3 (2025·甘肃)如图，一个多边形纸片的内角和为$1620°$，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为 ()

A.12
B.11
C.10
D.9

(第3题图)
(第4题图)

3.A

【分析】
解题需分两步进行：首先回忆多边形内角和公式，利用已知的内角和求出原多边形的边数；再结合图示的剪法判断剪去一个内角后边数的变化规律，进而求出新多边形的边数。首先，n边形内角和满足公式$(n-2)×180°$，我们可以通过列方程求解原多边形边数；其次观察图示剪法，剪刀沿相邻两条边（不经过顶点）剪去一个角，这种剪法会让新多边形的边数比原多边形多1，代入原边数即可得到结果。
【解析】
设原多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)× 180° = 1620°$
解得：$n-2 = 1620° ÷ 180° = 9$，即$n=11$。
观察图示剪法，沿相邻两条边（不经过顶点）剪去一个内角时，新多边形的边数比原多边形多1，因此新多边形的边数为$11+1=12$。
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和定理；多边形截角边数变化
【点评】
本题重点考查多边形内角和公式的应用，解题时要注意结合图形判断截角的方式，不同的截角方式对应的边数变化规律不同，避免笼统判断导致错误。
【难度系数】
0.7

4 (2025·安徽)在如图所示的$□ ABCD$中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足$AF=CH$，则下列为定值的是（）

A.四边形EFGH的周长
B.$∠ EFG$的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长

4.C

【分析】
这是平行四边形背景下的动点定值问题，解题思路如下：第一步，先利用平行四边形的性质和已知的E、G为中点、AF=CH的条件，证明两组三角形全等，推导得出四边形EFGH是平行四边形；第二步，逐一分析每个选项：周长、角的大小、线段FH的长度都会随F、H的移动发生变化，只有面积可通过“平行四边形ABCD总面积减去周围四个三角形面积和”推导，因四个三角形面积和为定值，故EFGH的面积是定值，也可通过取特殊值的方法快速验证各选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD，∠B=∠D。
∵E、G分别是AD、BC的中点，
∴$AE=DE=\frac{1}{2}AD$，$BG=CG=\frac{1}{2}BC$，即$AE=CG$，$DE=BG$。
又
∵$AF=CH$，
∴$AB-AF=CD-CH$，即$BF=DH$。
在$△ AEF$和$△ CGH$中：
$\{\begin{array}{l} AE=CG\\ ∠ A=∠ C\\ AF=CH\end{array} $
∴$△ AEF≌△ CGH$（SAS），同理可证$△ DEH≌△ BGF$（SAS），
∴$EF=HG$，$EH=FG$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
逐一分析选项：
A. 当F、H在边上移动时，EF、EH的长度会发生变化，故平行四边形EFGH的周长$=2(EF+EH)$不是定值，A错误；
B. $∠ EFG$是平行四边形EFGH的内角，随F、H的位置变化而变化，不是定值，B错误；
C. 由全等得$S_{△ AEF}=S_{△ CGH}$，$S_{△ DEH}=S_{△ BGF}$，取特殊值验证：设ABCD为边长为2的正方形，设$AF=t$，经计算可得无论t取何值，四边形EFGH的面积恒为2，是定值，C正确；
D. 线段FH的长度随F、H的移动发生变化，不是定值，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 动点定值分析
【点评】
本题考查平行四边形背景下的定值判断，解题的关键是先通过全等证明四边形EFGH的形状，再结合几何性质或特殊值法逐一排查选项，重点考查对平行四边形、全等三角形相关知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

5 (2025·山东潍坊)如图，在$□ ABCD$中，点E在边BC上，将$△ ABE$沿AE折叠，点B的对应点$B'$恰好落在边DC上。将$△ ADB'$沿$AB'$折叠，点D的对应点$D'$恰好落在AE上。若$∠ C=α$，则$∠ CB'E=$.(用含$α$的式子表示)

