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11.解方程：
(1)$3x - 2 = 1 - 2(x + 1)$；
(2)$3x - 21(x + 1) = 6 - 9(x + 3)$；
(3)$4y - 3(20 - y) = 6y - 7(11 - y)$；
(4)$x - 2[x - 4(x - 1)] - 8 = -2$。
(1)$3x - 2 = 1 - 2(x + 1)$；
(2)$3x - 21(x + 1) = 6 - 9(x + 3)$；
(3)$4y - 3(20 - y) = 6y - 7(11 - y)$；
(4)$x - 2[x - 4(x - 1)] - 8 = -2$。
答案
解:(1)去括号,得$3x-2=1-2x-2$,
移项、合并同类项,得$5x=1$,
系数化为1,得$x=\dfrac{1}{5}$.
(2)去括号,得$3x-21x-21=6-9x-27$,
移项,得$3x-21x+9x=6-27+21$,
合并同类项,得$-9x=0$,
系数化为1,得$x=0$.
(3)去括号,得$4y-60+3y=6y-77+7y$,
移项、合并同类项,得$6y=17$,
系数化为1,得$y=\dfrac{17}{6}$.
(4)去括号,得$x-2x+8x-8-8=-2$,
移项、合并同类项,得$7x=14$,
系数化为1,得$x=2$.
移项、合并同类项,得$5x=1$,
系数化为1,得$x=\dfrac{1}{5}$.
(2)去括号,得$3x-21x-21=6-9x-27$,
移项,得$3x-21x+9x=6-27+21$,
合并同类项,得$-9x=0$,
系数化为1,得$x=0$.
(3)去括号,得$4y-60+3y=6y-77+7y$,
移项、合并同类项,得$6y=17$,
系数化为1,得$y=\dfrac{17}{6}$.
(4)去括号,得$x-2x+8x-8-8=-2$,
移项、合并同类项,得$7x=14$,
系数化为1,得$x=2$.
解析
【分析】
求解带括号的一元一次方程可按固定步骤思考：首先去括号，去括号时要注意两点：若括号前有系数，需将系数乘遍括号内的每一项，避免漏乘；若括号前为负号，去括号后括号内所有项都要变号。其次移项，将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项要记得变号。再合并同类项，将方程化为$ax=b(a≠0)$的形式。最后系数化为1，两边同时除以未知数的系数即可得到解，按上述步骤逐一计算4个小题即可。
【解析】
(1)去括号,得$3x-2=1-2x-2$,
移项、合并同类项,得$5x=1$,
系数化为1,得$x=\dfrac{1}{5}$.
(2)去括号,得$3x-21x-21=6-9x-27$,
移项,得$3x-21x+9x=6-27+21$,
合并同类项,得$-9x=0$,
系数化为1,得$x=0$.
(3)去括号,得$4y-60+3y=6y-77+7y$,
移项、合并同类项,得$6y=17$,
系数化为1,得$y=\dfrac{17}{6}$.
(4)去括号,得$x-2x+8x-8-8=-2$,
移项、合并同类项,得$7x=14$,
系数化为1,得$x=2$.
【答案】
(1)$x=\dfrac{1}{5}$；(2)$x=0$；(3)$y=\dfrac{17}{6}$；(4)$x=2$
【知识点】
解带括号的一元一次方程；去括号法则；移项合并同类项
【点评】
本组题目是一元一次方程求解的基础训练题型，核心易错点为去括号时的符号错误、漏乘括号内项，以及移项时未变号，熟练掌握此类题型的求解步骤，可为后续复杂方程及方程应用题的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
求解带括号的一元一次方程可按固定步骤思考：首先去括号，去括号时要注意两点：若括号前有系数，需将系数乘遍括号内的每一项，避免漏乘；若括号前为负号，去括号后括号内所有项都要变号。其次移项，将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项要记得变号。再合并同类项，将方程化为$ax=b(a≠0)$的形式。最后系数化为1，两边同时除以未知数的系数即可得到解，按上述步骤逐一计算4个小题即可。
【解析】
(1)去括号,得$3x-2=1-2x-2$,
移项、合并同类项,得$5x=1$,
系数化为1,得$x=\dfrac{1}{5}$.
