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5. 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC与∠BCD的外角平分线交于点P，则∠P=（）
A.$180°-\dfrac{1}{2}α$
B.$180°+\dfrac{1}{2}α$
C.$\dfrac{1}{2}α$
D.$360°-α$
A.$180°-\dfrac{1}{2}α$
B.$180°+\dfrac{1}{2}α$
C.$\dfrac{1}{2}α$
D.$360°-α$
答案
A
解析
根据四边形内角和为$360°$，可得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ BCD + ∠ D = 360°$，已知$∠ A+∠ D=α$，因此$∠ ABC + ∠ BCD = 360° - α$。
$∠ ABC$的外角为$180°-∠ ABC$，$∠ BCD$的外角为$180°-∠ BCD$，两个外角的和为：
$(180°-∠ ABC)+(180°-∠ BCD)=360°-(∠ ABC+∠ BCD)=α$。
因为$BP$、$CP$分别是两个外角的角平分线，所以$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}α$。
在$△ PBC$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ P = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - \frac{1}{2}α$。
$∠ A + ∠ ABC + ∠ BCD + ∠ D = 360°$，已知$∠ A+∠ D=α$，因此$∠ ABC + ∠ BCD = 360° - α$。
$∠ ABC$的外角为$180°-∠ ABC$，$∠ BCD$的外角为$180°-∠ BCD$，两个外角的和为：
$(180°-∠ ABC)+(180°-∠ BCD)=360°-(∠ ABC+∠ BCD)=α$。
因为$BP$、$CP$分别是两个外角的角平分线，所以$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}α$。
在$△ PBC$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ P = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - \frac{1}{2}α$。
6.如图，在$□ ABCD$中，E为边CD上的一个点，将$△ ADE$沿AE折叠至$△ AD'E$处，$AD'$与CE交于点F。若$∠ B=50°$，$∠ DAE=20°$，则$∠ FED'$的度数是（）
A.$40°$
B.$35°$
C.$30°$
D.$50°$
A.$40°$
B.$35°$
C.$30°$
D.$50°$
答案
A
解析
1. 由平行四边形性质，对角相等得：$∠ D = ∠ B = 50°$。
2. 根据折叠的性质，$△ AD'E ≌ △ ADE$，因此$∠ D' = ∠ D = 50°$，$∠ D'AE = ∠ DAE = 20°$，$∠ AED' = ∠ AED$。
3. 在$△ ADE$中，由三角形内角和：$∠ AED = 180° - ∠ DAE - ∠ D = 180° - 20° - 50° = 110°$，即$∠ AED' = 110°$。
4. 因为C、E、D共线，所以$∠ AEC = 180° - ∠ AED = 180° - 110° = 70°$。
5. 最终得$∠ FED' = ∠ AED' - ∠ AEC = 110° - 70° = 40°$。
2. 根据折叠的性质，$△ AD'E ≌ △ ADE$，因此$∠ D' = ∠ D = 50°$，$∠ D'AE = ∠ DAE = 20°$，$∠ AED' = ∠ AED$。
3. 在$△ ADE$中，由三角形内角和：$∠ AED = 180° - ∠ DAE - ∠ D = 180° - 20° - 50° = 110°$，即$∠ AED' = 110°$。
4. 因为C、E、D共线，所以$∠ AEC = 180° - ∠ AED = 180° - 110° = 70°$。
5. 最终得$∠ FED' = ∠ AED' - ∠ AEC = 110° - 70° = 40°$。
7.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,且AD⊥BD,E为AC的中点。若AD=6,BD=8,BC=16,则DE的长为 ()
A.6
B.3
C.1.5
D.5
A.6
B.3
C.1.5
D.5
答案
B
解析
延长AD交BC于点F，
1. 因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠FBD，又AD⊥BD，故∠ADB=∠FDB=90°，且BD为公共边，可得△ABD≌△FBD（ASA）。
2. 由全等得AD=DF=6，AB=BF，在Rt△ABD中，AB=√(AD²+BD²)=√(6²+8²)=10，因此BF=10。
3. 计算FC=BC-BF=16-10=6。
4. 已知E为AC中点，D为AF中点，因此DE是△AFC的中位线，根据三角形中位线定理，DE=1/2 FC=1/2×6=3。
1. 因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠FBD，又AD⊥BD，故∠ADB=∠FDB=90°，且BD为公共边，可得△ABD≌△FBD（ASA）。
2. 由全等得AD=DF=6，AB=BF，在Rt△ABD中，AB=√(AD²+BD²)=√(6²+8²)=10，因此BF=10。
3. 计算FC=BC-BF=16-10=6。
4. 已知E为AC中点，D为AF中点，因此DE是△AFC的中位线，根据三角形中位线定理，DE=1/2 FC=1/2×6=3。
8.如图,在四边形ABCD中,M是AD上一动点,N是CD上一定点,连接BM,MN,E,F分别是BM,NM的中点。当点M从点A向点D移动时,关于线段EF的长度,下列结论一定正确的是 ()
A.逐渐减小
B.逐渐增大
C.不改变
D.不能确定
A.逐渐减小
B.逐渐增大
C.不改变
D.不能确定
答案
C
解析
连接BN，根据三角形中位线定理，E、F分别是BM、NM的中点，因此EF是△BMN的中位线，可得EF = 1/2 BN。因为B、N均为定点，线段BN的长度是固定值，所以点M移动过程中，EF的长度始终等于BN长度的一半，保持不变。