（第5题图）（第6题图）

5.$\frac{α}{3}$

【分析】
解题时先结合平行四边形的性质确定已知角和未知角的关联，再利用折叠前后对应角相等的性质，推导得出三个相等的小角，求出每个小角的度数，最后根据平角的性质列式计算即可得到∠CB'E的度数。
第一步：回忆平行四边形性质：对角相等、邻角互补、对边平行；折叠性质：折叠前后对应角相等。
第二步：由两次折叠的性质得到∠DAB'=∠B'AE=∠BAE，结合平行四边形对角相等算出每个小角的度数。
第三步：利用平行线的内错角相等求出∠AB'D的度数，再根据平角为180°列式计算∠CB'E。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=α
∴∠DAB=∠C=α，∠B=∠D=180°-α，AB//CD
由折叠的性质可得：
将△ABE沿AE折叠得到△AB'E，因此∠B'AE=∠BAE，∠AB'E=∠B=180°-α
将△ADB'沿AB'折叠得到△AD'B'，因此∠DAB'=∠B'AE
∴∠DAB'=∠B'AE=∠BAE=$\frac{1}{3}$∠DAB=$\frac{α}{3}$
∵AB//CD，
∴∠AB'D=∠B'AB=∠B'AE+∠BAE=$\frac{α}{3}+\frac{α}{3}=\frac{2α}{3}$
∵点D、B'、C共线，
∴∠AB'D+∠AB'E+∠CB'E=180°
代入数值得：$\frac{2α}{3}+(180°-α)+∠CB'E=180°$
解得：∠CB'E=$\frac{α}{3}$
【答案】
$\frac{α}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质，折叠的性质，角度计算
【点评】
本题是平行四边形和折叠的综合应用题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行四边形的边角关系推导求解，是几何部分的典型考法。
【难度系数】
0.6

6 (2025·湖南)如图,左图为传统建筑中的一种窗格,右图为其窗框的示意图,多边形ABCDEFGH为正八边形,连接AC,BD,AC与BD交于点M,则∠AMB=°.

6.45

【分析】
要求∠AMB的度数，我们可以按以下思路推导：首先利用正多边形内角和公式算出正八边形每个内角的度数；再结合正八边形各边相等的性质，得到相邻边构成的三角形是等腰三角形，算出等腰三角形的底角度数；最后利用三角形外角的性质，就能求出∠AMB的大小。
【解析】
首先计算正八边形的内角度数：
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正八边形边数$n=8$，则内角和为$(8-2)×180°=1080°$，
每个内角的度数为$1080°÷8=135°$，因此$∠ ABC=∠ BCD=135°$。
因为正八边形各边相等，所以$AB=BC=CD$，$△ ABC$和$△ BCD$均为等腰三角形：
在$△ ABC$中，$∠ ACB=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$，
同理在$△ BCD$中，$∠ CBD=\frac{180°-∠ BCD}{2}=22.5°$。
因为$∠ AMB$是$△ BMC$的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ AMB=∠ ACB+∠ CBD=22.5°+22.5°=45°$。
【答案】
45
【知识点】
正多边形内角和，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题结合传统窗格图案命题，考查几何基础性质的综合应用，解题的关键是先求出正八边形的内角度数，再结合等腰三角形和外角性质逐步推导角度，注重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7

7 (2025·江苏苏州)如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB，CD//BE。
(1)求证：△DAC≌△ECB；
(2)连接DE，若AB=16，求DE的长。

7.(1)证明:$\because C$ 是线段 $AB$ 的中点,$\therefore AC=CB=\frac{1}{2}AB.\because CD// BE$，
$\therefore ∠ DCA=∠ B.$ 在 $△ DAC$ 和 $△ ECB$ 中,$\begin{cases}∠ A=∠ ECB,\\AC=CB,\\∠ DCA=∠ B,\end{cases}$ $\therefore △ DAC≌ △ ECB(\mathrm{ASA}).$
(2)解:$\because AB=16$,$C$ 是线段 $AB$ 的中点,$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=8$. 由(1)得$△ DAC≌ △ ECB$，
$\therefore CD=BE.$ 又$\because CD// BE$,$\therefore$ 四边形 $BCDE$ 是平行四边形,$\therefore DE=BC=8.$

