8. 如果 $ a,b $ 是定值，且关于 $ x $ 的方程 $ \frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x+bk}{6} $，无论 $ k $ 为何值时，它的解总是 $ x=1 $，那么 $ 2a+b $ 的值是 （）

A.15
B.16
C.17
D.18

8.C

【分析】
解题时首先根据方程解的定义，把已知解x=1代入原方程，得到含有参数k、a、b的等式。由于题目要求无论k取何值等式都成立，因此等式中含k的项的系数必须为0，同时常数项也需满足等式，由此可列出关于a、b的关系式，进而求出2a+b的值。
【解析】
解：
∵ 方程的解总是x=1，将x=1代入原方程得：
$\frac{2k + a}{3} = 2 + \frac{1 + bk}{6}$
两边同时乘6去分母，得：
$2(2k + a) = 12 + 1 + bk$
去括号，得：
$4k + 2a = 13 + bk$
移项整理，得：
$(4 - b)k = 13 - 2a$
∵ 无论k取何值，上式都成立
∴ k的系数为0，且等式两边常数项相等，即：
$\begin{cases}4 - b = 0 \\13 - 2a = 0\end{cases}$
解得：$b=4$，$2a=13$
∴ $2a + b = 13 + 4 = 17$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解，方程恒成立条件，解一元一次方程
【点评】
本题的核心技巧是先代入已知的方程解，再利用“对任意参数都成立的等式，对应同类项系数相等”的规律求解，计算时可直接整体代入2a的值，简化计算步骤。
【难度系数】
0.6

9. 当$x=\underline{\hspace{5em}}$时，代数式$6+\dfrac{x}{2}$与$\dfrac{x+8}{2}$的值互为相反数。

9.$-10$

【分析】
要解决这道题，首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数相加和为0。因此我们可以根据这个性质列出关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可得到x的值。
【解析】
根据互为相反数的两数之和为0，可列方程：
$6+\frac{x}{2}+\frac{x+8}{2}=0$
第一步去分母，方程两边同时乘2消去分母：
$6×2 + x + (x+8) = 0$
计算得：
$12 + x + x + 8 = 0$
第二步合并同类项：
$2x + 20 = 0$
第三步移项，将常数项移到等号右侧：
$2x = -20$
第四步系数化为1，两边同时除以2：
$x = -10$
【答案】
$-10$
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，将相反数的概念与一元一次方程的解法结合考查，熟练掌握相关基础概念和运算步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.8

10.小乐在解方程$\frac{5a - x}{6} - 1 = 0$（$x$为未知数）时，误将$-x$看作$+x$，得到方程的解为$x=1$，则原方程的解为________.

10.$x=-1$

【分析】
解题思路分两步走：第一步，小乐误将$-x$看作$+x$时，方程中的参数$a$是没有看错的，因此可以将错解$x=1$代入看错后的方程，先求出$a$的值；第二步，把求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的步骤求解即可得到原方程的正确解。
【解析】
首先，小乐看错符号后的方程为：$\frac{5a + x}{6} - 1 = 0$
已知该错方程的解为$x=1$，将$x=1$代入错方程得：
$\frac{5a + 1}{6} - 1 = 0$
移项得：$\frac{5a + 1}{6} = 1$
两边同时乘6去分母得：$5a + 1 = 6$
移项、合并同类项得：$5a = 5$
解得：$a = 1$
将$a=1$代入原方程$\frac{5a - x}{6} - 1 = 0$得：
$\frac{5×1 - x}{6} - 1 = 0$
化简得：$\frac{5 - x}{6} = 1$
两边同时乘6去分母得：$5 - x = 6$
移项得：$-x = 6 - 5$
合并同类项得：$-x = 1$
系数化为1得：$x = -1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于错中求解类问题，解题的核心是抓住看错符号时参数$a$的取值不变，先通过错解求出参数值，再代回原方程求解，能够很好地考查对一元一次方程解的概念的理解和解方程的基本技能。
【难度系数】
0.7

11. 规定一种新的运算“*”：$a*b=2-a-b$，则$\frac{2x-1}{3}*\frac{1+x}{2}=1$的解是________.

