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13. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”。
（1）点A(-3，2)的“短距”为
（2）若点B(3a－1，5)是“完美点”，求a的值。
（3）若点C(9－2b，－5)是“完美点”，求点D(－6，2b－1)的“短距”。
（1）点A(-3，2)的“短距”为
2
。（2）若点B(3a－1，5)是“完美点”，求a的值。
（3）若点C(9－2b，－5)是“完美点”，求点D(－6，2b－1)的“短距”。
答案
13.（1）2
（2）
∵点$B(3a-1, 5)$是“完美点”，$\therefore |3a-1|=5$，$\therefore 3a-1=5$或$3a-1=-5$，解得$a=2$或$a=-\dfrac{4}{3}$
（3）由题意，得$|9-2b|=5$，$\therefore 9-2b=5$或$9-2b=-5$，解得$b=2$或$b=7$. 当$b=2$时，点$D(-6, 3)$. $\because |-6|=6$，$6＞3$，$\therefore$“短距”为3. 当$b=7$时，点$D(-6, 13)$. $\because |-6|=6$，$13＞6$，$\therefore$“短距”为6. 综上所述，点$D(-6, 2b-1)$的“短距”为3或6
（2）
∵点$B(3a-1, 5)$是“完美点”，$\therefore |3a-1|=5$，$\therefore 3a-1=5$或$3a-1=-5$，解得$a=2$或$a=-\dfrac{4}{3}$
（3）由题意，得$|9-2b|=5$，$\therefore 9-2b=5$或$9-2b=-5$，解得$b=2$或$b=7$. 当$b=2$时，点$D(-6, 3)$. $\because |-6|=6$，$6＞3$，$\therefore$“短距”为3. 当$b=7$时，点$D(-6, 13)$. $\because |-6|=6$，$13＞6$，$\therefore$“短距”为6. 综上所述，点$D(-6, 2b-1)$的“短距”为3或6
解析
【分析】
首先明确题中的两个新定义：①“短距”是点到x轴、y轴距离的较小值，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值；②“完美点”是到x轴、y轴距离相等的点，即横、纵坐标的绝对值相等。
（1）求点A的短距，先分别算出点A到x轴、y轴的距离，再取较小值即可。
（2）点B是完美点，根据完美点的定义列绝对值方程，解方程求出a的值。
（3）先根据点C是完美点列绝对值方程求出b的取值，再将b的值代入点D的坐标，分别计算不同情况下点D的短距即可。
【解析】
（1）点A(-3,2)到x轴的距离为$|2|=2$，到y轴的距离为$|-3|=3$，较小值为2，故短距为2。
（2）
∵点$B(3a－1，5)$是“完美点”，
∴点B到x轴、y轴的距离相等，即$|3a-1|=|5|=5$，
∴$3a-1=5$或$3a-1=-5$，
当$3a-1=5$时，$3a=6$，解得$a=2$；
当$3a-1=-5$时，$3a=-4$，解得$a=-\dfrac{4}{3}$。
（3）
∵点$C(9－2b，－5)$是“完美点”，
∴$|9-2b|=|-5|=5$，
∴$9-2b=5$或$9-2b=-5$，
当$9-2b=5$时，$2b=4$，解得$b=2$，此时点D坐标为$(-6,2×2-1)=(-6,3)$，点D到x轴距离为$|3|=3$，到y轴距离为$|-6|=6$，较小值为3，即短距为3；
当$9-2b=-5$时，$2b=14$，解得$b=7$，此时点D坐标为$(-6,2×7-1)=(-6,13)$，点D到x轴距离为$|13|=13$，到y轴距离为$|-6|=6$，较小值为6，即短距为6。
综上所述，点D的“短距”为3或6。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；（2）$\boldsymbol{a=2}$或$\boldsymbol{a=-\dfrac{4}{3}}$；（3）$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
点到坐标轴的距离，绝对值方程求解，新定义理解
【点评】
本题结合自定义概念考查平面直角坐标系中点的坐标特征，解题核心是准确理解新定义，将陌生的新定义问题转化为已学的绝对值方程求解，注意解绝对值方程时要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先明确题中的两个新定义：①“短距”是点到x轴、y轴距离的较小值，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值；②“完美点”是到x轴、y轴距离相等的点，即横、纵坐标的绝对值相等。
（1）求点A的短距，先分别算出点A到x轴、y轴的距离，再取较小值即可。
（2）点B是完美点，根据完美点的定义列绝对值方程，解方程求出a的值。
（3）先根据点C是完美点列绝对值方程求出b的取值，再将b的值代入点D的坐标，分别计算不同情况下点D的短距即可。
【解析】
（1）点A(-3,2)到x轴的距离为$|2|=2$，到y轴的距离为$|-3|=3$，较小值为2，故短距为2。
（2）
∵点$B(3a－1，5)$是“完美点”，
∴点B到x轴、y轴的距离相等，即$|3a-1|=|5|=5$，
∴$3a-1=5$或$3a-1=-5$，
当$3a-1=5$时，$3a=6$，解得$a=2$；
