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6.（1）如图3，由∠A=∠1，可以判定
（2）由∠2=∠E，可以判定
（3）由∠C+∠DBC=180°，可以判定
AD
//BE
，依据是同位角相等，两直线平行
。（2）由∠2=∠E，可以判定
BD
//CE
，依据是内错角相等，两直线平行
。（3）由∠C+∠DBC=180°，可以判定
BD
//CE
，依据是同旁内角互补，两直线平行
。答案
6. (1) AD BE 同位角相等，两直线平行
(2) BD CE 内错角相等，两直线平行
(3) BD CE 同旁内角互补，两直线平行
(2) BD CE 内错角相等，两直线平行
(3) BD CE 同旁内角互补，两直线平行
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握平行线的判定定理，同时会识别“三线八角”中不同位置的角：首先看给出的两个角是由哪条直线作为截线，截另外两条直线形成的，再判断角的类型（同位角/内错角/同旁内角），最后对应判定定理就能得出平行的两条直线。
【解析】
（1）观察∠A和∠1的位置：两个角都在截线AC的同侧，且分别在被截线AD、BE的同一侧，属于同位角。已知∠A=∠1，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定AD//BE。
（2）观察∠2和∠E的位置：两个角在截线BE的两侧，且夹在被截线BD、CE之间，属于内错角。已知∠2=∠E，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定BD//CE。
（3）观察∠C和∠DBC的位置：两个角在截线AC的同侧，且夹在被截线BD、CE之间，属于同旁内角。已知∠C+∠DBC=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定BD//CE。
【答案】
(1) AD BE 同位角相等，两直线平行
(2) BD CE 内错角相等，两直线平行
(3) BD CE 同旁内角互补，两直线平行
【知识点】
平行线的判定，三线八角识别
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，解题关键是准确识别不同位置关系的角，再对应判定定理即可求解，熟练掌握相关概念和定理就能快速作答。
【难度系数】
0.85
解决这道题的核心是掌握平行线的判定定理，同时会识别“三线八角”中不同位置的角：首先看给出的两个角是由哪条直线作为截线，截另外两条直线形成的，再判断角的类型（同位角/内错角/同旁内角），最后对应判定定理就能得出平行的两条直线。
【解析】
（1）观察∠A和∠1的位置：两个角都在截线AC的同侧，且分别在被截线AD、BE的同一侧，属于同位角。已知∠A=∠1，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定AD//BE。
（2）观察∠2和∠E的位置：两个角在截线BE的两侧，且夹在被截线BD、CE之间，属于内错角。已知∠2=∠E，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定BD//CE。
（3）观察∠C和∠DBC的位置：两个角在截线AC的同侧，且夹在被截线BD、CE之间，属于同旁内角。已知∠C+∠DBC=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定BD//CE。
【答案】
(1) AD BE 同位角相等，两直线平行
(2) BD CE 内错角相等，两直线平行
(3) BD CE 同旁内角互补，两直线平行
【知识点】
平行线的判定，三线八角识别
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，解题关键是准确识别不同位置关系的角，再对应判定定理即可求解，熟练掌握相关概念和定理就能快速作答。
【难度系数】
0.85
7.【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图4中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系.
（1）如图4，AB//CD，M是AB，CD之间的一点，连接BM，DM.若∠M＝100°，求∠B＋∠D的度数.
【灵活运用】（2）如图5，AB//CD，M，N是AB，CD之间的两点，当∠B－∠C＝$\frac{1}{3}$∠BMN时，请找出∠BMN和∠MNC之间的数量关系，并说明理由.
【拓展延伸】（3）如图6，AB//CD，E，F，G均是AB，CD之间的点，如果∠E＋∠F＝2∠G＝70°，直接写出∠B＋∠D的度数.
（1）如图4，AB//CD，M是AB，CD之间的一点，连接BM，DM.若∠M＝100°，求∠B＋∠D的度数.
【灵活运用】（2）如图5，AB//CD，M，N是AB，CD之间的两点，当∠B－∠C＝$\frac{1}{3}$∠BMN时，请找出∠BMN和∠MNC之间的数量关系，并说明理由.
