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9. 如图11，点A，B，C，D，E，F是三角形MNR三条边上的点，DE//MN，BC//MR，AF//RN.
（1）判断∠1与∠4是否相等，并说明理由.
（2）若∠4+∠6=210°，求∠R+∠N的度数.
（1）判断∠1与∠4是否相等，并说明理由.
（2）若∠4+∠6=210°，求∠R+∠N的度数.
答案
9.（1）相等. 理由如下：如答图4
，连接AD，∵DE//MN，
∴∠EDA=∠DAB.
∵AF//RN，
∴∠FAD=∠CDA，
∴∠DAB+∠FAD=∠EDA+∠CDA，即∠1=∠4
（2）由（1）知∠1=∠4，
∵∠4+∠6=210°，
∴∠6+∠1=210°，
∴∠MFA+∠MAF=180°−∠6+180°−∠1=360°−210°=150°，
∴∠M=180°−(∠MFA+∠MAF)=180°−150°=30°. 又∠M+∠R+∠N=180°，
∴∠R+∠N=180°−∠M=150°
解析
【分析】
（1）要判断∠1与∠4是否相等，可结合已知的平行线条件，通过连接AD构造内错角，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，分别得到两组相等的角，再通过角的和的关系推导即可。
（2）第二问可直接沿用第一问的结论∠1=∠4，将已知的∠4+∠6=210°转化为∠1+∠6=210°，再利用邻补角和为180°求出△MAF中两个锐角的和，结合三角形内角和定理求出∠M的度数，最后利用大三角形MNR的内角和为180°，即可计算出∠R+∠N的度数。
【解析】
（1）∠1与∠4相等，理由如下：
如答图4，连接AD，
∵DE//MN，根据两直线平行，内错角相等，可得∠EDA=∠DAB，
∵AF//RN，根据两直线平行，内错角相等，可得∠FAD=∠CDA，
∴∠DAB+∠FAD=∠EDA+∠CDA，即∠1=∠4。
（2）由（1）可知∠1=∠4，
∵∠4+∠6=210°，
∴∠1+∠6=210°，
∵∠MFA与∠6互为邻补角，∠MAF与∠1互为邻补角，
∴∠MFA=180°−∠6，∠MAF=180°−∠1，
∴∠MFA+∠MAF=180°−∠6+180°−∠1=360°−210°=150°，
在△MAF中，根据三角形内角和为180°，得∠M=180°−(∠MFA+∠MAF)=180°−150°=30°，
在△MNR中，∠M+∠R+∠N=180°，
∴∠R+∠N=180°−∠M=180°−30°=150°。
【答案】
（1）相等，理由：如答图4，连接AD，
∵DE//MN，
∴∠EDA=∠DAB，
∵AF//RN，
∴∠FAD=∠CDA，
∴∠DAB+∠FAD=∠EDA+∠CDA，即∠1=∠4；
（2）150°
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，邻补角性质
【点评】
本题考查平行线性质与三角形内角和的综合应用，构造辅助线得到相等的角是解题的关键，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要判断∠1与∠4是否相等，可结合已知的平行线条件，通过连接AD构造内错角，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，分别得到两组相等的角，再通过角的和的关系推导即可。
（2）第二问可直接沿用第一问的结论∠1=∠4，将已知的∠4+∠6=210°转化为∠1+∠6=210°，再利用邻补角和为180°求出△MAF中两个锐角的和，结合三角形内角和定理求出∠M的度数，最后利用大三角形MNR的内角和为180°，即可计算出∠R+∠N的度数。
【解析】
（1）∠1与∠4相等，理由如下：
如答图4
，连接AD，∵DE//MN，根据两直线平行，内错角相等，可得∠EDA=∠DAB，
∵AF//RN，根据两直线平行，内错角相等，可得∠FAD=∠CDA，
∴∠DAB+∠FAD=∠EDA+∠CDA，即∠1=∠4。
（2）由（1）可知∠1=∠4，
∵∠4+∠6=210°，
∴∠1+∠6=210°，
∵∠MFA与∠6互为邻补角，∠MAF与∠1互为邻补角，
∴∠MFA=180°−∠6，∠MAF=180°−∠1，
∴∠MFA+∠MAF=180°−∠6+180°−∠1=360°−210°=150°，
在△MAF中，根据三角形内角和为180°，得∠M=180°−(∠MFA+∠MAF)=180°−150°=30°，
在△MNR中，∠M+∠R+∠N=180°，
∴∠R+∠N=180°−∠M=180°−30°=150°。
【答案】
（1）相等，理由：如答图4
，连接AD，∵DE//MN，
∴∠EDA=∠DAB，
∵AF//RN，
∴∠FAD=∠CDA，
∴∠DAB+∠FAD=∠EDA+∠CDA，即∠1=∠4；
（2）150°
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，邻补角性质
【点评】
