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13 如图,在四边形ABCD中,E,F,M分别是AB,CD,BD的中点,AD=BC,MN⊥EF,垂足为N.求证:EN=FN.
答案
13.证明:如图,连接 $MF,ME$.
$\because E,M$ 分别是 $AB,BD$ 的中点,$\therefore EM=\frac {1}{2}AD.$
同理,$FM=\frac {1}{2}BC.\because AD=BC,\therefore ME=MF.$
$\because MN⊥ EF,\therefore EN=FN.$
解析
【分析】
要证明EN=FN，已知MN⊥EF，若能证出△MEF是等腰三角形，就可根据等腰三角形“三线合一”的性质得到结论。题目给出了多个中点以及AD=BC的条件，我们可以通过连接ME、MF构造三角形中位线：ME是△ABD的中位线，MF是△BCD的中位线，利用中位线定理得到ME与AD、MF与BC的数量关系，再结合AD=BC即可证得ME=MF，进而完成证明。
【解析】
证明：如图，连接$MF,ME$.
∵E,M分别是AB,BD的中点，
∴EM是△ABD的中位线，
∴$EM=\frac{1}{2}AD$.
同理，FM是△BCD的中位线，
∴$FM=\frac{1}{2}BC$.
∵$AD=BC$，
∴$ME=MF$，即△MEF为等腰三角形.
∵$MN⊥EF$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$EN=FN$.
【答案】
13.证明:如图,连接 $MF,ME$.
$\because E,M$ 分别是 $AB,BD$ 的中点,$\therefore EM=\frac {1}{2}AD.$
同理,$FM=\frac {1}{2}BC.\because AD=BC,\therefore ME=MF.$
$\because MN⊥ EF,\therefore EN=FN.$
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形三线合一，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是合理连接辅助线构造三角形中位线，结合已知边相等的条件得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质证明线段相等，解题思路清晰，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要证明EN=FN，已知MN⊥EF，若能证出△MEF是等腰三角形，就可根据等腰三角形“三线合一”的性质得到结论。题目给出了多个中点以及AD=BC的条件，我们可以通过连接ME、MF构造三角形中位线：ME是△ABD的中位线，MF是△BCD的中位线，利用中位线定理得到ME与AD、MF与BC的数量关系，再结合AD=BC即可证得ME=MF，进而完成证明。
【解析】
证明：如图，连接$MF,ME$.
∵E,M分别是AB,BD的中点，
∴EM是△ABD的中位线，
∴$EM=\frac{1}{2}AD$.
同理，FM是△BCD的中位线，
∴$FM=\frac{1}{2}BC$.
∵$AD=BC$，
∴$ME=MF$，即△MEF为等腰三角形.
∵$MN⊥EF$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$EN=FN$.
【答案】
13.证明:如图,连接 $MF,ME$.
$\because E,M$ 分别是 $AB,BD$ 的中点,$\therefore EM=\frac {1}{2}AD.$
同理,$FM=\frac {1}{2}BC.\because AD=BC,\therefore ME=MF.$
$\because MN⊥ EF,\therefore EN=FN.$
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形三线合一，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是合理连接辅助线构造三角形中位线，结合已知边相等的条件得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质证明线段相等，解题思路清晰，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
14 已知一个正多边形的内角和比外角和的 3 倍多 $180°$，求这个正多边形的边数和每个内角的度数。
答案
14.解:设这个正多边形的边数是 $n$. 由题意,得$(n-2)· 180^{\circ }=360^{\circ }× 3+180^{\circ }$,
解得 $n=9,\therefore 180^{\circ }-360^{\circ }÷ 9=140^{\circ }$. 答:边数是 9,每个内角的度数是 $140^{\circ }$.
解得 $n=9,\therefore 180^{\circ }-360^{\circ }÷ 9=140^{\circ }$. 答:边数是 9,每个内角的度数是 $140^{\circ }$.