(2)去括号,得$3x-21x-21=6-9x-27$,
移项,得$3x-21x+9x=6-27+21$,
合并同类项,得$-9x=0$,
系数化为1,得$x=0$.
(3)去括号,得$4y-60+3y=6y-77+7y$,
移项、合并同类项,得$6y=17$,
系数化为1,得$y=\dfrac{17}{6}$.
(4)去括号,得$x-2x+8x-8-8=-2$,
移项、合并同类项,得$7x=14$,
系数化为1,得$x=2$.
【答案】
(1)$x=\dfrac{1}{5}$；(2)$x=0$；(3)$y=\dfrac{17}{6}$；(4)$x=2$
【知识点】
解带括号的一元一次方程；去括号法则；移项合并同类项
【点评】
本组题目是一元一次方程求解的基础训练题型，核心易错点为去括号时的符号错误、漏乘括号内项，以及移项时未变号，熟练掌握此类题型的求解步骤，可为后续复杂方程及方程应用题的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
12.阅读下列材料:我们引入一种新的符号表示方式：$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}$，这种符号形式称为行列式.规定：
$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$，例如，$\begin{vmatrix} 2&3 \\ 4&5 \end{vmatrix}=2×5-3×4=10-12=-2$.按照这种运算的规定，请解答下列问题：
(1)计算：$\begin{vmatrix} -6&5 \\ 2&4 \end{vmatrix}=$ ______ ；若$\begin{vmatrix} 2&x \\ 5&x+3 \end{vmatrix}=0$，则$x=$ ______ ；
(2)直接写出$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}$与$\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}$的数量关系；
(3)请写出一个行列式，它的结果为$-2$.
$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$，例如，$\begin{vmatrix} 2&3 \\ 4&5 \end{vmatrix}=2×5-3×4=10-12=-2$.按照这种运算的规定，请解答下列问题：
(1)计算：$\begin{vmatrix} -6&5 \\ 2&4 \end{vmatrix}=$ ______ ；若$\begin{vmatrix} 2&x \\ 5&x+3 \end{vmatrix}=0$，则$x=$ ______ ；
(2)直接写出$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}$与$\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}$的数量关系；
(3)请写出一个行列式，它的结果为$-2$.
答案
(1)$-34\quad 2$
(2)解:因为$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$,$\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=bc-ad$,
所以$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=ad-bc+bc-ad=0$.
(3)解:$\begin{vmatrix} -2&0 \\ 4&1 \end{vmatrix}=-2×1-0×4=-2$.(答案不唯一)
(2)解:因为$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$,$\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=bc-ad$,
所以$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=ad-bc+bc-ad=0$.
(3)解:$\begin{vmatrix} -2&0 \\ 4&1 \end{vmatrix}=-2×1-0×4=-2$.(答案不唯一)
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，首先要准确理解行列式的运算规则：二阶行列式的值等于左上角元素乘右下角元素的积，减去右上角元素乘左下角元素的积。解题时按如下思路进行：
(1) 第一空直接将对应数值代入运算规则计算即可；第二空先按规则列出含x的一元一次方程，再解方程求出x的值；
(2) 分别将两个行列式按规则展开化简，即可得出二者的数量关系；
(3) 根据运算规则，只要满足“左上×右下 - 右上×左下 = -2”即可，任选符合条件的数值构造行列式即可。
【解析】
(1) ①根据行列式运算规则计算：
$\begin{vmatrix} -6&5 \\ 2&4 \end{vmatrix}=(-6)×4 - 5×2=-24 - 10=-34$
②若$\begin{vmatrix} 2&x \\ 5&x+3 \end{vmatrix}=0$，按规则列方程得：
$2(x+3) - 5x = 0$
去括号得：$2x + 6 - 5x = 0$
合并同类项得：$-3x + 6 = 0$
移项得：$-3x = -6$
系数化为1得：$x = 2$
(2) 分别展开两个行列式：
$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad - bc$
