疑难点拨
若关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}+2x-3=0$有实数根,则k的最小整数值为.
点拨 由$b^{2}-4ac≥0$得k的不等关系,但容易忽略二次项系数$k≠1$这个条件.

2

【分析】本题要求一元二次方程有实数根，需同时满足两个条件：一是方程为一元二次方程（二次项系数不为0），二是判别式Δ≥0。先确定这两个条件，解不等式后结合整数要求找到最小k值。
【解析】因为方程是关于x的一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即k-1≠0，解得k≠1。又因为方程有实数根，所以判别式Δ=b²-4ac≥0，其中a=k-1，b=2，c=-3，代入得：Δ=2² -4×(k-1)×(-3)=4 +12(k-1)≥0，化简得12k≥8，即k≥2/3。结合k≠1，k的取值范围是k≥2/3且k≠1，因此满足条件的最小整数k为2。
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的定义
【点评】本题需注意两个易错点：一是易忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件，二是计算判别式时符号易出错，牢记两个条件即可正确求解。
【难度系数】0.5

1. 下列方程中,有两个相等实数根的是 ()

A.$(x-2)^{2}=-1$
B.$(x-2)^{2}=0$
C.$(x-2)^{2}=1$
D.$(x-2)^{2}=2$

1. B

【分析】要判断方程是否有两个相等实数根，对于形如$(x-a)^2 = b$的方程，需根据等式右边常数项$b$的取值判断：当$b＞0$时，有两个不相等的实数根；当$b=0$时，有两个相等的实数根；当$b＜0$时，无实数根。因此只需分析各选项中等式右边的常数项即可。
【解析】
选项A：右边为$-1＜0$，平方数不可能为负数，故方程无实数根；
选项B：右边为$0$，方程化为$(x-2)^2=0$，解得$x=2$（两个相等的实数根），符合要求；
选项C：右边为$1＞0$，解得$x=2±1$，即$x=3$和$x=1$，有两个不相等的实数根；
选项D：右边为$2＞0$，解得$x=2±\sqrt{2}$，有两个不相等的实数根。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的情况、完全平方的非负性
【点评】本题考查一元二次方程根的判定，利用完全平方的非负性即可快速解题，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

2. 关于x的方程$x^{2}+\sqrt{2}x-1=0$的根的情况是 ()

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根
D.没有实数根

2. A

【分析】要判断一元二次方程根的情况，需运用根的判别式。首先确定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，根据$\Delta$与0的大小关系判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。本题方程为$x^2+\sqrt{2}x-1=0$，其中$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=-1$。代入计算得：$\Delta = (\sqrt{2})^2 - 4×1×(-1) = 2 + 4 = 6$。因为$\Delta=6＞0$，所以方程有两个不相等的实数根，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题，只需牢记判别式公式及根的情况对应关系即可快速解答，属于章节核心基础考点，难度较低。
【难度系数】0.7

3. 不解方程,直接判断下列一元二次方程的根的情况.
(1) $x^{2}-3x-7=0$;
(2) $9x^{2}+6x+1=0$;
(3) $2x^{2}-5x+4=0$.

3. (1) $a=1,b=-3,c=-7,\Delta=b^2-4ac=9+28=37＞0$,所以方程有两个不相等的实数根.
(2) $a=9,b=6,c=1,b^2-4ac=36-36=0$,所以方程有两个相等的实数根.
(3) $a=2,b=-5,c=4,b^2-4ac=25-32=-7＜0$,所以方程无实数根.

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，解题思路为：①确定每个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；②代入公式计算判别式$\Delta$；③根据$\Delta$的取值判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 3x -7=0$，$a=1$，$b=-3$，$c=-7$，$\Delta = b^2 -4ac = (-3)^2 -4×1×(-7)=9+28=37＞0$，所以方程有两个不相等的实数根；
(2) 对于方程$9x^2 +6x +1=0$，$a=9$，$b=6$，$c=1$，$\Delta = b^2 -4ac =6^2 -4×9×1=36-36=0$，所以方程有两个相等的实数根；
(3) 对于方程$2x^2 -5x +4=0$，$a=2$，$b=-5$，$c=4$，$\Delta = b^2 -4ac = (-5)^2 -4×2×4=25-32=-7＜0$，所以方程无实数根。
【答案】
3. (1) $a=1,b=-3,c=-7,\Delta=b^2-4ac=9+28=37＞0$,所以方程有两个不相等的实数根.
(2) $a=9,b=6,c=1,b^2-4ac=36-36=0$,所以方程有两个相等的实数根.
(3) $a=2,b=-5,c=4,b^2-4ac=25-32=-7＜0$,所以方程无实数根.
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，核心是掌握判别式与根的对应关系，解题时需准确确定$a、b、c$的值并正确计算$\Delta$。
【难度系数】
0.8

4. 关于x的一元二次方程$x^{2}+2ax+a^{2}-1=0$的根的情况是 ()

A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关

4. C

【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需运用根的判别式Δ=b²-4ac分析：先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入公式计算Δ的值，再根据Δ与0的大小关系判断根的类型（Δ＞0有两个不等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ＜0无实根）。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 + 2ax + a^2 - 1 = 0$，二次项系数为1，一次项系数为$2a$，常数项为$a^2 - 1$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = (2a)^2 - 4×1×(a^2 - 1) = 4a^2 - 4a^2 + 4 = 4$
因为$\Delta = 4 ＞ 0$，所以该方程有两个不相等的实数根，故答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题直接考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，解题关键是准确计算判别式的值，难度较低，是巩固一元二次方程知识点的典型题目。
【难度系数】
0.8

5. 已知关于x的方程$x^{2}+(k+1)x+k^{2}-k+2=0$,求证:不论k取何实数,此方程都没有实数根.