当$3a-1=-5$时，$3a=-4$，解得$a=-\dfrac{4}{3}$。
（3）
∵点$C(9－2b，－5)$是“完美点”，
∴$|9-2b|=|-5|=5$，
∴$9-2b=5$或$9-2b=-5$，
当$9-2b=5$时，$2b=4$，解得$b=2$，此时点D坐标为$(-6,2×2-1)=(-6,3)$，点D到x轴距离为$|3|=3$，到y轴距离为$|-6|=6$，较小值为3，即短距为3；
当$9-2b=-5$时，$2b=14$，解得$b=7$，此时点D坐标为$(-6,2×7-1)=(-6,13)$，点D到x轴距离为$|13|=13$，到y轴距离为$|-6|=6$，较小值为6，即短距为6。
综上所述，点D的“短距”为3或6。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；（2）$\boldsymbol{a=2}$或$\boldsymbol{a=-\dfrac{4}{3}}$；（3）$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
点到坐标轴的距离，绝对值方程求解，新定义理解
【点评】
本题结合自定义概念考查平面直角坐标系中点的坐标特征，解题核心是准确理解新定义，将陌生的新定义问题转化为已学的绝对值方程求解，注意解绝对值方程时要分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
14. 五子棋和象棋、围棋一样，深受大家的喜爱. 五子棋的规则是：在棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向（横向、竖向或斜线方向）上先连成五子者为胜. 如图5是两个五子棋爱好者甲和乙的部分对弈图（甲执黑子先行，乙执白子后走），观察棋盘，以点O为原点，建立平面直角坐标系，若点A的位置记作（8，4），则甲必须将棋子落在哪个位置上，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？
答案
14. 甲必须在（1，7）或（5，3）处落子. 因为白棋已经有三个在一条直线上，若甲不首先截断以上两处之一，而让乙在（1，7）或（5，3）处落子，则不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑
解析
【分析】
解题时首先要明确平面直角坐标系中坐标的表示规则：横坐标对应x轴（水平轴）的数值，纵坐标对应y轴（竖直轴）的数值。首先观察乙的白棋位置，找到已经在同一直线上的白子，判断其延伸方向的空缺位置：若白子已有3个连成一线，其两端的延伸点就是乙下一步凑成四子连珠的关键位置，甲必须优先抢占这两个位置之一，否则乙下一步形成两端无阻挡的四子连珠后就会必胜。
【解析】
1. 先确定现有白棋的坐标：观察棋盘可得白棋$(2,6)$、$(3,5)$、$(4,4)$三个点在同一条斜线上，已经连成三子。
2. 推导该直线的延伸空缺位置：这条斜线上的点满足横坐标与纵坐标的和为8，向两端延伸后，空缺的关键位置为$(1,7)$（横坐标减1，纵坐标加1）和$(5,3)$（横坐标加1，纵坐标减1）。
3. 分析落子必要性：如果甲不先抢占这两个位置中的任意一个，乙只要在其中一个位置落子，就能形成两端无阻挡的四子相连，下一步即可连成五子获胜。
【答案】
甲必须在（1，7）或（5，3）处落子。因为白棋已经有三个在一条直线上，若甲不首先截断以上两处之一，而让乙在（1，7）或（5，3）处落子，则不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑。
【知识点】
坐标表示点的位置；直线上点的坐标特征；坐标的实际应用
【点评】
本题结合五子棋的生活场景考查坐标的相关应用，需要结合游戏规则观察共线的点，再推导关键落子位置，兼具趣味性和实践性，能很好地锻炼观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确平面直角坐标系中坐标的表示规则：横坐标对应x轴（水平轴）的数值，纵坐标对应y轴（竖直轴）的数值。首先观察乙的白棋位置，找到已经在同一直线上的白子，判断其延伸方向的空缺位置：若白子已有3个连成一线，其两端的延伸点就是乙下一步凑成四子连珠的关键位置，甲必须优先抢占这两个位置之一，否则乙下一步形成两端无阻挡的四子连珠后就会必胜。
【解析】
1. 先确定现有白棋的坐标：观察棋盘可得白棋$(2,6)$、$(3,5)$、$(4,4)$三个点在同一条斜线上，已经连成三子。
2. 推导该直线的延伸空缺位置：这条斜线上的点满足横坐标与纵坐标的和为8，向两端延伸后，空缺的关键位置为$(1,7)$（横坐标减1，纵坐标加1）和$(5,3)$（横坐标加1，纵坐标减1）。
3. 分析落子必要性：如果甲不先抢占这两个位置中的任意一个，乙只要在其中一个位置落子，就能形成两端无阻挡的四子相连，下一步即可连成五子获胜。
【答案】
甲必须在（1，7）或（5，3）处落子。因为白棋已经有三个在一条直线上，若甲不首先截断以上两处之一，而让乙在（1，7）或（5，3）处落子，则不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑。
【知识点】
坐标表示点的位置；直线上点的坐标特征；坐标的实际应用
【点评】
本题结合五子棋的生活场景考查坐标的相关应用，需要结合游戏规则观察共线的点，再推导关键落子位置，兼具趣味性和实践性，能很好地锻炼观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