9.如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$F$，过点$F$作$DE // BC$交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$。若$S_{△ BDF}=9$，$S_{△ CEF}=6$，$BD=6$，则$DE$的长为（）
A.4
B.6
C.8
D.10
A.4
B.6
C.8
D.10
答案
D
解析
1. 由角平分线定义和平行线性质推导等腰三角形：
BF平分∠ABC，得∠DBF=∠CBF；又DE//BC，得∠DFB=∠CBF，因此∠DBF=∠DFB，故DF=BD=6。
2. 计算点F到AB的距离：
过F作FM⊥AB于M，由$S_{△ BDF}=\frac{1}{2}· BD· FM=9$，代入BD=6，解得FM=3。
3. 利用角平分线性质得F到AC的距离：
F是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，根据角平分线上的点到角两边距离相等，得F到AC的垂线段长度FN=FM=3。
4. 同理推导△CEF为等腰三角形：
CF平分∠ACB，DE//BC，可证∠ECF=∠EFC，故EF=CE。
5. 计算EF长度：
由$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}· CE· FN=6$，代入FN=3，解得CE=4，即EF=4。
6. 最终得DE=DF+EF=6+4=10。
BF平分∠ABC，得∠DBF=∠CBF；又DE//BC，得∠DFB=∠CBF，因此∠DBF=∠DFB，故DF=BD=6。
2. 计算点F到AB的距离：
过F作FM⊥AB于M，由$S_{△ BDF}=\frac{1}{2}· BD· FM=9$，代入BD=6，解得FM=3。
3. 利用角平分线性质得F到AC的距离：
F是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，根据角平分线上的点到角两边距离相等，得F到AC的垂线段长度FN=FM=3。
4. 同理推导△CEF为等腰三角形：
CF平分∠ACB，DE//BC，可证∠ECF=∠EFC，故EF=CE。
5. 计算EF长度：
由$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}· CE· FN=6$，代入FN=3，解得CE=4，即EF=4。
6. 最终得DE=DF+EF=6+4=10。
10. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$E$ 是 $BC$ 的中点，且 $∠ BCD=120°$，$AB=\dfrac{1}{2}BC$，连接 $OE$。给出下列4个结论：①$△ ABE$ 是等边三角形；②$∠ EAC=30°$；③$OE=\dfrac{1}{4}BC$；④若 $AB=3$，则 $S_{△ AEO}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$。上述结论错误的有 （）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
1. 由平行四边形$ABCD$的性质：$AB// CD$，得$∠ ABC=180°-∠ BCD=60°$。
因$E$是$BC$中点，$AB=\dfrac{1}{2}BC$，故$AB=BE$，结合$∠ ABC=60°$，可判定$△ ABE$是等边三角形，①正确。
2. 由$△ ABE$是等边三角形得$AE=BE$，又$BE=EC$，故$AE=EC$，$△ AEC$为等腰三角形。
$∠ AEC=180°-∠ AEB=120°$，因此$∠ EAC=\dfrac{180°-120°}{2}=30°$，②正确。
3. 平行四边形对角线互相平分，$O$是$AC$中点，$E$是$BC$中点，故$OE$是$△ ABC$的中位线，$OE=\dfrac{1}{2}AB$。
结合$AB=\dfrac{1}{2}BC$，得$OE=\dfrac{1}{4}BC$，③正确。
4. 若$AB=3$，则$BC=6$，$∠ BAC=∠ BAE+∠ EAC=90°$，由勾股定理得$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=3\sqrt{3}$。
由$OE// AB$得$OE⊥ AC$，$AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$，$OE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3}{2}$，计算得$S_{△ AEO}=\dfrac{1}{2}· AO· OE=\dfrac{9\sqrt{3}}{8}≠\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$，④错误。
综上，错误的结论共1个。
因$E$是$BC$中点，$AB=\dfrac{1}{2}BC$，故$AB=BE$，结合$∠ ABC=60°$，可判定$△ ABE$是等边三角形，①正确。
2. 由$△ ABE$是等边三角形得$AE=BE$，又$BE=EC$，故$AE=EC$，$△ AEC$为等腰三角形。
$∠ AEC=180°-∠ AEB=120°$，因此$∠ EAC=\dfrac{180°-120°}{2}=30°$，②正确。
3. 平行四边形对角线互相平分，$O$是$AC$中点，$E$是$BC$中点，故$OE$是$△ ABC$的中位线，$OE=\dfrac{1}{2}AB$。
结合$AB=\dfrac{1}{2}BC$，得$OE=\dfrac{1}{4}BC$，③正确。
4. 若$AB=3$，则$BC=6$，$∠ BAC=∠ BAE+∠ EAC=90°$，由勾股定理得$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=3\sqrt{3}$。
由$OE// AB$得$OE⊥ AC$，$AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$，$OE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3}{2}$，计算得$S_{△ AEO}=\dfrac{1}{2}· AO· OE=\dfrac{9\sqrt{3}}{8}≠\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$，④错误。
综上，错误的结论共1个。