【拓展延伸】（3）如图6，AB//CD，E，F，G均是AB，CD之间的点，如果∠E＋∠F＝2∠G＝70°，直接写出∠B＋∠D的度数.
答案
7. (1) $100°$
(2) $∠ MNC = \frac{2}{3}∠ BMN$. 理由如下：过点M作$MF// AB$，如答图13所示. $\because AB// CD$，$MF// AB$，$\therefore MF// CD$，$\therefore ∠ B = ∠ 1$. 由(1)得$∠ C + ∠ 2 = ∠ MNC$，$\therefore ∠ C = ∠ MNC - ∠ 2$，$\therefore ∠ B - ∠ C = ∠ 1 - (∠ MNC - ∠ 2) = ∠ 1 + ∠ 2 - ∠ MNC$. $\because ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ BMN$，$\therefore ∠ B - ∠ C = ∠ BMN - ∠ MNC$. 又$\because ∠ B - ∠ C = \frac{1}{3}∠ BMN$，$\therefore ∠ BMN - ∠ MNC = \frac{1}{3}∠ BMN$，$\therefore ∠ MNC = \frac{2}{3}∠ BMN$
(3) $∠ B + ∠ D = 35°$. 理由如下：过点G作$GH// AB$，如答图14所示. $\because ∠ E + ∠ F = 2∠ EGF = 70°$，$\therefore ∠ E + ∠ F = 70°$，$∠ EGF = 35°$，$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ EGF = 35°$. $\because AB// CD$，$GH// AB$，$\therefore AB// GH// CD$. 由(1)得$∠ E = ∠ B + ∠ 1$，$∠ F = ∠ D + ∠ 2$，$\therefore ∠ E + ∠ F = ∠ B + ∠ 1 + ∠ D + ∠ 2$，$\therefore 70° = ∠ B + ∠ D + 35°$，$\therefore ∠ B + ∠ D = 35°$
解析
【分析】
本题是平行线中“猪蹄模型”的应用类问题，解题核心方法是过拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的内错角相等转化角的关系：
（1）过点M作AB的平行线，将∠BMD拆分为两个分别与∠B、∠D相等的角，即可求出∠B+∠D的度数；
（2）过点M作AB的平行线，结合第一问的猪蹄模型结论，将∠B、∠C分别用含∠BMN、∠MNC的式子表示，再代入已知的∠B-∠C与∠BMN的等量关系，整理即可得到两个角的数量关系；
（3）过G作AB的平行线，结合猪蹄模型结论将∠E、∠F分别用∠B、∠D和∠EGF拆分的两个角表示，代入已知的角度和的关系，即可求出∠B+∠D的度数。
【解析】
（1）过点M作ME//AB，
∵AB//CD，ME//AB，
∴ME//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠B=∠BME，∠D=∠DME（两直线平行，内错角相等），
∴∠B+∠D=∠BME+∠DME=∠BMD=100°。
（2）∠MNC = $\frac{2}{3}∠BMN$，理由如下：
过点M作$MF// AB$，如答图13所示。
$\because AB// CD$，$MF// AB$，
$\therefore MF// CD$，
$\therefore ∠ B = ∠ 1$。
由(1)得$∠ C + ∠ 2 = ∠ MNC$，$\therefore ∠ C = ∠ MNC - ∠ 2$，
$\therefore ∠ B - ∠ C = ∠ 1 - (∠ MNC - ∠ 2) = ∠ 1 + ∠ 2 - ∠ MNC$。
$\because ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ BMN$，
$\therefore ∠ B - ∠ C = ∠ BMN - ∠ MNC$。
又$\because ∠ B - ∠ C = \frac{1}{3}∠ BMN$，
$\therefore ∠ BMN - ∠ MNC = \frac{1}{3}∠ BMN$，
$\therefore ∠ MNC = \frac{2}{3}∠ BMN$
（3）$∠ B + ∠ D = 35°$，理由如下：
过点G作$GH// AB$，如答图14所示。
$\because ∠ E + ∠ F = 2∠ EGF = 70°$，
