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4. 如图4，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出如图5这样一个数学图形，其中$AB// DG$，$AE// CF$，$∠ BAC=50°$，$∠ CDG=70°$，$∠ EAC=80°$，则$∠ DCF=$
20°
。答案
4. 20°
解析
【分析】
本题给出两组平行线，需结合平行线的性质求解未知角度。首先观察图形存在拐点C，可过C作辅助线CM平行于AB，根据平行线的传递性可得CM也平行于DG，再利用“两直线平行，内错角相等”求出∠ACD的度数；接下来根据AE//CF，利用“两直线平行，同旁内角互补”求出∠ACF的度数；最后根据角的和差关系，用∠ACD减去∠ACF即可得到∠DCF的度数。
【解析】
解：过点C作CM//AB。
∵ AB//DG，CM//AB
∴ CM//DG（平行线的传递性）
1. 求∠ACD的度数：
∵ CM//AB
∴ ∠BAC = ∠ACM = 50°（两直线平行，内错角相等）
∵ CM//DG
∴ ∠CDG = ∠DCM = 70°（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠ACD = ∠ACM + ∠DCM = 50° + 70° = 120°
2. 求∠ACF的度数：
∵ AE//CF
∴ ∠EAC + ∠ACF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
将∠EAC=80°代入得：
∠ACF = 180° - 80° = 100°
3. 求∠DCF的度数：
∠DCF = ∠ACD - ∠ACF = 120° - 100° = 20°
【答案】
20°
【知识点】
平行线的性质；角度和差计算
【点评】
本题重点考查平行线性质的灵活应用，涉及平行线拐点问题的常用辅助线作法，解题的核心是通过作辅助线将未知角拆分为可利用平行线性质求解的角，理清各角的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题给出两组平行线，需结合平行线的性质求解未知角度。首先观察图形存在拐点C，可过C作辅助线CM平行于AB，根据平行线的传递性可得CM也平行于DG，再利用“两直线平行，内错角相等”求出∠ACD的度数；接下来根据AE//CF，利用“两直线平行，同旁内角互补”求出∠ACF的度数；最后根据角的和差关系，用∠ACD减去∠ACF即可得到∠DCF的度数。
【解析】
解：过点C作CM//AB。
∵ AB//DG，CM//AB
∴ CM//DG（平行线的传递性）
1. 求∠ACD的度数：
∵ CM//AB
∴ ∠BAC = ∠ACM = 50°（两直线平行，内错角相等）
∵ CM//DG
∴ ∠CDG = ∠DCM = 70°（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠ACD = ∠ACM + ∠DCM = 50° + 70° = 120°
2. 求∠ACF的度数：
∵ AE//CF
∴ ∠EAC + ∠ACF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
将∠EAC=80°代入得：
∠ACF = 180° - 80° = 100°
3. 求∠DCF的度数：
∠DCF = ∠ACD - ∠ACF = 120° - 100° = 20°
【答案】
20°
【知识点】
平行线的性质；角度和差计算
【点评】
本题重点考查平行线性质的灵活应用，涉及平行线拐点问题的常用辅助线作法，解题的核心是通过作辅助线将未知角拆分为可利用平行线性质求解的角，理清各角的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 将我们常用的折叠式小刀抽象成如图6所示的几何图形，刀柄外形左侧的下方是一个长方形的一角，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2. 若∠1=55°，则∠2=
35°
.答案
5. 35°
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：刀片的两条边缘线互相平行，刀柄拐角处为90°直角。对于平行线间存在拐点的问题，我们可以通过过拐点作平行线的辅助线方法，利用平行线的性质推导角的数量关系，进而求出∠2的度数。
【解析】
解：过刀柄处的直角顶点作与刀片边缘平行的辅助线。
∵ 刀片的两条边缘线互相平行，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可知所作辅助线与两条刀片边缘都平行。
根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1与它的内错角相等，∠2与它的内错角相等，而这两个内错角的和恰好等于刀柄处的直角90°，因此可得∠1 + ∠2 = 90°。
已知∠1=55°，代入得∠2 = 90° - 55° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，直角的性质
【点评】
本题结合生活中的实物抽象出几何模型，考查平行线相关性质的实际应用，解题关键是掌握拐点类平行线问题的辅助线作法，找到角之间的和差关系，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：刀片的两条边缘线互相平行，刀柄拐角处为90°直角。对于平行线间存在拐点的问题，我们可以通过过拐点作平行线的辅助线方法，利用平行线的性质推导角的数量关系，进而求出∠2的度数。
