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7 商店出售下列形状的地砖:①长方形;②正方形;③正五边形;④正六边形.若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面,可供选择的地砖是 （
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③
C
）A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③
答案
7.C
解析
【分析】
要判断某种地砖能否单独镶嵌地面，核心依据是平面镶嵌的条件：拼接在同一个顶点处的若干个地砖的内角之和恰好等于360°（周角）。解题时首先需要分别计算四种地砖的内角度数，再判断是否存在正整数n，使得n个该内角的和为360°，满足条件的地砖即可选用。
【解析】
平面镶嵌的要求是：同一顶点处几个内角的和为360°，我们逐个分析：
1. ①长方形：内角均为90°，因为$4×90°=360°$，4个长方形可以在同一顶点处拼接完整，可镶嵌；
2. ②正方形：内角均为90°，同理$4×90°=360°$，可镶嵌；
3. ③正五边形：根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，单个内角为$540°÷5=108°$，不存在正整数n使得$n×108°=360°$，不可镶嵌；
4. ④正六边形：正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，单个内角为$720°÷6=120°$，因为$3×120°=360°$，3个正六边形可以在同一顶点处拼接完整，可镶嵌。
综上，可供选择的地砖是①②④。
【答案】
C
【知识点】
1. 平面密铺条件 2. 多边形内角和计算 3. 正多边形性质
【点评】
本题是平面密铺的基础题型，解题关键是牢记密铺的核心判定规则，熟练掌握多边形内角和的计算方法，这类题型通常结合常见多边形考察，属于易得分的基础考点。
【难度系数】
0.7
要判断某种地砖能否单独镶嵌地面，核心依据是平面镶嵌的条件：拼接在同一个顶点处的若干个地砖的内角之和恰好等于360°（周角）。解题时首先需要分别计算四种地砖的内角度数，再判断是否存在正整数n，使得n个该内角的和为360°，满足条件的地砖即可选用。
【解析】
平面镶嵌的要求是：同一顶点处几个内角的和为360°，我们逐个分析：
1. ①长方形：内角均为90°，因为$4×90°=360°$，4个长方形可以在同一顶点处拼接完整，可镶嵌；
2. ②正方形：内角均为90°，同理$4×90°=360°$，可镶嵌；
3. ③正五边形：根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，单个内角为$540°÷5=108°$，不存在正整数n使得$n×108°=360°$，不可镶嵌；
4. ④正六边形：正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，单个内角为$720°÷6=120°$，因为$3×120°=360°$，3个正六边形可以在同一顶点处拼接完整，可镶嵌。
综上，可供选择的地砖是①②④。
【答案】
C
【知识点】
1. 平面密铺条件 2. 多边形内角和计算 3. 正多边形性质
【点评】
本题是平面密铺的基础题型，解题关键是牢记密铺的核心判定规则，熟练掌握多边形内角和的计算方法，这类题型通常结合常见多边形考察，属于易得分的基础考点。
【难度系数】
0.7
8 如图,在$△ ABC$中,AE平分$∠ BAC$,D是BC的中点,$AE⊥ BE$,$AB=7$,$AC=4$,则DE的长度为 （
A.1
B.1.5
C.3
D.5
（第8题图）
（第10题图）
（第11题图）
B
）A.1
B.1.5
C.3
D.5
（第8题图）（第10题图）（第11题图）答案
8.B
解析
【分析】
遇到“角平分线+该角平分线上的垂线”的组合条件时，可通过延长垂线构造全等三角形得到等腰三角形，再结合中点条件判断中位线，利用中位线性质求解。本题先延长BE交AC的延长线于点F，先证△ABE≌△AFE得到AB=AF、E为BF中点，再结合D是BC中点，确定DE是△BCF的中位线，最后代入计算即可。
【解析】
延长BE交AC的延长线于点F。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
在△ABE和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠FAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEF\end{array} $
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴AB=AF=7，BE=EF，即E是BF的中点，
又
∵D是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}CF$，
∵$CF=AF-AC=7-4=3$，
∴$DE=\frac{1}{2}×3=1.5$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义
【点评】
本题核心考查几何辅助线的构造，关键是熟练掌握“角平分线+垂线构造等腰三角形”的常见模型，结合中位线性质即可快速解题，平时要注意积累常见几何模型的应用方法。
【难度系数】