解析
【分析】
解题时先明确两个核心结论：任意多边形的外角和恒为$360°$，$n$边形的内角和为$(n-2)·180°$。我们可以先设正多边形的边数为$n$，根据题目给出的“内角和比外角和的3倍多$180°$”的等量关系列方程，先求出边数$n$，再通过内角和除以边数，或者利用内角与相邻外角互补的性质，计算出每个内角的度数。
【解析】
设这个正多边形的边数是$n$。
由题意列方程：
$(n-2)· 180^{\circ }=360^{\circ }× 3+180^{\circ }$
计算右侧得：$(n-2)·180°=1260°$
两边同时除以$180°$得：$n-2=7$
解得：$n=9$
正多边形每个外角的度数为$360°÷9=40°$，因此每个内角的度数为$180°-40°=140°$。
【答案】
这个正多边形的边数是9，每个内角的度数是$140°$。
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和性质
【点评】
本题是多边形性质的基础应用题，解题核心是牢记多边形外角和为固定值，结合内角和公式列方程求解即可，计算难度低，掌握基础知识点就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个核心结论：任意多边形的外角和恒为$360°$，$n$边形的内角和为$(n-2)·180°$。我们可以先设正多边形的边数为$n$，根据题目给出的“内角和比外角和的3倍多$180°$”的等量关系列方程，先求出边数$n$，再通过内角和除以边数，或者利用内角与相邻外角互补的性质，计算出每个内角的度数。
【解析】
设这个正多边形的边数是$n$。
由题意列方程：
$(n-2)· 180^{\circ }=360^{\circ }× 3+180^{\circ }$
计算右侧得：$(n-2)·180°=1260°$
两边同时除以$180°$得：$n-2=7$
解得：$n=9$
正多边形每个外角的度数为$360°÷9=40°$，因此每个内角的度数为$180°-40°=140°$。
【答案】
这个正多边形的边数是9，每个内角的度数是$140°$。
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和性质
【点评】
本题是多边形性质的基础应用题，解题核心是牢记多边形外角和为固定值，结合内角和公式列方程求解即可，计算难度低，掌握基础知识点就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
15 如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$CD ⊥ AD$，垂足为$D$，$G$是$BC$的中点。
(1)求证:$DG // AB$；
(2)若$DG=2$，$AC=5$，求$AB$的长。
(1)求证:$DG // AB$；
(2)若$DG=2$，$AC=5$，求$AB$的长。
答案
15.(1)证明:如图,延长 $CD$ 交 $AB$ 于点 $M$,$\because AD$ 平分 $∠ BAC$,
$\therefore ∠ 1=∠ 2.\because CD⊥ AD,\therefore ∠ ADM=∠ ADC=90^{\circ }$. 在 $△ ADM$ 和
$△ ADC$ 中,$\begin{cases}∠ 1=∠ 2,\\AD=AD,\\∠ ADM=∠ ADC,\end{cases}$ $\therefore △ ADM≌ △ ADC(\mathrm{ASA}),\therefore CD=DM.$ 又$\because G$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore DG$ 是 $△ CMB$ 的中位线,$\therefore DG// AB.$
(2)解:$\because DG=2$,$DG$ 是 $△ CMB$ 的中位线,$\therefore BM=2DG=4.$
由(1)知$△ ADM≌ △ ADC$,$\therefore AM=AC=5$,$\therefore AB=AM+BM=5+4=9.$
解析
【分析】
(1)要证明$DG// AB$，观察已知条件有$AD$平分$∠ BAC$、$CD⊥ AD$，这种“角平分线+垂线”的结构，可通过延长$CD$交$AB$于点$M$构造全等三角形，得到$D$是$CM$的中点；再结合$G$是$BC$中点，可知$DG$是$△ CMB$的中位线，利用中位线性质即可证得平行。
(2)求$AB$的长时，先根据三角形中位线的性质求出$BM$的长度，再结合(1)中全等三角形的结论得到$AM=AC$，将$AM$与$BM$相加即可得到$AB$的长度。
【解析】
(1)证明：延长 $CD$ 交 $AB$ 于点 $M$，
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore ∠ 1=∠ 2$，
$\because CD⊥ AD$，$\therefore ∠ ADM=∠ ADC=90^{\circ }$，
在 $△ ADM$ 和 $△ ADC$ 中：
$\begin{cases}∠ 1=∠ 2,\\AD=AD,\\∠ ADM=∠ ADC,\end{cases}$
$\therefore △ ADM≌ △ ADC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore CD=DM$，即$D$为$CM$中点，
又$\because G$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore DG$ 是 $△ CMB$ 的中位线，
$\therefore DG// AB$。
(2)解：$\because DG$是$△ CMB$的中位线，$DG=2$，
$\therefore BM=2DG=4$，
由(1)中$△ ADM≌ △ ADC$可得$AM=AC=5$，
$\therefore AB=AM+BM=5+4=9$。
【答案】
(1)$DG// AB$得证；
(2)$AB=9$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、角平分线的定义
【点评】
本题属于几何典型模型应用题，解题关键是熟练掌握“角平分线+垂线构造全等三角形”的常用辅助线做法，结合三角形中位线的性质即可完成平行证明与线段长度计算，对几何辅助线思维的培养有较好的训练作用。
【难度系数】
0.6
(1)要证明$DG// AB$，观察已知条件有$AD$平分$∠ BAC$、$CD⊥ AD$，这种“角平分线+垂线”的结构，可通过延长$CD$交$AB$于点$M$构造全等三角形，得到$D$是$CM$的中点；再结合$G$是$BC$中点，可知$DG$是$△ CMB$的中位线，利用中位线性质即可证得平行。
(2)求$AB$的长时，先根据三角形中位线的性质求出$BM$的长度，再结合(1)中全等三角形的结论得到$AM=AC$，将$AM$与$BM$相加即可得到$AB$的长度。
【解析】
(1)证明：延长 $CD$ 交 $AB$ 于点 $M$，
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore ∠ 1=∠ 2$，
$\because CD⊥ AD$，$\therefore ∠ ADM=∠ ADC=90^{\circ }$，
在 $△ ADM$ 和 $△ ADC$ 中：