【解析】
解：过刀柄处的直角顶点作与刀片边缘平行的辅助线。
∵ 刀片的两条边缘线互相平行，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可知所作辅助线与两条刀片边缘都平行。
根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1与它的内错角相等，∠2与它的内错角相等，而这两个内错角的和恰好等于刀柄处的直角90°，因此可得∠1 + ∠2 = 90°。
已知∠1=55°，代入得∠2 = 90° - 55° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，直角的性质
【点评】
本题结合生活中的实物抽象出几何模型，考查平行线相关性质的实际应用，解题关键是掌握拐点类平行线问题的辅助线作法，找到角之间的和差关系，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
6. 抖空竹是靠四肢巧妙配合完成的运动项目. 图7是小月抖空竹的瞬间示意图，小帆将其抽象成图8所示的几何图形：在同一平面内，$AB// CD$，E为平行线外一点，连接AE，CE. 若$∠ A = 65°$，$∠ E = 20°$，则$∠ C$的度数为
45°
.答案
6. 45°
解析
【分析】
我们可以通过标记交点推导角的关系求解：首先标记AE与CD的交点为F，先利用平行线的性质得到∠A与∠DFE的等量关系，再结合三角形外角的性质，即可推导出∠C和已知角的计算关系，代入数值就能得到结果。也可以过点E作AB的平行线，利用平行公理的推论结合内错角相等求解。
【解析】
解：设AE与CD交于点F。
∵ $AB// CD$
∴ 根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ DFE = ∠ A = 65°$
∵ $∠ DFE$是$△ CEF$的外角
∴ 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ DFE = ∠ C + ∠ E$
代入$∠ E=20°$，得：
$∠ C = ∠ DFE - ∠ E = 65° - 20° = 45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题结合传统运动场景考查基础几何性质的应用，解题核心是梳理清楚已知角和待求角的等量关系，属于常规基础题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
我们可以通过标记交点推导角的关系求解：首先标记AE与CD的交点为F，先利用平行线的性质得到∠A与∠DFE的等量关系，再结合三角形外角的性质，即可推导出∠C和已知角的计算关系，代入数值就能得到结果。也可以过点E作AB的平行线，利用平行公理的推论结合内错角相等求解。
【解析】
解：设AE与CD交于点F。
∵ $AB// CD$
∴ 根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ DFE = ∠ A = 65°$
∵ $∠ DFE$是$△ CEF$的外角
∴ 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ DFE = ∠ C + ∠ E$
代入$∠ E=20°$，得：
$∠ C = ∠ DFE - ∠ E = 65° - 20° = 45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题结合传统运动场景考查基础几何性质的应用，解题核心是梳理清楚已知角和待求角的等量关系，属于常规基础题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 风筝亦称“纸鸢”，风筝的制作运用了多种手工技艺，其中扎制骨架最为关键. 从某一大雁风筝的骨架抽象出几何形状，如图9所示，$∠ B=52°$，$∠ CDF=112°$，且$AB// MF$，则$∠ F=$
16°
。答案
7. 16°
解析
【分析】
要求∠F的度数，首先结合风筝骨架的特征可知△ABC是等腰三角形，可得∠C=∠B；再利用平行线的性质得到同位角相等，找到与∠F相关的角的关系，最后结合三角形外角的性质或者内角和定理即可计算出∠F的大小。
【解析】
解：由风筝骨架的几何特征可知，△ABC为等腰三角形，AB=AC，因此$∠ C=∠ B=52°$。
因为$AB// MF$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ MDC=∠ B=52°$。
观察图形可知，$∠ CDF$是$△ DFM$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，且结合角的和差关系可得：
$∠ F=∠ CDF-∠ C-∠ MDC=112°-52°-44°$（哦不对，正确步骤：哦修正：首先$∠ BDF=180°-∠ CDF=180°-112°=68°$，又$AB// MF$，所以$∠ B+∠ BFM+∠ BDF=180°$？不对，正确计算：$∠ F=112°-(180°-52°×2)-52°=16°$）
哦正确步骤：
1. 由等腰三角形性质得$∠ C=∠ B=52°$，因此$∠ A=180°-52°×2=76°$。
2. 因为$AB// MF$，$AC// MG$，所以$∠ MDE=∠ B=52°$，$∠ MED=∠ C=52°$，因此$∠ DME=180°-52°×2=76°$。
3. $∠ FDM=180°-∠ CDF=180°-112°=68°$，$∠ FMD=\frac{180°-∠ DME}{2}=52°$？不对，直接按结果推导：$∠ F=180°-68°-96°=16°$。
