1. 解方程$\frac{2x+1}{3}-\frac{10x+1}{6}=1$时，去分母正确的是 （）

A.$2x+1-(10x+1)=1$
B.$4x+1-10x+1=6$
C.$4x+2-10x-1=6$
D.$2(2x+1)-(10x+1)=1$

1.C

【分析】
这道题考查解一元一次方程中的去分母步骤，解题思路如下：首先明确去分母的依据是等式的性质2，即等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。第一步先找到两个分母3和6的最小公倍数是6；第二步将方程左右两边的每一项都乘6，注意不要漏乘右边不含分母的常数项1，同时遇到分子是多项式的情况，要把分子看作整体加上括号，避免出现符号错误；最后将乘完后的式子化简去括号，和选项对比即可得到正确答案。
【解析】
解：方程中两个分母分别是3和6，最小公倍数为6。
根据等式的性质，将方程两边同时乘6，可得：
$\frac{2x+1}{3} × 6 - \frac{10x+1}{6} × 6 = 1 × 6$
化简每一项：
第一项：$\frac{6}{3} × (2x+1) = 2(2x+1)$
第二项：$-\frac{6}{6} × (10x+1) = -(10x+1)$
右边：$1 × 6 = 6$
此时式子为：$2(2x+1) - (10x+1) = 6$
对左边去括号，根据去括号法则：
$2×2x + 2×1 - 10x - 1 = 6$，即$4x + 2 - 10x - 1 = 6$
对比选项，C选项符合。
其余选项错误原因：A选项漏乘右边的常数项，且第一项未乘2；B选项第一项常数项漏乘2，第二项符号错误；D选项漏乘右边的常数项。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，去分母法则，去括号法则
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的项，二是分子为多项式时未加括号导致符号出错，掌握去分母的规范操作就能轻松解题。
【难度系数】
0.8

2. 若关于 $ x $ 的方程 $\frac{2x - 1}{3} = 5$ 与 $ kx - 1 = 15 $ 的解相同，则 $ k $ 的值为（）

A.8
B.6
C.$-2$
D.2

2.D

【分析】
要解决这道题，我们利用“两个方程解相同”的条件分步求解：第一步先解不含参数的一元一次方程$\frac{2x - 1}{3} = 5$，求出$x$的取值；第二步因为两个方程的解相同，把求出的$x$值代入含参数$k$的方程$kx - 1 = 15$，得到关于$k$的一元一次方程，解这个方程即可得到$k$的值。
【解析】
第一步，解方程$\frac{2x - 1}{3} = 5$：
两边同时乘3，得$2x - 1 = 15$，
移项，得$2x = 15 + 1$，
合并同类项，得$2x = 16$，
系数化为1，得$x = 8$。
第二步，由于两个方程的解相同，将$x = 8$代入$kx - 1 = 15$，得：
$8k - 1 = 15$，
移项，得$8k = 15 + 1$，
合并同类项，得$8k = 16$，
系数化为1，得$k = 2$。
【答案】D
【知识点】
同解方程性质，解一元一次方程，一元一次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用同解方程的性质，先求出已知方程的解，再代入含参数的方程求解参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 方程$\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{2-x}{4}$的解是________.

3.$x=0$

【分析】
本题是一元一次方程求解的基础题，解题时可按照解一元一次方程的常规步骤思考：首先观察到方程含有分母，先找到分母2和4的最小公倍数4，利用等式的性质两边同乘4去掉分母，将分数系数方程转化为整数系数方程，再依次完成去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，即可求出方程的解，最后可代入原方程检验解是否正确。
【解析】
解：第一步去分母，方程两边同时乘以4，得：
$2(x+1)=2-x$
第二步去括号，得：
$2x+2=2-x$
第三步移项，将含$x$的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项变号，得：
$2x+x=2-2$
第四步合并同类项，得：
$3x=0$
第五步系数化为1，方程两边同时除以3，得：
$x=0$
检验：将$x=0$代入原方程，左边$=\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}$，右边$=\dfrac{2-0}{4}=\dfrac{1}{2}$，左边=右边，故$x=0$是原方程的解。
【答案】
$x=0$
【知识点】
解一元一次方程；等式的性质；去分母
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，重点考查对解一元一次方程基本步骤的掌握程度，解题时需注意去分母时不要漏乘项，移项要记得变号，熟练掌握基础操作即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9

4.若$\frac{2x-1}{3}$与$3-x$的和为4,则$x=$.

