疑难点拨
用公式法解方程:$2x^{2}+1=3x$.
点拨 在用公式法解方程时,一定要先将方程化为一般形式.

$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=1$

【分析】用公式法解一元二次方程时，首先需将方程化为一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），确定系数$a$、$b$、$c$的值；接着计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$判断根的情况；最后代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，注意移项时符号不要出错。
【解析】解：先将方程化为一般形式：
移项得$2x^2 - 3x + 1 = 0$，
这里$a = 2$，$b = -3$，$c = 1$，
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×2×1 = 9 - 8 = 1 ＞ 0$，
代入求根公式：$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2×2} = \frac{3 \pm 1}{4}$，
所以$x_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$，$x_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$。
【答案】$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=1$
【知识点】一元二次方程的公式法、一元二次方程的一般形式
【点评】本题考查公式法解一元二次方程，核心是先将方程整理为一般形式，准确确定系数，再运用求根公式计算，属于基础题型，需注意移项和符号的正确性。
【难度系数】0.8

1. 用求根公式解方程$5x^{2}-1-4x=0$时,$a=$,$b=$,$c=$.

1. 5 -4 -1

【分析】要确定一元二次方程的系数，需先将方程整理为标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再对应找出$a$、$b$、$c$的值，注意系数要包含自身符号。
【解析】先把方程$5x^{2}-1-4x=0$移项整理为标准形式：$5x^2 -4x -1=0$，对比标准形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=5$，$b=-4$，$c=-1$。
【答案】5 -4 -1
【知识点】一元二次方程的一般形式、求根公式的应用
【点评】本题考查一元二次方程标准形式的转化，核心是移项时注意各项符号，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

2. 方程$2x^{2}-3x-1=0$中,$a=$,$b=$,$c=$,$b^{2}-4ac=$.

2. 2 -3 -1 17

【分析】
本题考查一元二次方程的基本概念及判别式计算。首先需明确一元二次方程的标准形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项；再根据该定义确定对应系数，最后代入判别式公式$b^2 - 4ac$计算结果。
【解析】
对于方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$，对比一元二次方程标准形式：
二次项系数$a = 2$；
一次项系数$b = -3$；
常数项$c = -1$；
代入判别式公式计算：$b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×(-1) = 9 + 8 = 17$。
【答案】
2 -3 -1 17
【知识点】
一元二次方程的一般形式；判别式计算
【点评】
本题为基础题，直接考查一元二次方程的核心概念和判别式的简单运算，属于对基础知识的直接应用，难度较低。
【难度系数】
0.9

3. 方程$3x^{2}-5x=-3$,若$a=3$,则$b=$,$c=$,$b^{2}-4ac=$.

3. -5 3 -11

【分析】首先，一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时需先将题目中的方程整理为一般形式，再对应找到$b$、$c$的值，最后代入根的判别式公式计算结果。
【解析】1. 把方程$3x^2 -5x = -3$移项，化为一元二次方程的一般形式：$3x^2 -5x + 3 = 0$；2. 对应一般形式，已知$a=3$，则一次项系数$b=-5$，常数项$c=3$；3. 计算根的判别式：$b^2 -4ac = (-5)^2 - 4×3×3 = 25 - 36 = -11$。
【答案】-5；3；-11
【知识点】一元二次方程的一般形式；根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程一般形式的转化及根的判别式计算，属于基础题型，重点考察学生对一元二次方程标准形式中各项系数的识别能力，计算过程简单。
【难度系数】0.8

4. 一元二次方程$x^{2}-x-1=0$的两个实数根中较大的根是 ()

A.$1+\sqrt{5}$
B.$\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$
C.$\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$
D.$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