11.$x=\frac{5}{7}$

【分析】
首先明确新运算“*”的规则：a*b的运算结果为2减去a再减去b。解题时先将方程中的$\frac{2x-1}{3}$看作规则中的a，$\frac{1+x}{2}$看作规则中的b，把含新运算的方程转化为常规的一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解即可。
【解析】
根据新运算规则$a*b=2-a-b$，将$\frac{2x-1}{3}*\frac{1+x}{2}=1$转化为普通方程：
$2 - \frac{2x-1}{3} - \frac{1+x}{2} = 1$
第一步去分母，方程两边同时乘6（3和2的最小公倍数）：
$6×2 - 2(2x-1) - 3(1+x) = 6×1$
去括号计算得：
$12 - 4x + 2 - 3 - 3x = 6$
合并同类项：
$11 - 7x = 6$
移项得：
$-7x = 6 - 11$
$-7x = -5$
系数化为1：
$x = \frac{5}{7}$
【答案】
$x=\frac{5}{7}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次方程的解法，核心是准确理解新运算规则，将陌生方程转化为熟悉的一元一次方程，再按标准解方程步骤作答即可。
【难度系数】
0.7

12. 解下列方程：
(1)$\frac{2x+1}{3}=\frac{3x-2}{2}$；
(2)$\frac{x-1}{3}-\frac{3-x}{2}=1$；
(3)$\frac{1}{2}(4x+3)+\frac{1}{3}(4x+3)=-\frac{5}{6}$；
(4)$\frac{0.1-2x}{0.3}=1+\frac{x}{0.15}$。

12.解:(1)去分母,得$2(2x+1)=3(3x-2)$,
去括号,得$4x+2=9x-6$,
移项、合并同类项,得$5x=8$,
系数化为1,得$x=1.6$.
(2)去分母,得$2(x-1)-3(3-x)=6$,
去括号,得$2x-2-9+3x=6$,
移项、合并同类项,得$5x=17$,
系数化为1,得$x=\frac{17}{5}$.
(3)去分母,得$3(4x+3)+2(4x+3)=-5$,
去括号,得$12x+9+8x+6=-5$,
移项、合并同类项,得$20x=-20$,
系数化为1,得$x=-1$.
(4)由$\frac{0.1-2x}{0.3}=1+\frac{x}{0.15}$,
可得$\frac{1-20x}{3}=1+\frac{100x}{15}$,
去分母,得$5(1-20x)=15+100x$,
去括号,得$5-100x=15+100x$,
移项,得$-100x-100x=15-5$,
合并同类项,得$-200x=10$,
系数化为1,得$x=-0.05$.

【分析】
解含分数系数的一元一次方程的核心思路是逐步将方程转化为$x=a$的形式，思考步骤如下：①若分母为小数，先利用分数的基本性质，将分子分母同乘合适的数，把小数分母转化为整数（注意该步骤仅调整分数本身，等式其他项不变）；②去分母：找到所有分母的最小公倍数，等式两边同时乘这个公倍数，每一项都要乘，不能漏乘不含分母的常数项；③去括号：注意括号前的符号，若括号前为负号，括号内每一项都要变号；④移项：把含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧，移项要变号；⑤合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。本题4个小题分别对应普通整数分母、需注意符号的整数分母、可合并整体的分母、小数分母四类常见考法，按上述步骤依次求解即可。
【解析】
(1)去分母,得$2(2x+1)=3(3x-2)$,
去括号,得$4x+2=9x-6$,
移项、合并同类项,得$5x=8$,
系数化为1,得$x=1.6$.
(2)去分母,得$2(x-1)-3(3-x)=6$,
去括号,得$2x-2-9+3x=6$,
移项、合并同类项,得$5x=17$,
系数化为1,得$x=\frac{17}{5}$.
(3)去分母,得$3(4x+3)+2(4x+3)=-5$,
去括号,得$12x+9+8x+6=-5$,
移项、合并同类项,得$20x=-20$,
系数化为1,得$x=-1$.
(4)由$\frac{0.1-2x}{0.3}=1+\frac{x}{0.15}$,
可得$\frac{1-20x}{3}=1+\frac{100x}{15}$,
去分母,得$5(1-20x)=15+100x$,
去括号,得$5-100x=15+100x$,
移项,得$-100x-100x=15-5$,
合并同类项,得$-200x=10$,
系数化为1,得$x=-0.05$.
【答案】
(1)$x=1.6$；(2)$x=\frac{17}{5}$；(3)$x=-1$；(4)$x=-0.05$
【知识点】
解一元一次方程；等式的性质；分数的基本性质
【点评】
这组题目覆盖了含整数分母、小数分母的一元一次方程求解题型，重点考察解一元一次方程的步骤规范性，解题时需注意去分母时不要漏乘常数项，处理小数分母时仅对对应分数的分子分母同乘倍数，不要随意乘等式其他项，避免出现符号、计算类失误。
【难度系数】
0.7