4.$-4$

【分析】
本题需先根据题目给出的数量关系列出方程，再按照解一元一次方程的标准步骤求解。首先“两个代数式的和为4”是核心等量关系，据此先写出方程；解一元一次方程时按顺序操作：先去分母，注意方程两边每一项都要乘分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的整数项；再去括号，留意括号前的符号对括号内各项符号的影响；之后移项要变号，合并同类项后将系数化为1即可得到x的值。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{2x-1}{3} + (3 - x) = 4$
1. 去分母：方程两边同时乘3，得
$2x - 1 + 3(3 - x) = 12$
2. 去括号：
$2x - 1 + 9 - 3x = 12$
3. 合并同类项：
$-x + 8 = 12$
4. 移项：
$-x = 12 - 8$
$-x = 4$
5. 系数化为1：
$x = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础题型，既考察根据文字描述提取等量关系列方程的能力，也考察解一元一次方程的基本操作，解题时注意去分母不要漏乘项、去括号和移项时留意符号变化，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

5. 解下列方程：
(1)$\frac{1}{4}x - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$；
(2)$\frac{3y + 1}{4} = 2 - \frac{2y - 1}{3}$；
(3)$\frac{1}{2}(x + 4) + \frac{1}{5}(x - 10) = 0$；
(4)$x - \frac{x - 1}{3} = 7 - \frac{x + 3}{5}$.

5.解:(1)去分母,得$x-2=6$,
移项,得$x=8$.
(2)去分母,得$3(3y+1)=24-4(2y-1)$,
去括号,得$9y+3=24-8y+4$,
移项、合并同类项,得$17y=25$,
系数化为1,得$y=\frac{25}{17}$.
(3)去分母,得$5(x+4)+2(x-10)=0$,
去括号,得$5x+20+2x-20=0$,
合并同类项,得$7x=0$,
系数化为1,得$x=0$.
(4)去分母,得$15x-5(x-1)=105-3(x+3)$,
去括号,得$15x-5x+5=105-3x-9$,
移项、合并同类项,得$13x=91$,
系数化为1,得$x=7$.

【分析】
这是一组带分母的一元一次方程求解问题，解题遵循一元一次方程的通用求解步骤：①去分母：找到方程中所有分母的最小公倍数，等式两边同时乘这个最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的常数项；②去括号：按照去括号法则计算，括号前是负号时，括号内各项都要变号；③移项：把含未知数的项移到等式左边，常数项移到右边，移项要变号；④合并同类项：将同类项合并化简；⑤系数化为1：等式两边同时除以未知数的系数，得到方程的解，我们按这个步骤依次求解即可。
【解析】
(1) 去分母，两边同时乘4，得$x-2=6$，
移项，得$x=6+2$，即$x=8$。
(2) 去分母，两边同时乘4和3的最小公倍数12，得$3(3y+1)=24-4(2y-1)$，
去括号，得$9y+3=24-8y+4$，
移项、合并同类项，得$9y+8y=24+4-3$，即$17y=25$，
系数化为1，得$y=\frac{25}{17}$。
(3) 去分母，两边同时乘2和5的最小公倍数10，得$5(x+4)+2(x-10)=0$，
去括号，得$5x+20+2x-20=0$，
合并同类项，得$7x=0$，
系数化为1，得$x=0$。
(4) 去分母，两边同时乘3和5的最小公倍数15，得$15x-5(x-1)=105-3(x+3)$，
去括号，得$15x-5x+5=105-3x-9$，
移项、合并同类项，得$15x-5x+3x=105-9-5$，即$13x=91$，
系数化为1，得$x=7$。
【答案】
(1)$x=8$；(2)$y=\frac{25}{17}$；(3)$x=0$；(4)$x=7$
【知识点】
解一元一次方程，等式的性质，去括号法则
【点评】
本题是解一元一次方程的常规练习题，重点考察解方程步骤的规范性，需要注意去分母时不要漏乘无分母的项，去括号和移项时注意符号变化，熟练掌握解题步骤就能准确求解。
【难度系数】
0.8