4. D

【分析】本题要求一元二次方程较大的根，解题思路为：先确定方程的系数a、b、c，计算判别式判断根的情况，再利用求根公式求出两个实数根，最后比较两根大小，选出较大的根即可。
【解析】对于一元二次方程$x^2 - x -1 =0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$。
计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = (-1)^2 -4×1×(-1)=1 +4=5＞0$，说明方程有两个不相等的实数根。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入系数得：
$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。
比较两个根：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx\frac{1+2.236}{2}\approx1.618$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx\frac{1-2.236}{2}\approx-0.618$，显然较大的根是$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程求根公式、根的大小比较
【点评】本题考查一元二次方程求根公式的基础应用，难度较低，只要掌握求根公式的正确使用方法，准确计算即可得出答案，属于易得分题。
【难度系数】0.7

5. 若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的两个根分别为$x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}+4}}{2},x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}+4}}{2}$,
则下列判断正确的是 ()

A.$a=-1$
B.$c=1$
C.$ac=-1$
D.$\dfrac{c}{a}=1$

5. C

【分析】本题给出了一元二次方程的两个根，要判断选项，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。先计算题目中两个根的和与积，再与韦达定理公式对比，推导$a、b、c$的关系，即可判断选项。
【解析】
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}{2}+\frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2}=\frac{-2b}{2}=-b$
根据韦达定理，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，因此$-b=-\frac{b}{a}$，结合$a≠0$，可进一步推导积的关系。
2. 计算两根之积：
利用平方差公式计算：
$x_1x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2+4})^2}{2×2}=\frac{b^2-(b^2+4)}{4}=\frac{-4}{4}=-1$
根据韦达定理，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，因此$\frac{c}{a}=-1$，即$ac=-1$。
3. 分析选项：
A选项$a=-1$、B选项$c=1$、D选项$\frac{c}{a}=1$均不符合推导结果，只有C选项$ac=-1$正确。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题考查一元二次方程韦达定理的基础应用，核心是通过计算两根的和与积，对比系数得出关系，属于常规基础题，难度不大。
【难度系数】0.5

6. 用公式法解方程$4y^{2}=12y+3$,得到 ()

A.$y=\dfrac{-3\pm\sqrt{6}}{2}$
B.$y=\dfrac{3\pm\sqrt{6}}{2}$
C.$y=\dfrac{3\pm2\sqrt{3}}{2}$
D.$y=\dfrac{-3\pm2\sqrt{3}}{2}$

6. C

【分析】
用公式法解一元二次方程时，需先将方程整理为标准形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），再确定$a、b、c$的值，计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，最后代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$求解。本题需先移项化为标准式，再按步骤计算。
【解析】
解：将方程$4y^2 = 12y + 3$整理为一元二次方程的标准形式：
$4y^2 - 12y - 3 = 0$
其中$a = 4$，$b = -12$，$c = -3$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4×4×(-3) = 144 + 48 = 192$
化简根式：$\sqrt{\Delta} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$
代入求根公式：
$y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{2×4} = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{8}$
分子分母同除以4，得：
$y = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
【答案】
C
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程的标准形式
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程，核心是掌握“化标准式→定系数→算判别式→代公式”的步骤，计算时需注意符号和根式化简，属于基础题型，易因符号错误或判别式计算失误丢分。
【难度系数】
0.3

7. 已知某一元二次方程的两根为$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^{2}+4×3×1}}{2×3}$,则此方程可能是 ()

A.$3x^{2}+5x+1=0$
B.$3x^{2}-5x+1=0$
C.$3x^{2}-5x-1=0$
D.$3x^{2}+5x-1=0$

7. D

【分析】首先回忆一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。题目给出了方程根的表达式，将其与求根公式对比，可确定$a、b、c$的值，进而得到对应的一元二次方程，匹配选项即可。
【解析】根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，对比题目中根的表达式$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2+4×3×1}}{2×3}$：
1. 分母部分：$2a=2×3$，得$a=3$；
2. 分子中$-b=-5$，得$b=5$；
3. 根号内部分：$b^2-4ac=5^2+4×3×1$，将$a=3、b=5$代入得：$5^2 -4×3×c=5^2+12$，化简得$-12c=12$，解得$c=-1$；
因此，该一元二次方程为$3x^2+5x-1=0$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程求根公式
【点评】本题考查一元二次方程求根公式的应用，核心是掌握公式中参数与根表达式的对应关系，通过对比确定方程系数，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6

8. 用公式法解下列方程:
(1)$x^{2}+2x-1=0$; (2)$3x^{2}-4x-1=0$; (3)$2x^{2}-1=4x$; (4)$2x^{2}-2\sqrt{2}x-5=0$.

