接求出x、y的具体数值，因此采用整体代入的思路求解。首先观察已知等式和待求代数式的系数特征：待求式中x²的系数为2，对应已知式x²-xy中x²的系数1，因此可先构造2倍的(x²-xy)，得到2x²-2xy；待求式中y²的系数为-3，对应已知式2xy-y²中y²的系数-1，因此构造3倍的(2xy-y²)，得到6xy-3y²；将两个构造出的式子相加恰好等于待求的2x²+4xy-3y²，最后将已知的两个代数式的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：先对待求代数式进行恒等变形：
$\begin{aligned}2x^2 + 4xy - 3y^2&=2x^2 - 2xy + 6xy - 3y^2\\&=2(x^2 - xy) + 3(2xy - y^2)\end{aligned}$
已知$x^2 - xy = -3$，$2xy - y^2 = -8$，将其整体代入上式得：
$\begin{aligned}原式&=2×(-3) + 3×(-8)\\&=-6 -24\\&=-30\end{aligned}$
【答案】
$-30$
【知识点】
整体代入求值，代数式恒等变形，整式的加减
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，解题的核心是根据已知式子的结构特征，对待求式进行合理拆分变形，转化为已知式子的组合形式，无需计算未知数的具体值即可简化运算，是代数式求值类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.6
11.有一数值转换机,原理如图所示,若输入x的值是1,则第一次输出的结果是6,第二次输出的结果是3,…,则第2024次输出的结果是
（
）
A.1
B.3
C.2
D.4
（
）A.1
B.3
C.2
D.4
答案
11. B
解析
【分析】
本题属于数值转换机的规律探究题，解题时首先按照转换机的运算规则，依次计算出前几次的输出结果，从中找到结果的循环规律，确定循环周期后，用总次数除以周期，根据余数即可确定第2024次的输出结果。
【解析】
按转换机规则依次计算输出结果：
输入$x=1$，1是奇数，第1次输出：$1+5=6$；
第2次输入$x=6$，6是偶数，输出：$\frac{1}{2}×6=3$；
第3次输入$x=3$，3是奇数，输出：$3+5=8$；
第4次输入$x=8$，8是偶数，输出：$\frac{1}{2}×8=4$；
第5次输入$x=4$，4是偶数，输出：$\frac{1}{2}×4=2$；
第6次输入$x=2$，2是偶数，输出：$\frac{1}{2}×2=1$；
第7次输入$x=1$，输出结果为6，与第1次输出结果相同，可得输出结果每6次为一个循环，循环节为：6、3、8、4、2、1。
计算$2024÷6=337······2$，余数为2，对应循环节的第2个结果，即3。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，周期规律探究
【点评】
本题是规律探究类的常见题型，解题核心是先通过计算前几次的结果找到循环周期，再结合余数对应到循环中的具体结果，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题属于数值转换机的规律探究题，解题时首先按照转换机的运算规则，依次计算出前几次的输出结果，从中找到结果的循环规律，确定循环周期后，用总次数除以周期，根据余数即可确定第2024次的输出结果。
【解析】
按转换机规则依次计算输出结果：
输入$x=1$，1是奇数，第1次输出：$1+5=6$；
第2次输入$x=6$，6是偶数，输出：$\frac{1}{2}×6=3$；
第3次输入$x=3$，3是奇数，输出：$3+5=8$；
第4次输入$x=8$，8是偶数，输出：$\frac{1}{2}×8=4$；
第5次输入$x=4$，4是偶数，输出：$\frac{1}{2}×4=2$；
第6次输入$x=2$，2是偶数，输出：$\frac{1}{2}×2=1$；
第7次输入$x=1$，输出结果为6，与第1次输出结果相同，可得输出结果每6次为一个循环，循环节为：6、3、8、4、2、1。
计算$2024÷6=337······2$，余数为2，对应循环节的第2个结果，即3。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，周期规律探究
【点评】
本题是规律探究类的常见题型，解题核心是先通过计算前几次的结果找到循环周期，再结合余数对应到循环中的具体结果，难度适中。
【难度系数】
0.7
