7. 方程$x(x+2)=-x-2$的解为 ()
A. $x_{1}=-2,x_{2}=-1$ B. $x=-2$ C. $x_{1}=-2,x_{2}=1$ D. $x=-1$

7. A

【分析】
要解这个一元二次方程，首先将方程右边的项移到左边，使方程左边为0，再通过提取公因式进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解，最后根据得到的根对应选项选出正确答案。
【解析】
解：原方程移项得：$x(x+2) + x + 2 = 0$，
提取公因式$(x+2)$得：$(x+2)(x+1) = 0$，
则$x+2=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法
【点评】
本题是基础的一元二次方程求解问题，采用因式分解法解题简便，解题时需注意移项变号，准确提取公因式，属于学生应熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7

8. 解方程$2(4x-3)^{2}=3(4x-3)$最适当的方法是 ()
A. 直接开方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法

8. D

【分析】首先观察方程结构，方程两边都含有相同因式$(4x-3)$，无需展开或使用复杂方法，优先考虑移项后提取公因式的因式分解法，可简化计算，据此判断最适当的解法。
【解析】将方程$2(4x-3)^2=3(4x-3)$移项得：$2(4x-3)^2 - 3(4x-3)=0$，提取公因式$(4x-3)$，得$(4x-3)[2(4x-3)-3]=0$，转化为两个一元一次方程求解，过程简便，因此最适当的方法是因式分解法，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的解法（因式分解法）
【点评】本题考查一元二次方程解法的合理选择，核心是观察方程的结构特征，优先选择能简化计算的方法，属于基础题型，需掌握不同解法的适用场景。
【难度系数】0.8

9. 已知一元二次方程的两个根分别为$x_{1}=-2,x_{2}=-3$,则这个方程可以为 ()
A. $(x-1)(x+2)=-3×(-1)$ B. $(x+1)(x-3)=-1×(-6)$
C. $\frac{1}{2}(x+2)(x+3)=0$ D. $\frac{1}{2}(x-2)(x-3)=0$

9. C

【分析】
要解决这道题，需利用“已知一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$a(x - x_1)(x - x_2)=0$（$a≠0$，$a$为常数）”的原理，将题目给出的两根代入该形式，再对比各选项即可选出正确答案。
【解析】
根据一元二次方程的根与方程的构造关系：若一元二次方程的两根为$x_1=-2$，$x_2=-3$，则该方程可写为$a(x - (-2))(x - (-3))=0$，即$a(x + 2)(x + 3)=0$（$a≠0$）。
逐一分析选项：
选项A：展开后方程的根不是$-2$和$-3$，不符合；
选项B：展开后方程的根不是$-2$和$-3$，不符合；
选项C：$\frac{1}{2}(x + 2)(x + 3)=0$，符合$a(x + 2)(x + 3)=0$（$a=\frac{1}{2}≠0$）的形式，两根为$-2$和$-3$，符合；
选项D：方程的根为$2$和$3$，不符合。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的构造、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查利用一元二次方程的根构造方程，核心是掌握根与方程的对应关系，属于基础题型，难度较低，学生需准确理解并应用该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7

10. (2026 苏州)关于x的方程$x^{2}+4kx+2k^{2}=4$的一个解是$x=-2$,则k的值为.

10. 0或4

【分析】
要确定k的值，需利用方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值即为方程的解。将已知解x=-2代入原方程，可得到关于k的一元二次方程，解此方程即可求出k的值。
【解析】
把x=-2代入方程$x^{2}+4kx+2k^{2}=4$，得：
$(-2)^2 + 4k×(-2) + 2k^2 = 4$
化简计算：
$4 - 8k + 2k^2 = 4$
移项整理得：
$2k^2 - 8k = 0$
两边同除以2：
$k^2 - 4k = 0$
因式分解：
$k(k - 4) = 0$
则$k=0$或$k-4=0$，解得$k=0$或$k=4$。
【答案】
0或4
【知识点】
一元二次方程的解；解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解的应用，核心是利用方程解的定义代入转化为新方程，再通过因式分解法解一元二次方程，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6

11. 等腰三角形的两边长分别是方程$x^{2}-10x+21=0$的两个根,则这个三角形的周长为.