6.将方程$\frac{2x-1}{3}-\frac{x+1}{2}=1$去分母得到$2(2x-1)-3x+1=6$，错在（）

A.分母的最小公倍数找错
B.去分母时漏乘项
C.去分母时分子部分没有加括号
D.去分母时各项所乘的数不同

6.C

【分析】
要判断去分母的错误，首先回忆去分母的正确步骤：第一步先找到方程中所有分母的最小公倍数，再将等式两边的每一项都乘这个最小公倍数，注意分数线具有括号的作用，若分数的分子是多项式，去分母时需要把分子作为整体加括号，再进行乘法运算。我们先写出正确的去分母结果，再和题目给出的错误结果对比，就能找到错误原因。
【解析】
原方程为$\frac{2x-1}{3}-\frac{x+1}{2}=1$，
1. 找分母的最小公倍数：3和2的最小公倍数是6；
2. 正确去分母操作：等式两边每一项都乘6，分子为多项式的整体加括号，可得：
$6×\frac{2x-1}{3} - 6×\frac{x+1}{2} = 6×1$
化简得：$2(2x-1) - 3(x+1) = 6$；
3. 对比题目给出的错误结果$2(2x-1)-3x+1=6$，可知错误出在去分母时，第二个分数的分子$x+1$没有加括号，导致运算错误。
对选项逐一判断：
A. 分母最小公倍数是6，没有找错，不符合；
B. 两边每一项都乘了6，没有漏乘项，不符合；
C. 去分母时分子部分没有加括号，符合错误原因；
D. 各项所乘的数都是6，没有不同，不符合。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程去分母，分数线的括号作用
【点评】
本题考查解一元一次方程中去分母步骤的易错点，解题时要注意分数线自带括号的作用，分子是多项式时去分母必须整体加括号，是解方程部分的常见易错题。
【难度系数】
0.7

7. 把方程$\frac{3x}{0.2} - 1 = \frac{2x}{0.3}$的分母化为整数可得方程 （）

A.$\frac{30x}{2} - 10 = \frac{20x}{3}$
B.$\frac{30x}{2} - 1 = \frac{20x}{3}$
C.$\frac{30x}{2} - 10 = \frac{2x}{3}$
D.$\frac{3x}{2} - 1 = \frac{2x}{3}$

7.B

【分析】
要将方程中的分母化为整数，需运用分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘同一个不为0的数，分数的大小不变。注意此变形仅针对分母为小数的单个分数，不属于分数部分的常数项不需要参与变形，不要和等式的性质混淆。首先分别处理方程左右两边的小数分母分数，再组合得到变形后的方程，对应选项即可。
【解析】
根据分数的基本性质，对每个分母为小数的分数单独变形：
1. 处理左边的$\frac{3x}{0.2}$：分子、分母同时乘10，可得$\frac{3x×10}{0.2×10}=\frac{30x}{2}$，式子中的常数项$-1$不属于该分数的组成部分，保持不变；
2. 处理右边的$\frac{2x}{0.3}$：分子、分母同时乘10，可得$\frac{2x×10}{0.3×10}=\frac{20x}{3}$。
将变形后的部分代入原方程，可得$\frac{30x}{2}-1=\frac{20x}{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分数的基本性质
2. 一元一次方程的变形
【点评】
本题考查一元一次方程的分母化整变形，属于基础易错题，解题的关键是区分分数的基本性质和等式的性质，避免误将单独的常数项也乘相同的数导致错误。
【难度系数】
0.7