【分析】
(1) 要证明△DAC≌△ECB，先梳理已知条件：C是AB中点可得AC=CB，已知∠A=∠ECB，还缺一组对应角相等的条件。结合CD//BE的条件，根据平行线性质可推出∠DCA=∠B，刚好满足ASA全等判定的三个条件，即可完成证明。
(2) 要求DE的长，先找DE和已知线段的关联：由(1)的全等结论可得CD=BE，结合CD//BE的条件，可判定四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质可得DE=BC，再结合AB的长度和中点的性质求出BC的长，即可得到DE的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because C$ 是线段 $AB$ 的中点，$\therefore AC=CB=\frac{1}{2}AB$。
$\because CD// BE$，$\therefore ∠ DCA=∠ B$。
在 $△ DAC$ 和 $△ ECB$ 中，
$\begin{cases}∠ A=∠ ECB,\\AC=CB,\\∠ DCA=∠ B,\end{cases}$
$\therefore △ DAC≌ △ ECB(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：$\because AB=16$，$C$ 是线段 $AB$ 的中点，$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=8$。
由(1)得$△ DAC≌ △ ECB$，$\therefore CD=BE$。
又$\because CD// BE$，$\therefore$ 四边形 $BCDE$ 是平行四边形，
$\therefore DE=BC=8$。
【答案】
(1) 已证△DAC≌△ECB；
(2) $8$
【知识点】
全等三角形的判定，平行四边形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，逻辑链条清晰，解题核心是先推导三角形全等，再借助全等结论判断四边形的形状，能有效考查学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8

8 (2024·湖南)如图，在四边形ABCD中，AB//CD，点E在边AB上，。请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
(2)若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长。

8.(1)选择①,证明:$\because ∠ B=∠ AED,\therefore DE// CB.\because AB// CD,\therefore$ 四边形 $BCDE$ 为平行四边形.
或选择②,证明:$\because AE=BE,AE=CD,\therefore CD=BE.$ 又$\because AB// CD,\therefore$ 四边形 $BCDE$ 为平行四边形.
(2)解:由(1)得 $DE=BC=10.\because AD⊥ AB,AD=8$，
$\therefore AE=\sqrt{DE^2-AD^2}=6.$

【分析】
这是一道条件开放性几何题，解题思路如下：1. 先选择补充的条件，若选①，已知AB//CD，要证四边形BCDE是平行四边形，只需证DE//BC即可，由∠B=∠AED可利用同位角相等推出两直线平行，满足两组对边分别平行的四边形是平行四边形；若选②，已知AB//CD，只需证CD=BE即可，由AE=BE、AE=CD可直接推出CD=BE，满足一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。2. 第二问求AE长度，由平行四边形对边相等可得DE=BC，结合AD⊥AB可知△ADE是直角三角形，用勾股定理即可计算出AE的长。
【解析】
我们可以任选一组条件作答，示例如下：
选条件①作答：
(1) 证明：
∵ ∠B=∠AED，
∴ DE//CB（同位角相等，两直线平行），
又
∵ AB//CD，
∴ 四边形BCDE两组对边分别平行，
∴ 四边形BCDE为平行四边形。
选条件②作答：
(1) 证明：
∵ AE=BE，AE=CD，
∴ CD=BE，
又
∵ AB//CD，即CD与BE平行且相等，
∴ 四边形BCDE为平行四边形。
(2) 解：
由(1)可得四边形BCDE是平行四边形，
∴ DE=BC=10（平行四边形对边相等），
∵ AD⊥AB，
∴ ∠DAE=90°，△ADE为直角三角形，
在Rt△ADE中，AD=8，DE=10，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{DE^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
【答案】
(1) 四边形BCDE为平行四边形，证明成立；
(2) 线段AE的长为$\boxed{6}$。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础题，设置了条件选择的开放形式，既考查了平行四边形的相关定理，又结合直角三角形勾股定理考查线段长度计算，解题时只需结合所选条件匹配对应定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.75