证明：
对于方程$x^{2}+(k+1)x+k^{2}-k+2=0$，
$a=1$，$b=k+1$，$c=k^{2}-k+2$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$
$=(k+1)^2 - 4×1×(k^2 - k + 2)$
$=k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k - 8$
$=-3k^2 + 6k - 7$
$=-3(k^2 - 2k) - 7$
$=-3[(k-1)^2 - 1] - 7$
$=-3(k-1)^2 + 3 - 7$
$=-3(k-1)^2 - 4$
因为$(k-1)^2 ≥ 0$，
所以$-3(k-1)^2 ≤ 0$，
则$-3(k-1)^2 - 4 ≤ -4 ＜ 0$，即$\Delta ＜ 0$。
所以不论k取何实数，此方程都没有实数根。

【分析】要证明一元二次方程没有实数根，需依据一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 -4ac ＜0$时，方程无实数根。解题思路为：先确定方程的$a、b、c$，计算判别式$\Delta$，再通过配方变形证明$\Delta$恒小于0，进而得出结论。
【解析】对于方程$x^{2}+(k+1)x+k^{2}-k+2=0$，其中$a=1$，$b=k+1$，$c=k^{2}-k+2$，根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac=(k+1)^2 - 4×1×(k^2 - k + 2)$
$=k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k - 8$
$=-3k^2 + 6k - 7$
$=-3(k^2 - 2k) - 7$
$=-3[(k-1)^2 - 1] - 7$
$=-3(k-1)^2 + 3 - 7$
$=-3(k-1)^2 - 4$
因为$(k-1)^2 ≥ 0$，所以$-3(k-1)^2 ≤ 0$，则$-3(k-1)^2 - 4 ≤ -4 ＜ 0$，即$\Delta ＜ 0$。
所以不论$k$取何实数，此方程都没有实数根。
【答案】证明：对于方程$x^{2}+(k+1)x+k^{2}-k+2=0$，$a=1$，$b=k+1$，$c=k^{2}-k+2$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac=(k+1)^2 - 4×1×(k^2 - k + 2)=k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k - 8=-3k^2 + 6k - 7=-3(k^2 - 2k) - 7=-3[(k-1)^2 - 1] - 7=-3(k-1)^2 + 3 - 7=-3(k-1)^2 - 4$。因为$(k-1)^2 ≥ 0$，所以$-3(k-1)^2 ≤ 0$，则$-3(k-1)^2 - 4 ≤ -4 ＜ 0$，即$\Delta ＜ 0$。所以不论$k$取何实数，此方程都没有实数根。
【知识点】一元二次方程根的判别式；配方法
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是通过计算判别式并结合配方法判断其符号，属于基础题型，需掌握判别式与根的关系及配方法的基本运用。
【难度系数】0.3

6. 已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+6x+1=0$没有实数根,则a的取值范围是.

6. $a＞9$

【分析】
要解决这个问题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式的性质：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数$a$不能为0；其次，一元二次方程没有实数根时，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$。接下来代入对应系数计算并解不等式，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
因为方程$ax^2 + 6x + 1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$a ≠ 0$。
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$），根的判别式$\Delta = B^2 - 4AC$，当$\Delta ＜ 0$时方程无实数根。
本题中$A = a$，$B = 6$，$C = 1$，因此$\Delta = 6^2 - 4 × a × 1 = 36 - 4a$。
由方程无实根得$\Delta ＜ 0$，即$36 - 4a ＜ 0$，
移项得：$-4a ＜ -36$，
两边同时除以$-4$（不等号方向改变）得：$a ＞ 9$。
由于$a ＞ 9$已满足$a ≠ 0$，故$a$的取值范围是$a ＞ 9$。
【答案】
$a＞9$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，解题时需注意两个核心点：一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是无实根对应判别式小于0；解不等式时要特别注意，不等式两边除以负数时不等号方向需改变，避免出错。
【难度系数】
0.3

7. 关于x的一元二次方程$x^{2}-x+c=0$有两个相等的实数根,则c的值为.

7. $\frac{1}{4}$

【分析】首先明确一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根。本题中方程$x^2 - x + c = 0$是一元二次方程，满足$a≠0$的条件，只需令判别式等于0，代入$a、b$的值即可求出$c$。
【解析】解：
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - x + c = 0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×1×c = 0$，
即$1 - 4c = 0$，
解得$c = \frac{1}{4}$。
【答案】$\frac{1}{4}$
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题，核心是掌握“方程有两个相等实数根则判别式为0”的结论，计算过程简单，属于基础得分题。
【难度系数】0.7