0.6
遇到“角平分线+该角平分线上的垂线”的组合条件时，可通过延长垂线构造全等三角形得到等腰三角形，再结合中点条件判断中位线，利用中位线性质求解。本题先延长BE交AC的延长线于点F，先证△ABE≌△AFE得到AB=AF、E为BF中点，再结合D是BC中点，确定DE是△BCF的中位线，最后代入计算即可。
【解析】
延长BE交AC的延长线于点F。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
在△ABE和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠FAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEF\end{array} $
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴AB=AF=7，BE=EF，即E是BF的中点，
又
∵D是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}CF$，
∵$CF=AF-AC=7-4=3$，
∴$DE=\frac{1}{2}×3=1.5$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义
【点评】
本题核心考查几何辅助线的构造，关键是熟练掌握“角平分线+垂线构造等腰三角形”的常见模型，结合中位线性质即可快速解题，平时要注意积累常见几何模型的应用方法。
【难度系数】
0.6
9 已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是
8
.答案
9.8
解析
【分析】解题时首先回忆多边形的两个核心性质：①任意多边形的外角和恒为$360°$，与边数无关；②$n$边形的内角和计算公式为$(n-2) × 180°$。题目给出内角和是外角和的3倍，因此可建立等量关系：多边形内角和 = 3×多边形外角和，将内角和公式、外角和的固定值代入等量关系，列一元一次方程求解即可得到边数。
【解析】设这个多边形的边数为$n$。
由多边形的性质可知：任意多边形的外角和为$360°$，$n$边形的内角和为$(n-2) · 180°$。
根据题意列方程：
$\begin{aligned}(n-2) × 180° &= 3 × 360° \\n-2 &= 6 \\n &= 8\end{aligned}$
【答案】8
【知识点】多边形内角和公式；多边形外角和性质
【点评】本题是多边形相关的基础应用题，重点考查对多边形内角和、外角和基础性质的掌握，只要牢记相关公式和固定性质，结合题中倍数关系列方程即可快速求解，解题门槛较低。
【难度系数】0.8
【解析】设这个多边形的边数为$n$。
由多边形的性质可知：任意多边形的外角和为$360°$，$n$边形的内角和为$(n-2) · 180°$。
根据题意列方程：
$\begin{aligned}(n-2) × 180° &= 3 × 360° \\n-2 &= 6 \\n &= 8\end{aligned}$
【答案】8
【知识点】多边形内角和公式；多边形外角和性质
【点评】本题是多边形相关的基础应用题，重点考查对多边形内角和、外角和基础性质的掌握，只要牢记相关公式和固定性质，结合题中倍数关系列方程即可快速求解，解题门槛较低。
【难度系数】0.8
10 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=19°，则∠PFE的度数是
19°
。答案
10.$19°$
解析
【分析】
题目给出了多个边的中点条件，且已知AD=BC，要求角的度数。首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。先分别推导PE、PF与AD、BC的数量关系，再结合AD=BC得到PE=PF，即可判断△PEF为等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等的性质求出∠PFE的度数。
【解析】
解：
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理可得：$PE=\frac{1}{2}AD$。
同理，P是BD的中点，F是CD的中点，
∴PF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理可得：$PF=\frac{1}{2}BC$。
已知$AD=BC$，
∴$PE=PF$，即△PEF是等腰三角形。
根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠PFE=∠PEF=19°$。
【答案】
$19°$
【知识点】
1. 三角形中位线定理
2. 等腰三角形的性质
3. 中点的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是根据题中多个中点的条件联想到三角形中位线，通过中位线定理建立边的等量关系，再结合等腰三角形的性质求解，整体思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.8
题目给出了多个边的中点条件，且已知AD=BC，要求角的度数。首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。先分别推导PE、PF与AD、BC的数量关系，再结合AD=BC得到PE=PF，即可判断△PEF为等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等的性质求出∠PFE的度数。