13.小华在解方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$去分母时，方程右边的$-1$没有乘6，求得方程的解为$x=4$。
求:(1)$a$的值；
(2)原方程正确的解。

13.解:(1)因为在解方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$去分母时,方程右边的$-1$没有乘6,
所以按小华的解法,
得$2(2x-1)=3(x+a)-1$,
化简,得$x=3a+1$.因为$x=4$,所以$a=1$.
(2)由(1)知原方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-1$.
去分母,得$2(2x-1)=3(x+1)-6$,
去括号,得$4x-2=3x+3-6$,
移项,得$4x-3x=3-6+2$,
合并同类项,得$x=-1$.

【分析】
(1) 小华去分母时仅漏乘了方程右边的-1，其余步骤正确，因此他求得的解$x=4$是错误去分母后得到的方程的解，将$x=4$代入错误方程即可求出$a$的值；(2) 把求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项）计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
(1) 根据小华的错误去分母操作，可得方程：
$2(2x-1)=3(x+a)-1$
已知$x=4$是该方程的解，将$x=4$代入上式：
左边：$2×(2×4 -1)=2×7=14$
右边：$3×(4+a)-1=12+3a-1=11+3a$
所以$14=11+3a$，解得$3a=3$，即$a=1$。
(2) 将$a=1$代入原方程，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-1$
正确去分母，两边同时乘6：
$2(2x-1)=3(x+1)-6$
去括号：
$4x-2=3x+3-6$
移项：
$4x-3x=3-6+2$
合并同类项：
$x=-1$
【答案】
(1) $a=1$；(2) 原方程的解为$x=-1$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，错解问题求解
【点评】
本题是解一元一次方程的典型应用，核心是明确错解的使用场景：错误操作得到的方程的解恰好是题目给出的错解，先通过错解求出未知参数，再按规范步骤求解原方程即可，解题时要注意去分母时不要漏乘常数项。
【难度系数】
0.7

14.已知关于 $ x $ 的一元一次方程 $ \frac{x}{99} + 1 = 99x + m $ 的解为 $ x = 2022 $，那么关于 $ y $ 的一元一次方程 $ \frac{y - 3}{99} + 1 = 99(y - 3) + m $ 的解为 $ y = \_\_\_\_\_\_ $。

14.2025

【分析】
我们先观察两个一元一次方程的结构，发现它们的形式完全相同，只是第一个方程中的未知数$x$替换成了第二个方程中的$(y-3)$。已知第一个方程的解是$x=2022$，我们可以用整体思想，把第二个方程里的$(y-3)$看作一个整体，它的值就等于第一个方程的解$x=2022$，不用先求$m$的值就能直接计算出$y$。
【解析】
对比两个方程的结构：
第一个方程$\frac{x}{99} + 1 = 99x + m$的解为$x=2022$；
第二个方程$\frac{y - 3}{99} + 1 = 99(y - 3) + m$中，将$y-3$看作整体，可知这个整体的取值和第一个方程的解$x$相等，即：
$y - 3 = 2022$
解得$y = 2022 + 3 = 2025$
【答案】
2025
【知识点】
一元一次方程的解、整体代入法
【点评】
本题核心是考查对一元一次方程解的概念的理解，解题关键是观察两个方程的结构特征，运用整体换元的思路快速求解，避免了不必要的计算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7