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【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形.我们可以用演绎推理证明这一结论.
已知:如图1,四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,并且$OA=OC$,$OB=OD$.求证:四边形ABCD是平行四边形.
(1)请写出证明过程.
【知识应用】(2)如图2,在$□ ABCD$中,F是AD的中点,连接BF并延长交CD的延长线于点E,连接AE,BD.求证:四边形ABDE是平行四边形.
【拓展提升】(3)在(2)的条件下,若$□ ABCD$的面积为26,求$△ BCE$的面积.
已知:如图1,四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,并且$OA=OC$,$OB=OD$.求证:四边形ABCD是平行四边形.
(1)请写出证明过程.
【知识应用】(2)如图2,在$□ ABCD$中,F是AD的中点,连接BF并延长交CD的延长线于点E,连接AE,BD.求证:四边形ABDE是平行四边形.
【拓展提升】(3)在(2)的条件下,若$□ ABCD$的面积为26,求$△ BCE$的面积.
答案
(1)证明:在$△ AOB$ 和 $△ COD$ 中,$\begin{cases}OA=OC,\\∠ AOB=∠ COD,\therefore △ AOB≌ △ COD(\mathrm{SAS}),\\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore ∠ ABO=∠ CDO,\therefore AB// CD.$ 同理 $AD// BC,\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
(2)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB// CE,\therefore ∠ BAF=∠ EDF.$
$\because F$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore AF=DF.$
在$△ AFB$ 和 $△ DFE$ 中,$\begin{cases}∠ BAF=∠ EDF,\\AF=DF,\\∠ AFB=∠ DFE,\end{cases}$ $\therefore △ AFB≌ △ DFE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore BF=EF,\therefore AD$ 与 $BE$ 互相平分,$\therefore$ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形.
(3)解:由(2)知,四边形 $ABDE$ 是平行四边形,$\therefore DE=AB.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB=CD,\therefore DE=CD,$
$\therefore △ BDE$ 和 $△ BCD$ 等底同高,$\therefore S_{△ BDE}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}=13,$
$\therefore S_{△ BCE}=S_{△ BDE}+S_{△ BCD}=13+13=26.$
$\therefore ∠ ABO=∠ CDO,\therefore AB// CD.$ 同理 $AD// BC,\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
(2)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB// CE,\therefore ∠ BAF=∠ EDF.$
$\because F$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore AF=DF.$
在$△ AFB$ 和 $△ DFE$ 中,$\begin{cases}∠ BAF=∠ EDF,\\AF=DF,\\∠ AFB=∠ DFE,\end{cases}$ $\therefore △ AFB≌ △ DFE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore BF=EF,\therefore AD$ 与 $BE$ 互相平分,$\therefore$ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形.
(3)解:由(2)知,四边形 $ABDE$ 是平行四边形,$\therefore DE=AB.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB=CD,\therefore DE=CD,$
$\therefore △ BDE$ 和 $△ BCD$ 等底同高,$\therefore S_{△ BDE}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}=13,$
$\therefore S_{△ BCE}=S_{△ BDE}+S_{△ BCD}=13+13=26.$
解析
【分析】
本题分为三个递进的小问，解题思路如下：
(1) 第一问要证对角线互相平分的四边形是平行四边形，可利用已知的边相等和对顶角相等，先证明对顶的两个三角形全等，得到内错角相等从而推出对边平行，两组对边分别平行的四边形就是平行四边形。
(2) 第二问要证四边形ABDE是平行四边形，先利用平行四边形ABCD的对边平行得到角相等，结合F是AD中点的条件证明△AFB和△DFE全等，得到BF=EF，此时AD和BE互相平分，利用平行四边形的判定定理即可得证。
(3) 第三问求三角形面积，先根据两个平行四边形的性质推出DE=CD，可得△BDE和△BCD等底同高，面积都等于平行四边形ABCD面积的一半，两者相加就是△BCE的总面积。
【解析】
(1) 证明: 在$△ AOB$ 和 $△ COD$ 中,
$\begin{cases}OA=OC,\\∠ AOB=∠ COD,\\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌ △ COD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ABO=∠ CDO,\therefore AB// CD.$
同理可证$AD// BC$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
(2) 证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB// CE$,$\therefore ∠ BAF=∠ EDF.$
$\because F$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore AF=DF.$
在$△ AFB$ 和 $△ DFE$ 中,
$\begin{cases}∠ BAF=∠ EDF,\\AF=DF,\\∠ AFB=∠ DFE,\end{cases}$
$\therefore △ AFB≌ △ DFE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore BF=EF$，即$AD$ 与 $BE$ 互相平分,$\therefore$ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形.
