10. 以$x=\dfrac{b\pm\sqrt{b^{2}-4c}}{2}$为根的一元二次方程可能是 ()
A. $x^{2}-bx+c=0$
B. $x^{2}+bx-c=0$
C. $x^{2}+bx+c=0$
D. $ax^{2}-bx+c=0$

10. A

【分析】
要解决这道题，需利用一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程$ax^2 + px + q = 0$（$a≠0$），其根为$x=\frac{-p\pm\sqrt{p^2 - 4aq}}{2a}$。题目给出的根为$x=\frac{b\pm\sqrt{b^2 -4c}}{2}$，只需将求根公式与题目中的根对比，对应系数即可找到对应的一元二次方程。
【解析】
根据一元二次方程求根公式：对于方程$ax^2 + px + q =0$（$a≠0$），根为$x=\frac{-p\pm\sqrt{p^2 -4aq}}{2a}$。
题目中根的表达式为$x=\frac{b\pm\sqrt{b^2 -4c}}{2}$，对比求根公式：
1. 分母为$2a=2$，得$a=1$；
2. 分子中根号前的系数为$-p = b$，得$p=-b$；
3. 根号内的常数项为$p^2 -4aq = b^2 -4c$，代入$a=1$、$p=-b$，得$(-b)^2 -4×1×q = b^2 -4q = b^2 -4c$，解得$q=c$。
因此对应的一元二次方程为$x^2 -bx +c=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的基础应用，需熟练掌握求根公式的结构，通过系数对比即可快速推导得出结果，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7

11. [易错题]若最简二次根式$\dfrac{1}{2}\sqrt{x^{2}-4x}$与$3\sqrt{10-x}$的被开方数相同,则$x$的值是 ()
A. $-2$
B. $5$
C. $-2$或5
D. $2$或$-5$

11. B

【分析】
要解决本题，需明确最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们的被开方数相等，据此列方程求解，再检验解是否满足最简二次根式的条件，排除不符合的解即可。
【解析】
因为两个最简二次根式的被开方数相同，所以它们的被开方数相等，可得方程：
$x^2 - 4x = 10 - x$
整理为一元二次方程的标准形式：
$x^2 - 3x - 10 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x + 2) = 0$
解得：$x = 5$ 或 $x = -2$
接下来检验解是否符合最简二次根式的要求：
当$x = -2$时，被开方数$x^2 - 4x = (-2)^2 - 4×(-2) = 12$，此时$\sqrt{12}$不是最简二次根式（12含能开得尽方的因数4），不符合题意，舍去；
当$x = 5$时，被开方数$x^2 - 4x = 5^2 - 4×5 = 5$，$10 - x = 5$，$\sqrt{5}$是最简二次根式，符合题意。
因此$x$的值为5，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式，一元二次方程解法，二次根式性质
【点评】
本题为易错题，核心考查最简二次根式的概念，解题时需注意：不仅要利用“被开方数相同”列方程，还要对解进行检验，排除不满足最简二次根式的解，避免错选包含错误解的选项。
【难度系数】
0.4

12. [原创题]关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m+3)x+m^{2}+1=0$.
(1)若$m$是方程的一个实数根,求$m$的值;
(2)若$m$为负数,判断方程根的情况.

12. (1) $m=\frac{1}{3}$;
(2) $-\frac{5}{12}＜m＜0$时,方程有两个不相等的实数根,$m=$
$-\frac{5}{12}$时,方程有两个相等的实数根,$m＜-\frac{5}{12}$时,方程没有
实数根.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用一元二次方程根的定义，将根代入原方程得到关于m的方程，解方程即可；第(2)问利用一元二次方程根的判别式Δ，先计算Δ，再结合m为负数的条件，分情况讨论Δ的正负，从而判断根的情况。
【解析】
(1) 因为m是方程$x^2 - (2m+3)x + m^2 +1=0$的一个实数根，所以将$x=m$代入方程得：
$m^2 - (2m+3)m + m^2 +1 = 0$
展开并整理：
$m^2 -2m^2 -3m + m^2 +1 = 0$
合并同类项得：$-3m +1 =0$
解得：$m=\frac{1}{3}$
(2) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，根的判别式$\Delta = b^2 -4ac$，本题中$a=1$，$b=-(2m+3)$，$c=m^2+1$，则：
$\Delta = [-(2m+3)]^2 -4×1×(m^2+1)$
$=4m^2 +12m +9 -4m^2 -4$
$=12m +5$
因为m为负数，分三种情况讨论：
① 当$\Delta＞0$时，$12m +5＞0$，解得$m＞-\frac{5}{12}$，结合m为负数，得$-\frac{5}{12}＜m＜0$，此时方程有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta=0$时，$12m +5=0$，解得$m=-\frac{5}{12}$，此时方程有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta＜0$时，$12m +5＜0$，解得$m＜-\frac{5}{12}$，结合m为负数，此时方程没有实数根。
【答案】
(1) $m=\frac{1}{3}$；
(2) $-\frac{5}{12}＜m＜0$时，方程有两个不相等的实数根，$m=-\frac{5}{12}$时，方程有两个相等的实数根，$m＜-\frac{5}{12}$时，方程没有实数根。
【知识点】
一元二次方程的根，根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及根的判别式的应用，是一元二次方程的基础题型，需熟练掌握代入法求参数、判别式与根的关系，难度适中。
【难度系数】
0.6