本题考查平行线性质与三角形内角和的综合应用，构造辅助线得到相等的角是解题的关键，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
10. 市民的环保意识越来越强，很多人租用共享单车出行. 如图12是放在水平地面上的某品牌共享单车，由此抽象出如图13所示的几何示意图，其中AB，CD都与地面$l$平行，$∠ NBC=120°$，$∠ BAC=50°$，若$AM// BC$，求$∠ MAC$的度数.
答案
10.
∵AB，CD都与地面l平行，
∴AB//CD，
∴∠NBC+∠BCD=180°，∠BAC+∠ACD=180°.
∵∠NBC=120°，∠BAC=50°，
∴∠BCD=180°−∠NBC=180°−120°=60°，∠ACD=180°−∠BAC=180°−50°=130°，
∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=130°−60°=70°.
∵AM//BC，
∴∠MAC=∠ACB=70°
∵AB，CD都与地面l平行，
∴AB//CD，
∴∠NBC+∠BCD=180°，∠BAC+∠ACD=180°.
∵∠NBC=120°，∠BAC=50°，
∴∠BCD=180°−∠NBC=180°−120°=60°，∠ACD=180°−∠BAC=180°−50°=130°，
∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=130°−60°=70°.
∵AM//BC，
∴∠MAC=∠ACB=70°
解析
【分析】
解题时首先根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，由AB、CD都平行于地面l推出AB//CD；再利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别求出∠BCD和∠ACD的度数，通过角的和差关系算出∠ACB的度数；最后根据AM//BC，利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠MAC的度数。
【解析】
∵AB，CD都与地面l平行，
∴AB//CD，
∴∠NBC+∠BCD=180°，∠BAC+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠NBC=120°，∠BAC=50°，
∴∠BCD=180°−∠NBC=180°−120°=60°，∠ACD=180°−∠BAC=180°−50°=130°，
∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=130°−60°=70°。
∵AM//BC，
∴∠MAC=∠ACB=70°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
70°
【知识点】
平行线的传递性；平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题结合共享单车的生活场景考查平行线性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，准确识别图形中角的位置关系，进而计算出所求角度。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，由AB、CD都平行于地面l推出AB//CD；再利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别求出∠BCD和∠ACD的度数，通过角的和差关系算出∠ACB的度数；最后根据AM//BC，利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠MAC的度数。
【解析】
∵AB，CD都与地面l平行，
∴AB//CD，
∴∠NBC+∠BCD=180°，∠BAC+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠NBC=120°，∠BAC=50°，
∴∠BCD=180°−∠NBC=180°−120°=60°，∠ACD=180°−∠BAC=180°−50°=130°，
∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=130°−60°=70°。
∵AM//BC，
∴∠MAC=∠ACB=70°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
70°
【知识点】
平行线的传递性；平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题结合共享单车的生活场景考查平行线性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，准确识别图形中角的位置关系，进而计算出所求角度。
【难度系数】
0.7