$\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=c× b - a× d = bc - ad$
因此$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=(ad - bc)+(bc - ad)=0$，二者互为相反数。
(3) 取$a=-2,c=0,b=4,d=1$，可得$\begin{vmatrix} -2&0 \\ 4&1 \end{vmatrix}=(-2)×1 - 0×4=-2$，符合要求（答案不唯一）。
【答案】
(1) $-34$；$2$
(2) $\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=0$（或二者互为相反数）
(3) $\begin{vmatrix} -2&0 \\ 4&1 \end{vmatrix}$（答案不唯一）
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，整式化简
【点评】
本题以新定义二阶行列式为载体，重点考查对新规则的阅读理解能力和应用能力，同时结合了一元一次方程解法、整式加减运算的知识点，解题时要注意运算过程中符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.75
本题是新定义运算类题目，首先要准确理解行列式的运算规则：二阶行列式的值等于左上角元素乘右下角元素的积，减去右上角元素乘左下角元素的积。解题时按如下思路进行：
(1) 第一空直接将对应数值代入运算规则计算即可；第二空先按规则列出含x的一元一次方程，再解方程求出x的值；
(2) 分别将两个行列式按规则展开化简，即可得出二者的数量关系；
(3) 根据运算规则，只要满足“左上×右下 - 右上×左下 = -2”即可，任选符合条件的数值构造行列式即可。
【解析】
(1) ①根据行列式运算规则计算：
$\begin{vmatrix} -6&5 \\ 2&4 \end{vmatrix}=(-6)×4 - 5×2=-24 - 10=-34$
②若$\begin{vmatrix} 2&x \\ 5&x+3 \end{vmatrix}=0$，按规则列方程得：
$2(x+3) - 5x = 0$
去括号得：$2x + 6 - 5x = 0$
合并同类项得：$-3x + 6 = 0$
移项得：$-3x = -6$
系数化为1得：$x = 2$
(2) 分别展开两个行列式：
$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad - bc$
$\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=c× b - a× d = bc - ad$
因此$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=(ad - bc)+(bc - ad)=0$，二者互为相反数。
(3) 取$a=-2,c=0,b=4,d=1$，可得$\begin{vmatrix} -2&0 \\ 4&1 \end{vmatrix}=(-2)×1 - 0×4=-2$，符合要求（答案不唯一）。
【答案】
(1) $-34$；$2$
(2) $\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=0$（或二者互为相反数）
(3) $\begin{vmatrix} -2&0 \\ 4&1 \end{vmatrix}$（答案不唯一）
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，整式化简
【点评】
本题以新定义二阶行列式为载体，重点考查对新规则的阅读理解能力和应用能力，同时结合了一元一次方程解法、整式加减运算的知识点，解题时要注意运算过程中符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.75
13. 对于有理数 $a,b$ 定义一种新运算“$\Delta$”，规定 $a\Delta b = 2a - 3b$。
(1)计算：$(-3)\Delta2 = \_\_\_\_\_\_$；
(2)比较 $(-2)\Delta x^2$ 与 $x^2\Delta(-2)$ 的大小；
(3)若关于 $x$ 的方程 $2\Delta(kx - 1) = -2$ 的解为正整数，则整数 $k$ 的值为 ______。
(1)计算：$(-3)\Delta2 = \_\_\_\_\_\_$；
(2)比较 $(-2)\Delta x^2$ 与 $x^2\Delta(-2)$ 的大小；
(3)若关于 $x$ 的方程 $2\Delta(kx - 1) = -2$ 的解为正整数，则整数 $k$ 的值为 ______。
答案
(1)$-12$
(2)解:$(-2)\Delta x^2=2×(-2)-3x^2=-4-3x^2$.
$x^2\Delta(-2)=2x^2-3×(-2)=2x^2+6$.
$x^2\Delta(-2)-(-2)\Delta x^2=2x^2+6-(-4-3x^2)=5x^2+10$.
因为$5x^2+10＞0$,
所以$(-2)\Delta x^2 ＜ x^2\Delta(-2)$.
(3)$1$或$3$
(2)解:$(-2)\Delta x^2=2×(-2)-3x^2=-4-3x^2$.
$x^2\Delta(-2)=2x^2-3×(-2)=2x^2+6$.
$x^2\Delta(-2)-(-2)\Delta x^2=2x^2+6-(-4-3x^2)=5x^2+10$.