13. [分类讨论思想]已知一元二次方程$x^{2}-11x+30=0$的两个根恰好分别是等腰三角形$ABC$的底边长和腰长,求$△ ABC$的面积.

13. $\frac{5\sqrt{119}}{4}$或12

【分析】
首先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形“两腰相等”的性质，分两种情况确定底和腰，需验证三边是否满足三角形三边关系，最后利用等腰三角形面积公式（底×高÷2）分别计算两种情况的面积。
【解析】
解一元二次方程$x^2 -11x +30=0$，因式分解得：$(x-5)(x-6)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=6$。
因为方程的两个根是等腰三角形$ABC$的底边长和腰长，所以分两种情况讨论：
情况1：当底边长为5，腰长为6时，
等腰三角形底边上的高$h_1=\sqrt{6^2 - (\frac{5}{2})^2}=\sqrt{36 - \frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{119}}{2}$，
此时三角形面积$S_1=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5\sqrt{119}}{4}$；
情况2：当底边长为6，腰长为5时，
等腰三角形底边上的高$h_2=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 -9}=4$，
此时三角形面积$S_2=\frac{1}{2}×6×4=12$。
综上，$△ ABC$的面积为$\frac{5\sqrt{119}}{4}$或12。
【答案】
$\frac{5\sqrt{119}}{4}$或12
【知识点】
分类讨论思想，等腰三角形性质，一元二次方程解法
【点评】
本题核心是运用分类讨论思想处理等腰三角形底与腰的不确定性，需结合一元二次方程求解根，再通过勾股定理计算等腰三角形的高，最终求面积，需注意两种情况的完整性，是中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5

14. [新定义]定义:如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程是"邻根方程".例如:一元二次方程$x^{2}+x=0$的两个根是$x_{1}=0,x_{2}=-1$,则方程$x^{2}+x=0$是"邻根方程".
(1)通过计算,判断下列方程是否是"邻根方程":
①$x^{2}+x-2=0$;②$x^{2}-\sqrt{5}x+1=0$.
(2)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(k-3)x-3k=0$是"邻根方程",求$k$的值.

14. (1) 计算略,①不是“邻根方程”,②是“邻根方程”.
(2) $k=-2$或$k=-4$.

【分析】
首先明确“邻根方程”的定义：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根，且两根之差为1。解题时，第(1)问需先求出各方程的两个根，计算两根差判断是否为1，确定是否为邻根方程；第(2)问先求方程的根，再根据邻根方程的条件（两根差为1）分情况列方程求解k，同时保证方程有两个实根。
【解析】
(1) ①解方程$x^2+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=1$，两根差为$1-(-2)=3≠1$，故该方程不是“邻根方程”。
②解方程$x^2-\sqrt{5}x+1=0$，由求根公式得$x=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{(\sqrt{5})^2-4×1×1}}{2}=\frac{\sqrt{5}\pm1}{2}$，两根为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$和$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，两根差为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1$，故该方程是“邻根方程”。
(2) 解方程$x^2-(k-3)x-3k=0$，因式分解得$(x-k)(x+3)=0$，解得$x_1=k$，$x_2=-3$。因方程是“邻根方程”，故两根差为1，分两种情况：
情况1：$k-(-3)=1$，解得$k=-2$；
情况2：$-3 -k=1$，解得$k=-4$。
验证判别式$\Delta=(k-3)^2+12k=(k+3)^2≥0$，均满足有两个实根，故k的值为-2或-4。
【答案】
(1)①不是“邻根方程”，②是“邻根方程”；(2)$k=-2$或$k=-4$
【知识点】
一元二次方程的根，新定义运算
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“邻根方程”的本质（两根差为1），解题时需先正确求解一元二次方程的根，再根据定义列条件，运用分类讨论思想求解，考查学生对新定义的理解和一元二次方程的解法。
【难度系数】
0.6