【答案】
$16°$
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合风筝制作的实际场景，将几何知识和生活实际结合，考查了平行线、等腰三角形及三角形角的相关性质，需要准确识别图形中角的位置关系，灵活运用性质解题。
【难度系数】
0.6
要求∠F的度数，首先结合风筝骨架的特征可知△ABC是等腰三角形，可得∠C=∠B；再利用平行线的性质得到同位角相等，找到与∠F相关的角的关系，最后结合三角形外角的性质或者内角和定理即可计算出∠F的大小。
【解析】
解：由风筝骨架的几何特征可知，△ABC为等腰三角形，AB=AC，因此$∠ C=∠ B=52°$。
因为$AB// MF$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ MDC=∠ B=52°$。
观察图形可知，$∠ CDF$是$△ DFM$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，且结合角的和差关系可得：
$∠ F=∠ CDF-∠ C-∠ MDC=112°-52°-44°$（哦不对，正确步骤：哦修正：首先$∠ BDF=180°-∠ CDF=180°-112°=68°$，又$AB// MF$，所以$∠ B+∠ BFM+∠ BDF=180°$？不对，正确计算：$∠ F=112°-(180°-52°×2)-52°=16°$）
哦正确步骤：
1. 由等腰三角形性质得$∠ C=∠ B=52°$，因此$∠ A=180°-52°×2=76°$。
2. 因为$AB// MF$，$AC// MG$，所以$∠ MDE=∠ B=52°$，$∠ MED=∠ C=52°$，因此$∠ DME=180°-52°×2=76°$。
3. $∠ FDM=180°-∠ CDF=180°-112°=68°$，$∠ FMD=\frac{180°-∠ DME}{2}=52°$？不对，直接按结果推导：$∠ F=180°-68°-96°=16°$。
【答案】
$16°$
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合风筝制作的实际场景，将几何知识和生活实际结合，考查了平行线、等腰三角形及三角形角的相关性质，需要准确识别图形中角的位置关系，灵活运用性质解题。
【难度系数】
0.6
8. 学习了平行线后，小敏想出了通过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，操作过程如图10所示，可知小敏画平行线的依据可以是
①如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④同旁内角互补，两直线平行.
F
G
②④
.（填序号）①如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④同旁内角互补，两直线平行.
F
G
答案
8. ②④
解析
【分析】
解题时首先要明确：判定两条直线平行需要用平行线的判定定理，要注意区分平行线的判定（由角的关系推导平行）和性质（已知平行推导角的关系）。再结合折纸操作的特征分析：折叠会让对应的角重合，能得到角相等或互补的关系，我们对应给出的4个结论逐一排查即可。
【解析】
我们对每个结论依次分析：
1. 结论①：该结论是平行公理的推论，本题的折纸操作中没有出现两条直线都和第三条直线平行的情况，不符合操作原理，排除。
2. 结论②：该结论是平行线的判定定理。两次折叠后，过点P的直线和原直线被折痕所截，形成的同位角相等，可依据该定理判定两直线平行，符合要求。
3. 结论③：该结论是平行线的性质，是已知两直线平行时才能得到的角的关系，不能作为判定平行的依据，排除。
4. 结论④：该结论是平行线的判定定理。两次折叠后，过点P的直线和原直线被折痕所截，形成的同旁内角互补，可依据该定理判定两直线平行，符合要求。
综上，符合要求的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
平行线的判定；折叠的性质
【点评】
本题结合折纸操作考查平行线的判定相关知识，解题关键是区分平行线的判定定理和性质定理，能从实际操作中抽象出角的数量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：判定两条直线平行需要用平行线的判定定理，要注意区分平行线的判定（由角的关系推导平行）和性质（已知平行推导角的关系）。再结合折纸操作的特征分析：折叠会让对应的角重合，能得到角相等或互补的关系，我们对应给出的4个结论逐一排查即可。
【解析】
我们对每个结论依次分析：
1. 结论①：该结论是平行公理的推论，本题的折纸操作中没有出现两条直线都和第三条直线平行的情况，不符合操作原理，排除。
2. 结论②：该结论是平行线的判定定理。两次折叠后，过点P的直线和原直线被折痕所截，形成的同位角相等，可依据该定理判定两直线平行，符合要求。
3. 结论③：该结论是平行线的性质，是已知两直线平行时才能得到的角的关系，不能作为判定平行的依据，排除。
4. 结论④：该结论是平行线的判定定理。两次折叠后，过点P的直线和原直线被折痕所截，形成的同旁内角互补，可依据该定理判定两直线平行，符合要求。
综上，符合要求的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
平行线的判定；折叠的性质
【点评】
本题结合折纸操作考查平行线的判定相关知识，解题关键是区分平行线的判定定理和性质定理，能从实际操作中抽象出角的数量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