11. 17

【分析】
要解决这个问题，需按以下思路逐步推导：首先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形的性质分情况讨论边长，最后结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长。具体步骤：1. 用因式分解法解方程$x^2 -10x +21=0$，求出两个根；2. 等腰三角形的两边为方程的根，因此分“腰长为3、底为7”和“腰长为7、底为3”两种情况；3. 利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否成立，舍去不成立的情况；4. 对成立的情况计算周长。
【解析】
1. 解方程$x^2 -10x +21=0$：
因式分解得$(x-3)(x-7)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=7$。
2. 分情况讨论等腰三角形的边长：
情况一：若腰长为3，底边长为7，此时三边为3、3、7。
验证三边关系：$3+3=6 ＜7$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况。
情况二：若腰长为7，底边长为3，此时三边为7、7、3。
验证三边关系：$7+7=14＞3$，$7+3=10＞7$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
3. 计算周长：$7+7+3=17$。
【答案】
17
【知识点】
一元二次方程解法，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程求解、等腰三角形性质及三角形三边关系，核心是分类讨论后需验证三边是否满足三角形条件，避免因忽略三边关系导致错误。
【难度系数】
0.5

12. 对于实数a,b,定义新运算“$\otimes$”:$a\otimes b=a^{2}-2ab$,如$4\otimes 3=4^{2}-2×4×3=-8$.若$x\otimes 4=-16$,则实数x的值是.

12. 4

【分析】
本题是新定义运算与一元二次方程结合的题目，解题思路为：先根据题目给出的新运算“⊗”的规则，将x⊗4转化为对应的代数式，得到关于x的一元二次方程，再通过解方程求出x的值。
【解析】
根据新运算“⊗”的定义：$a\otimes b=a^2 - 2ab$，可得$x\otimes 4 = x^2 - 2× x×4 = x^2 - 8x$。
已知$x\otimes 4 = -16$，因此列方程：
$x^2 - 8x = -16$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 8x + 16 = 0$
利用完全平方公式因式分解：
$(x - 4)^2 = 0$
解得：$x = 4$
【答案】
4
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解及一元二次方程的求解，只需严格按照新运算规则转化为方程，再用因式分解法解方程即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

13. 用因式分解法解方程$x^{2}-mx-6=0$,若将左边因式分解后有一个因式是$(x-3)$,则m的值为.

13. 1

【分析】
要解决这个问题，可利用因式分解的性质：若多项式$x^2 - mx -6$分解后有因式$(x-3)$，则$x=3$是方程$x^2 - mx -6=0$的根，将$x=3$代入方程即可求出$m$的值。
【解析】
因为$(x-3)$是$x^2 - mx -6$的一个因式，所以$x=3$是方程$x^2 - mx -6=0$的根。
将$x=3$代入方程得：
$3^2 - 3m -6 = 0$
计算得：$9 - 3m -6 = 0$，即$3 - 3m = 0$
解得：$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
因式分解与方程根的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的基础应用，核心是利用“多项式的因式对应方程的根”这一性质，通过代入求值即可快速求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6

14. [新定义]定义:若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$中的常数项c是该方程的一个根,我们就将该一元二次方程叫作常数根方程.例如,对于一元二次方程$x^{2}-1=0$,因为$x=-1$是该方程的一个根,所以该方程是常数根方程.
(1)下列方程是常数根方程的有(填序号);
①$x^{2}-2x+1=0$;②$x^{2}-x-6=0$;③$x^{2}+2x=3$.
(2)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+x+m=0$是常数根方程,求m的值.