(3) 解: 由(2)知, 四边形 $ABDE$ 是平行四边形,$\therefore DE=AB.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB=CD$,$\therefore DE=CD,$
$\therefore △ BDE$ 和 $△ BCD$ 等底同高,$\therefore S_{△ BDE}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{▱ABCD}=\frac{1}{2}×26=13,$
$\therefore S_{△ BCE}=S_{△ BDE}+S_{△ BCD}=13+13=26.$
【答案】
(1) 四边形ABCD是平行四边形，证明见解析；(2) 四边形ABDE是平行四边形，证明见解析；(3) $\boxed{26}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题分层设置问题，难度逐步提升，既考查了全等三角形、平行四边形基础定理的应用，也考查了等底同高三角形面积相等规律的运用，能够有效检验几何逻辑推导能力，帮助巩固核心几何知识点。
【难度系数】
0.7
本题分为三个递进的小问，解题思路如下：
(1) 第一问要证对角线互相平分的四边形是平行四边形，可利用已知的边相等和对顶角相等，先证明对顶的两个三角形全等，得到内错角相等从而推出对边平行，两组对边分别平行的四边形就是平行四边形。
(2) 第二问要证四边形ABDE是平行四边形，先利用平行四边形ABCD的对边平行得到角相等，结合F是AD中点的条件证明△AFB和△DFE全等，得到BF=EF，此时AD和BE互相平分，利用平行四边形的判定定理即可得证。
(3) 第三问求三角形面积，先根据两个平行四边形的性质推出DE=CD，可得△BDE和△BCD等底同高，面积都等于平行四边形ABCD面积的一半，两者相加就是△BCE的总面积。
【解析】
(1) 证明: 在$△ AOB$ 和 $△ COD$ 中,
$\begin{cases}OA=OC,\\∠ AOB=∠ COD,\\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌ △ COD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ABO=∠ CDO,\therefore AB// CD.$
同理可证$AD// BC$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
(2) 证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB// CE$,$\therefore ∠ BAF=∠ EDF.$
$\because F$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore AF=DF.$
在$△ AFB$ 和 $△ DFE$ 中,
$\begin{cases}∠ BAF=∠ EDF,\\AF=DF,\\∠ AFB=∠ DFE,\end{cases}$
$\therefore △ AFB≌ △ DFE(\mathrm{ASA}),$
$\therefore BF=EF$，即$AD$ 与 $BE$ 互相平分,$\therefore$ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形.
(3) 解: 由(2)知, 四边形 $ABDE$ 是平行四边形,$\therefore DE=AB.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB=CD$,$\therefore DE=CD,$
$\therefore △ BDE$ 和 $△ BCD$ 等底同高,$\therefore S_{△ BDE}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{▱ABCD}=\frac{1}{2}×26=13,$
$\therefore S_{△ BCE}=S_{△ BDE}+S_{△ BCD}=13+13=26.$
【答案】
(1) 四边形ABCD是平行四边形，证明见解析；(2) 四边形ABDE是平行四边形，证明见解析；(3) $\boxed{26}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题分层设置问题，难度逐步提升，既考查了全等三角形、平行四边形基础定理的应用，也考查了等底同高三角形面积相等规律的运用，能够有效检验几何逻辑推导能力，帮助巩固核心几何知识点。
【难度系数】
0.7