【解析】
解：
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理可得：$PE=\frac{1}{2}AD$。
同理，P是BD的中点，F是CD的中点，
∴PF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理可得：$PF=\frac{1}{2}BC$。
已知$AD=BC$，
∴$PE=PF$，即△PEF是等腰三角形。
根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠PFE=∠PEF=19°$。
【答案】
$19°$
【知识点】
1. 三角形中位线定理
2. 等腰三角形的性质
3. 中点的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是根据题中多个中点的条件联想到三角形中位线，通过中位线定理建立边的等量关系，再结合等腰三角形的性质求解，整体思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.8
11 如图,点 D,E,F 分别为$△ ABC$三边的中点,若$△ DEF$的周长为 5,则$△ ABC$的周长为
10
.答案
11.10
解析
【分析】
本题可根据三角形中位线的性质求解。首先明确：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。已知点D、E、F分别是△ABC三边的中点，因此DE、EF、FD都是△ABC的中位线，分别对应△ABC的三条边，由此可建立△DEF的周长与△ABC周长的数量关系，代入已知条件即可算出结果。
【解析】
∵点D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、EF、DF均是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}BC$，
∴△DEF的周长$=DE+EF+DF=\frac{1}{2}(AC+AB+BC)=\frac{1}{2}C_{△ABC}$，
已知△DEF的周长为5，即$\frac{1}{2}C_{△ABC}=5$，
解得$C_{△ABC}=5×2=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是熟练掌握三角形中位线的性质，明确中位线与对应第三边的长度关系，即可快速推导出两个三角形周长的数量关系，进而求解。
【难度系数】
0.8
本题可根据三角形中位线的性质求解。首先明确：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。已知点D、E、F分别是△ABC三边的中点，因此DE、EF、FD都是△ABC的中位线，分别对应△ABC的三条边，由此可建立△DEF的周长与△ABC周长的数量关系，代入已知条件即可算出结果。
【解析】
∵点D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、EF、DF均是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}BC$，
∴△DEF的周长$=DE+EF+DF=\frac{1}{2}(AC+AB+BC)=\frac{1}{2}C_{△ABC}$，
已知△DEF的周长为5，即$\frac{1}{2}C_{△ABC}=5$，
解得$C_{△ABC}=5×2=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是熟练掌握三角形中位线的性质，明确中位线与对应第三边的长度关系，即可快速推导出两个三角形周长的数量关系，进而求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
12 张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题：
（1）张明的说法正确吗？请说明理由.
（2）张明得到的新多边形是几边形？
12 张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题：
（1）张明的说法正确吗？请说明理由.
（2）张明得到的新多边形是几边形？
答案
12.解:(1)张明的说法不正确.理由如下:由多边形内角和定理可知,$n$ 边形的内角和为$(n-2)· 180^{\circ }$,即任意多边形的内角和一定能被 $180^{\circ }$整除.
$\because 945^{\circ }$不能被 $180^{\circ }$,$\therefore$ 张明的说法不正确.
(2)设这个正多边形的边数为 $n$, 剪去的内角为 $x^{\circ }$. 根据题意,得$(n-2)· 180=x+945,\therefore x=180n-1\ 305.\because 0＜x＜180,\therefore 7.25＜n＜8.25.$
$\because n$ 为整数,$\therefore$ 这个正多边形为正八边形.
将正八边形剪去一个角后,得到的多边形的边数增加1或不变或减少1,则得到的多边形边数为9或8或7,即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形.解析
【分析】