14. (1) ①③ (2) 0或-2

【分析】
本题是新定义题型，核心是理解“常数根方程”的定义：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$中，常数项$c$是该方程的一个根。解题思路：(1)对每个方程，先确定其常数项，再将常数项代入方程，若满足方程则为常数根方程；(2)已知方程是常数根方程，故常数项是方程的根，将其代入方程即可求解$m$的值，同时注意一元二次方程的二次项系数不为0（本题已满足）。
【解析】
(1) 逐一分析各方程：
① 方程$x^2 -2x +1=0$的常数项为$1$，将$x=1$代入方程左边：$1^2 -2×1 +1=0$，等于右边，故$1$是方程的根，该方程是常数根方程；
② 方程$x^2 -x -6=0$的常数项为$-6$，将$x=-6$代入方程左边：$(-6)^2 - (-6) -6=36≠0$，不满足方程，故不是常数根方程；
③ 方程$x^2 +2x=3$整理为$x^2 +2x -3=0$，常数项为$-3$，将$x=-3$代入方程左边：$(-3)^2 +2×(-3)-3=0$，等于右边，故$-3$是方程的根，该方程是常数根方程；
因此是常数根方程的为①③。
(2) 已知方程$x^2 +x +m=0$是常数根方程，故常数项$m$是方程的一个根，将$x=m$代入方程得：
$m^2 + m + m =0$，即$m^2 +2m=0$，因式分解得$m(m+2)=0$，解得$m=0$或$m=-2$。
经检验，均满足一元二次方程的条件，故$m$的值为$0$或$-2$。
【答案】
(1) ①③；(2) $0$或$-2$
【知识点】
新定义型一元二次方程，一元二次方程的根，解一元二次方程
【点评】
本题属于基础的新定义题型，关键在于准确理解“常数根方程”的核心定义，解题时紧扣定义进行代入验证或求解，整体难度不大，适合多数学生掌握。
【难度系数】
0.7

15. [新考法]阅读材料:
为解方程$(x^{2}-1)^{2}-3(x^{2}-1)=0$,我们可以将$x^{2}-1$视为一个整体,然后设$x^{2}-1=y$,原方程化为$y^{2}-3y=0$①,解得$y_{1}=0,y_{2}=3$.当$y=0$时,$x^{2}-1=0,x^{2}=1,\therefore x=\pm 1$.当$y=3$时,$x^{2}-1=3,x^{2}=4,\therefore x=\pm 2$.$\therefore$原方程的解为$x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=2,x_{4}=-2$.
解答问题:
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用法达到了降次的目的,体现了的数学思想;
(2)利用上述材料中的方法解方程:$(x^{2}+3)^{2}-4(x^{2}+3)=0$.

15. (1) 换元 转化 (2) $x_{1}=1,x_{2}=-1$.

【分析】
首先看问题（1）：材料中把原方程里的整体$x^2 -1$设为新变量$y$，将原高次方程转化为关于$y$的二次方程，这种方法是换元法，目的是降次，体现了把复杂问题转化为简单问题的转化思想。问题（2）则是应用换元法，把$x^2 +3$设为新变量，转化为二次方程求解，再回代求$x$，同时要注意$x^2$的非负性，舍去不合理的解。
【解析】
（1）在由原方程得到方程①的过程中，将$x^2 -1$视为整体替换为$y$，这种方法是换元法，通过换元把高次方程转化为低次方程，体现了转化的数学思想。
（2）设$x^2 +3 = y$，则原方程可化为$y^2 -4y = 0$，
因式分解得$y(y -4)=0$，
解得$y_1=0$，$y_2=4$。
当$y=0$时，$x^2 +3 =0$，即$x^2 = -3$，此方程无实数解；
当$y=4$时，$x^2 +3 =4$，即$x^2 =1$，解得$x=\pm1$。
所以原方程的解为$x_1=1$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) 换元；转化 (2) $x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
换元法解高次方程，转化思想，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查换元法的应用，核心是通过换元将复杂的高次方程转化为易解的二次方程，体现了转化思想，解题时需注意回代后根据$x^2$的非负性判断解的合理性，避免出错。
【难度系数】
0.6