因为$5x^2+10＞0$,
所以$(-2)\Delta x^2 ＜ x^2\Delta(-2)$.
(3)$1$或$3$
解析
【分析】
首先明确新运算“Δ”的规则：$aΔb = 2a - 3b$，即运算结果等于第一个数的2倍减去第二个数的3倍，解题时将对应位置的数或代数式代入规则转化为常规运算即可。(1)直接把$a=-3、b=2$代入公式计算；(2)分别按规则展开两个新运算式，用作差法比较大小，若差大于0则被减数更大，反之则减数更大；(3)先按新运算规则把方程转化为常规一元一次方程，解出用k表示的x，再结合x是正整数、k是整数的限制条件求k的值。
【解析】
(1)根据新运算规则：
$(-3)\Delta2=2×(-3)-3×2=-6-6=-12$
(2)分别计算两个新运算的结果：
$(-2)\Delta x^2=2×(-2)-3x^2=-4-3x^2$
$x^2\Delta(-2)=2x^2-3×(-2)=2x^2+6$
作差得：
$x^2\Delta(-2)-(-2)\Delta x^2=(2x^2+6)-(-4-3x^2)=5x^2+10$
$\because x^2≥0$，$\therefore 5x^2+10≥10＞0$
$\therefore (-2)\Delta x^2 ＜ x^2\Delta(-2)$
(3)将方程按新运算规则展开：
$2\Delta(kx-1)=2×2-3(kx-1)=4-3kx+3=7-3kx$
原方程化为：$7-3kx=-2$
移项整理得：$kx=3$，即$x=\frac{3}{k}$
$\because$ 方程的解x是正整数，k是整数
$\therefore$ k是3的正整数约数，即$k=1$或$k=3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-12}$；(2) $\boldsymbol{(-2)\Delta x^2 ＜ x^2\Delta(-2)}$；(3) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{3}$
【知识点】
新定义运算，整式的加减，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查新运算规则的迁移应用，需要将陌生的新运算转化为已学的四则运算、整式运算、一元一次方程求解等内容，解题时要注意题目给的限制条件，避免出现漏解或多解的问题。
【难度系数】
0.7
首先明确新运算“Δ”的规则：$aΔb = 2a - 3b$，即运算结果等于第一个数的2倍减去第二个数的3倍，解题时将对应位置的数或代数式代入规则转化为常规运算即可。(1)直接把$a=-3、b=2$代入公式计算；(2)分别按规则展开两个新运算式，用作差法比较大小，若差大于0则被减数更大，反之则减数更大；(3)先按新运算规则把方程转化为常规一元一次方程，解出用k表示的x，再结合x是正整数、k是整数的限制条件求k的值。
【解析】
(1)根据新运算规则：
$(-3)\Delta2=2×(-3)-3×2=-6-6=-12$
(2)分别计算两个新运算的结果：
$(-2)\Delta x^2=2×(-2)-3x^2=-4-3x^2$
$x^2\Delta(-2)=2x^2-3×(-2)=2x^2+6$
作差得：
$x^2\Delta(-2)-(-2)\Delta x^2=(2x^2+6)-(-4-3x^2)=5x^2+10$
$\because x^2≥0$，$\therefore 5x^2+10≥10＞0$
$\therefore (-2)\Delta x^2 ＜ x^2\Delta(-2)$
(3)将方程按新运算规则展开：
$2\Delta(kx-1)=2×2-3(kx-1)=4-3kx+3=7-3kx$
原方程化为：$7-3kx=-2$
移项整理得：$kx=3$，即$x=\frac{3}{k}$
$\because$ 方程的解x是正整数，k是整数
$\therefore$ k是3的正整数约数，即$k=1$或$k=3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-12}$；(2) $\boldsymbol{(-2)\Delta x^2 ＜ x^2\Delta(-2)}$；(3) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{3}$
【知识点】
新定义运算，整式的加减，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查新运算规则的迁移应用，需要将陌生的新运算转化为已学的四则运算、整式运算、一元一次方程求解等内容，解题时要注意题目给的限制条件，避免出现漏解或多解的问题。
【难度系数】
0.7
