11.如果一个多边形的每个外角都等于$60°$,那么这个多边形的边数是。

$\boldsymbol{6}$

解：
∵ 任意多边形的外角和都为$360°$，该多边形每个外角都等于$60°$，
∴ 这个多边形的边数为 $ 360° ÷ 60° = 6 $。

12. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD。若∠ABC=55°，则∠BCD的度数为。

$\boldsymbol{125°}$

解：
∵ OA=OC，OB=OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴ AB//CD，
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°，
又∵ ∠ABC=55°，
∴ ∠BCD=180°-55°=125°。

13. 如图，$□ ABCD$ 的对角线相交于坐标原点O。若点B的坐标为$(4,m)$，点D的坐标为$(n,2)$，则$m+n$的值为。

$\boldsymbol{-6}$

解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于坐标原点O，
∴ 点B与点D关于原点中心对称。
根据关于原点对称的点的坐标性质，横、纵坐标均互为相反数，可得：
$n = -4$，$m = -2$，
∴ $m + n = -2 + (-4) = -6$。

14. 如图，在$□ ABCD$中，$BF ⊥ AD$于点$F$，$BE ⊥ CD$于点$E$。若$∠ A = 60°$，$AF = 3\ \mathrm{cm}$，$CE = 2\ \mathrm{cm}$，则$□ ABCD$的周长为$\mathrm{cm}$。

$\boldsymbol{20}$

解：
∵ $BF ⊥ AD$，
∴ $∠ AFB = 90°$，
∵ $∠ A = 60°$，
∴ $∠ ABF = 30°$，
∴ $AB = 2AF = 2 × 3 = 6\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$∠ C = ∠ A = 60°$，$AD = BC$。
∵ $BE ⊥ CD$，
∴ $∠ CEB = 90°$，
∴ $∠ CBE = 30°$，
∴ $BC = 2CE = 2 × 2 = 4\ \mathrm{cm}$。
∴ $□ ABCD$的周长为 $2×(AB+BC) = 2×(6+4) = 20\ \mathrm{cm}$。
最终

15. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别在$AD$，$AB$上，依次连接$EB$，$EC$，$FC$，$FD$，图中阴影部分的面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$。若$S_1=2$，$S_2=5$，$S_3=3$，则$S_4=$。

解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $S_{△ EBC} = \frac{1}{2}S_{□ ABCD}$，$S_{△ FDC} = \frac{1}{2}S_{□ ABCD}$，
∴ $S_{△ EBC} + S_{△ FDC} = S_{□ ABCD}$。
由图形面积关系可知：
$S_{△ EBC} + S_{△ FDC} = S_{□ ABCD} - (S_1 + S_2 + S_3) + S_4$，
代入得：$S_{□ ABCD} = S_{□ ABCD} - (S_1 + S_2 + S_3) + S_4$，
化简得 $S_4 = S_1 + S_2 + S_3$。
将$S_1=2$，$S_2=5$，$S_3=3$代入，得$S_4=2+5+3=10$。
$\boxed{10}$