$\begin{cases}∠ 1=∠ 2,\\AD=AD,\\∠ ADM=∠ ADC,\end{cases}$
$\therefore △ ADM≌ △ ADC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore CD=DM$，即$D$为$CM$中点，
又$\because G$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore DG$ 是 $△ CMB$ 的中位线，
$\therefore DG// AB$。
(2)解：$\because DG$是$△ CMB$的中位线，$DG=2$，
$\therefore BM=2DG=4$，
由(1)中$△ ADM≌ △ ADC$可得$AM=AC=5$，
$\therefore AB=AM+BM=5+4=9$。
【答案】
(1)$DG// AB$得证；
(2)$AB=9$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、角平分线的定义
【点评】
本题属于几何典型模型应用题，解题关键是熟练掌握“角平分线+垂线构造全等三角形”的常用辅助线做法，结合三角形中位线的性质即可完成平行证明与线段长度计算，对几何辅助线思维的培养有较好的训练作用。
【难度系数】
0.6
1 (2025·四川广元)如图,在$□ ABCD$中,$AB=8$,对角线$AC,BD$交于点$O$,$P$是$AB$的中点,连接$DP$,$E$是$DP$的中点,连接$OE$,则$OE$的长是 (
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.4
(第1题图)
(第2题图)
C
)A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.4
(第1题图)
(第2题图)
答案
1.C
解析
【分析】首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，可得对角线交点O是BD的中点。已知E是DP的中点，可判断OE是△DPB的中位线，根据三角形中位线定理，OE等于BP的一半。再结合P是AB中点、AB=8的条件，先算出BP的长度，就能求出OE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴O为BD的中点（平行四边形的对角线互相平分）。
∵E是DP的中点，
∴OE是△DPB的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$OE=\frac{1}{2}BP$。
又
∵P是AB的中点，$AB=8$，
∴$BP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∴$OE=\frac{1}{2}×4=2$。
故选：C。
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形中位线定理
【点评】本题属于基础几何应用题，核心考查平行四边形性质和三角形中位线定理的综合运用，只要能准确识别中位线模型，结合已知条件即可快速求解。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴O为BD的中点（平行四边形的对角线互相平分）。
∵E是DP的中点，
∴OE是△DPB的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$OE=\frac{1}{2}BP$。
又
∵P是AB的中点，$AB=8$，
∴$BP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∴$OE=\frac{1}{2}×4=2$。
故选：C。
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形中位线定理
【点评】本题属于基础几何应用题，核心考查平行四边形性质和三角形中位线定理的综合运用，只要能准确识别中位线模型，结合已知条件即可快速求解。
【难度系数】0.7
2 (2025·江苏淮安)如图，直线$a// b$，正六边形$ABCDEF$的顶点$A$，$C$分别在直线$a$，$b$上，若
$∠ 1=40°$，则$∠ 2$的度数是 （
A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
$∠ 1=40°$，则$∠ 2$的度数是 （
B
）A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合正六边形的内角性质和平行线的性质解题。第一步先利用多边形内角和公式算出正六边形的每个内角度数；第二步结合平行线的性质，找到∠1、正六边形内角和∠2之间的数量关系，进而求出∠2的度数。
【解析】
1. 计算正六边形的每个内角度数：
根据多边形内角和公式，$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，正六边形$n=6$，则内角和为$(6-2)×180°=720°$，因此正六边形每个内角的度数为$720°÷6=120°$。
2. 利用平行线性质求∠2：
已知直线$a// b$，且正六边形对边平行，即$AF// CD$，结合平行线的同旁内角互补性质可得：$∠1 + ∠ F + ∠2 = 180°$。
已知$∠1=40°$，$∠ F=120°$，代入得：
$∠2=180° - 40° - 120°=20°$
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质；平行线的性质；多边形内角和
【点评】
这道题综合考查了多边形内角和、正六边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握正六边形每个内角为120°且对边平行的特点，结合平行线的性质建立角之间的关系。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要结合正六边形的内角性质和平行线的性质解题。第一步先利用多边形内角和公式算出正六边形的每个内角度数；第二步结合平行线的性质，找到∠1、正六边形内角和∠2之间的数量关系，进而求出∠2的度数。
【解析】
1. 计算正六边形的每个内角度数：
根据多边形内角和公式，$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，正六边形$n=6$，则内角和为$(6-2)×180°=720°$，因此正六边形每个内角的度数为$720°÷6=120°$。
2. 利用平行线性质求∠2：
已知直线$a// b$，且正六边形对边平行，即$AF// CD$，结合平行线的同旁内角互补性质可得：$∠1 + ∠ F + ∠2 = 180°$。
已知$∠1=40°$，$∠ F=120°$，代入得：
$∠2=180° - 40° - 120°=20°$
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质；平行线的性质；多边形内角和
【点评】
这道题综合考查了多边形内角和、正六边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握正六边形每个内角为120°且对边平行的特点，结合平行线的性质建立角之间的关系。
【难度系数】
0.7