（1）判断张明说法是否正确的核心依据是多边形内角和的性质：任意n边形的内角和为$(n-2)×180°$，即内角和一定是$180°$的整数倍，只需验证$945°$是否满足该性质即可得出结论。
（2）求解新多边形边数分两步：第一步先求原正多边形的边数，设原正多边形边数为n，剪去的内角为$x°$，根据“原多边形内角和=剪去的内角度数+945°”列等式，结合正多边形内角满足$0＜x＜180$列不等式，求出n的整数解；第二步考虑剪去一个角的三种情况：截线过两个顶点边数减1、过一个顶点和一条边边数不变、过两条边边数加1，即可得到新多边形的所有可能边数。
【解析】
(1) 张明的说法不正确，理由如下：
根据多边形内角和定理，任意n边形（n为不小于3的整数）的内角和为$(n-2)· 180^{\circ }$，因此所有多边形的内角和一定能被$180^{\circ }$整除。
由于$945^{\circ }÷180^{\circ }=5.25$，$945^{\circ }$不能被$180^{\circ }$整除，不符合多边形内角和的特征，因此张明的说法不正确。
(2) 设这个正多边形的边数为$n$，剪去的内角为$x^{\circ }$，其中$0＜x＜180$。
根据题意可得原正多边形内角和等于剪去的内角与新多边形内角和之和，即：
$(n-2)· 180=x+945$
整理得$x=180n-1305$
结合$0＜x＜180$，列不等式组：
$\begin{cases}180n-1305＞0 \\180n-1305＜180 \end{cases}$
解得$7.25＜n＜8.25$
因为n为正整数，所以$n=8$，即原正多边形为正八边形。
将正多边形剪去一个角时，边数变化有三种情况：①截线经过两个顶点，新多边形边数比原多边形少1；②截线经过1个顶点和1条边，新多边形边数与原多边形相等；③截线经过两条边，新多边形边数比原多边形多1。
因此正八边形剪去一个角后，新多边形的边数为$8-1=7$、$8$或$8+1=9$，即新多边形为七边形、八边形或九边形。
【答案】
(1) 张明的说法不正确。理由：由多边形内角和定理可知，$n$ 边形的内角和为$(n-2)· 180^{\circ }$，即任意多边形的内角和一定能被 $180^{\circ }$整除，$\because 945^{\circ }$不能被 $180^{\circ }$整除，$\therefore$ 张明的说法不正确。
(2) 张明得到的新多边形是九边形或八边形或七边形。
【知识点】
多边形内角和公式；多边形截角问题；不等式应用
【点评】
本题重点考查多边形内角和性质的应用，解题时要抓住“多边形内角和是$180^{\circ }$的整数倍”这一隐含条件，同时注意剪去一个角时边数变化的三种情况，避免因考虑不全面出现漏解。
【难度系数】
0.6
（1）判断张明说法是否正确的核心依据是多边形内角和的性质：任意n边形的内角和为$(n-2)×180°$，即内角和一定是$180°$的整数倍，只需验证$945°$是否满足该性质即可得出结论。
（2）求解新多边形边数分两步：第一步先求原正多边形的边数，设原正多边形边数为n，剪去的内角为$x°$，根据“原多边形内角和=剪去的内角度数+945°”列等式，结合正多边形内角满足$0＜x＜180$列不等式，求出n的整数解；第二步考虑剪去一个角的三种情况：截线过两个顶点边数减1、过一个顶点和一条边边数不变、过两条边边数加1，即可得到新多边形的所有可能边数。
【解析】
(1) 张明的说法不正确，理由如下：
根据多边形内角和定理，任意n边形（n为不小于3的整数）的内角和为$(n-2)· 180^{\circ }$，因此所有多边形的内角和一定能被$180^{\circ }$整除。
由于$945^{\circ }÷180^{\circ }=5.25$，$945^{\circ }$不能被$180^{\circ }$整除，不符合多边形内角和的特征，因此张明的说法不正确。
(2) 设这个正多边形的边数为$n$，剪去的内角为$x^{\circ }$，其中$0＜x＜180$。
根据题意可得原正多边形内角和等于剪去的内角与新多边形内角和之和，即：
$(n-2)· 180=x+945$
整理得$x=180n-1305$
结合$0＜x＜180$，列不等式组：
$\begin{cases}180n-1305＞0 \\180n-1305＜180 \end{cases}$
解得$7.25＜n＜8.25$
因为n为正整数，所以$n=8$，即原正多边形为正八边形。
将正多边形剪去一个角时，边数变化有三种情况：①截线经过两个顶点，新多边形边数比原多边形少1；②截线经过1个顶点和1条边，新多边形边数与原多边形相等；③截线经过两条边，新多边形边数比原多边形多1。
因此正八边形剪去一个角后，新多边形的边数为$8-1=7$、$8$或$8+1=9$，即新多边形为七边形、八边形或九边形。
【答案】
(1) 张明的说法不正确。理由：由多边形内角和定理可知，$n$ 边形的内角和为$(n-2)· 180^{\circ }$，即任意多边形的内角和一定能被 $180^{\circ }$整除，$\because 945^{\circ }$不能被 $180^{\circ }$整除，$\therefore$ 张明的说法不正确。
(2) 张明得到的新多边形是九边形或八边形或七边形。
【知识点】
多边形内角和公式；多边形截角问题；不等式应用
【点评】
本题重点考查多边形内角和性质的应用，解题时要抓住“多边形内角和是$180^{\circ }$的整数倍”这一隐含条件，同时注意剪去一个角时边数变化的三种情况，避免因考虑不全面出现漏解。
【难度系数】
0.6