$\therefore ∠ E + ∠ F = 70°$，$∠ EGF = 35°$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ EGF = 35°$。
$\because AB// CD$，$GH// AB$，
$\therefore AB// GH// CD$。
由(1)得$∠ E = ∠ B + ∠ 1$，$∠ F = ∠ D + ∠ 2$，
$\therefore ∠ E + ∠ F = ∠ B + ∠ 1 + ∠ D + ∠ 2$，
$\therefore 70° = ∠ B + ∠ D + 35°$，
$\therefore ∠ B + ∠ D = 35°$
【答案】
(1) $100°$
(2) $∠ MNC = \frac{2}{3}∠ BMN$
(3) $35°$
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度和差计算
【点评】
本题围绕平行线的“猪蹄模型”设置问题，由基础到拓展逐步递进，重点考查辅助线的构造能力和平行线性质的灵活运用，掌握过拐点作平行线转化角的关系是解决此类问题的核心技巧。
【难度系数】
0.6
本题是平行线中“猪蹄模型”的应用类问题，解题核心方法是过拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的内错角相等转化角的关系：
（1）过点M作AB的平行线，将∠BMD拆分为两个分别与∠B、∠D相等的角，即可求出∠B+∠D的度数；
（2）过点M作AB的平行线，结合第一问的猪蹄模型结论，将∠B、∠C分别用含∠BMN、∠MNC的式子表示，再代入已知的∠B-∠C与∠BMN的等量关系，整理即可得到两个角的数量关系；
（3）过G作AB的平行线，结合猪蹄模型结论将∠E、∠F分别用∠B、∠D和∠EGF拆分的两个角表示，代入已知的角度和的关系，即可求出∠B+∠D的度数。
【解析】
（1）过点M作ME//AB，
∵AB//CD，ME//AB，
∴ME//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠B=∠BME，∠D=∠DME（两直线平行，内错角相等），
∴∠B+∠D=∠BME+∠DME=∠BMD=100°。
（2）∠MNC = $\frac{2}{3}∠BMN$，理由如下：
过点M作$MF// AB$，如答图13所示。
$\because AB// CD$，$MF// AB$，
$\therefore MF// CD$，
$\therefore ∠ B = ∠ 1$。
由(1)得$∠ C + ∠ 2 = ∠ MNC$，$\therefore ∠ C = ∠ MNC - ∠ 2$，
$\therefore ∠ B - ∠ C = ∠ 1 - (∠ MNC - ∠ 2) = ∠ 1 + ∠ 2 - ∠ MNC$。
$\because ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ BMN$，
$\therefore ∠ B - ∠ C = ∠ BMN - ∠ MNC$。
又$\because ∠ B - ∠ C = \frac{1}{3}∠ BMN$，
$\therefore ∠ BMN - ∠ MNC = \frac{1}{3}∠ BMN$，
$\therefore ∠ MNC = \frac{2}{3}∠ BMN$
（3）$∠ B + ∠ D = 35°$，理由如下：
过点G作$GH// AB$，如答图14所示。
$\because ∠ E + ∠ F = 2∠ EGF = 70°$，
$\therefore ∠ E + ∠ F = 70°$，$∠ EGF = 35°$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ EGF = 35°$。
$\because AB// CD$，$GH// AB$，
$\therefore AB// GH// CD$。
由(1)得$∠ E = ∠ B + ∠ 1$，$∠ F = ∠ D + ∠ 2$，
$\therefore ∠ E + ∠ F = ∠ B + ∠ 1 + ∠ D + ∠ 2$，
$\therefore 70° = ∠ B + ∠ D + 35°$，
$\therefore ∠ B + ∠ D = 35°$
【答案】
(1) $100°$
(2) $∠ MNC = \frac{2}{3}∠ BMN$
(3) $35°$
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度和差计算
【点评】
本题围绕平行线的“猪蹄模型”设置问题，由基础到拓展逐步递进，重点考查辅助线的构造能力和平行线性质的灵活运用，掌握过拐点作平行线转化角的关系是解决此类问题的核心技巧。
【难度系数】
0.6