8. (1) $x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2}$ (2) $x_{1}=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_{2}=$
$\frac{2-\sqrt{7}}{3}$ (3) $x_{1}=\frac{2+\sqrt{6}}{2},x_{2}=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$ (4) $x_{1}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2},$
$x_{2}=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}$

【分析】用公式法解一元二次方程的核心步骤是：①将方程整理为标准形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），确定$a、b、c$的值；②计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，判断根的情况；③代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，计算出方程的两个根。需注意整理方程时符号的准确性，以及判别式和公式的计算。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 2x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8$，
代入求根公式得：$x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2×1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$，
故$x_1 = -1 + \sqrt{2}$，$x_2 = -1 - \sqrt{2}$。
(2) 方程$3x^2 - 4x - 1 = 0$，其中$a=3$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×3×(-1) = 16 + 12 = 28$，
代入求根公式得：$x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2×3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$，
故$x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$。
(3) 先将方程$2x^2 - 1 = 4x$整理为标准形式：$2x^2 - 4x - 1 = 0$，其中$a=2$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24$，
代入求根公式得：$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2×2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$，
故$x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$。
(4) 方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x - 5 = 0$，其中$a=2$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-5$，
判别式$\Delta = (-2\sqrt{2})^2 - 4×2×(-5) = 8 + 40 = 48$，
代入求根公式得：$x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{48}}{2×2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 4\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{2} \pm 2\sqrt{3}}{2}$，
故$x_1 = \frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{2}$。
【答案】(1)$x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2}$；(2)$x_{1}=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_{2}=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$；(3)$x_{1}=\frac{2+\sqrt{6}}{2},x_{2}=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$；(4)$x_{1}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}$
【知识点】一元二次方程公式法、求根公式、判别式
【点评】本题考查一元二次方程的公式法求解，是初中数学的基础题型，解题关键在于正确将方程化为标准形式，准确确定$a、b、c$的值，熟练计算判别式并代入求根公式，需注意符号和根式化简的准确性。
【难度系数】0.6

9. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k=0$的两个根$x_{1}$、$x_{2}$是一个矩形的一边长和对角线的长,且矩形的另一边长为5,试求$k$的值.

9. k 的值为 12.

【分析】
首先，先求解给定的一元二次方程得到两个根；再根据矩形对角线长度大于任意一边的性质，确定对角线对应的根；最后利用勾股定理建立关于k的方程，求解并验证k的合理性（边长为正）。
【解析】
1. 解一元二次方程：对$x^2 - (2k+1)x + k^2 +k =0$因式分解得$(x -k)(x -(k+1))=0$，因此方程的两个根为$x_1=k$，$x_2=k+1$。
2. 结合矩形性质：矩形的对角线长度大于任意一边的长度，故对角线对应较大的根$k+1$，矩形的一边长为$k$，另一边长为5。
3. 根据勾股定理：矩形中，边长的平方和等于对角线的平方，即$k^2 +5^2=(k+1)^2$。
4. 解方程：展开得$k^2 +25 =k^2 +2k +1$，化简得$2k=24$，解得$k=12$。
5. 验证：$k=12＞0$，符合边长为正的要求，此时方程的根为12和13，矩形边长为12和5，对角线13，满足条件。
【答案】
k的值为12.
【知识点】
一元二次方程的解法、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程的根的求解、矩形性质及勾股定理的应用，关键是根据矩形对角线与边长的大小关系确定对应根，需注意验证解的实际合理性。
【难度系数】
0.5