7.(数学文化)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？”译文：“今有牛5头、羊2只，共值金10两.牛2头、羊5只，共值金8两.问：牛、羊每头(只)各值金多少？”若设每头牛值金$ x $两，每只羊值金$ y $两，则可列方程组是 （）

A.$\begin{cases} 5x + 2y = 10, \\ 2x + 5y = 8 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 2x + 5y = 10, \\ 5x + 2y = 8 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 5x + 5y = 10, \\ 2x + 5y = 8 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 5x + 2y = 10, \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}$

7.A

【分析】
解题时先从题干中提取两个核心等量关系：①5头牛的总价值+2只羊的总价值=10两金；②2头牛的总价值+5只羊的总价值=8两金。再结合设好的未知数x（每头牛价值）、y（每只羊价值），将等量关系转化为对应的方程，联立后匹配选项即可。
【解析】
设每头牛值金$x$两，每只羊值金$y$两：
1. 根据“牛5头、羊2只，共值金10两”，5头牛价值为$5x$，2只羊价值为$2y$，可列方程：$5x + 2y = 10$；
2. 根据“牛2头、羊5只，共值金8两”，2头牛价值为$2x$，5只羊价值为$5y$，可列方程：$2x + 5y = 8$；
联立两个方程可得方程组$\begin{cases} 5x + 2y = 10 \\ 2x + 5y = 8 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 等量关系提取
【点评】
本题以古代数学文化为载体，考查将实际问题转化为数学方程的能力，解题时注意不要混淆牛和羊对应的数量与总金额的关系即可。
【难度系数】
0.85

8.若不等式组$\begin{cases}x + 8 ＜ 4x - 7, \\x ＞ m\end{cases}$的解集为$x ＞ 5$，则$m$的取值范围是 （ ）

A.$m≥5$
B.$m=5$
C.$m＜5$
D.$m≤5$

8.D

【分析】
解决本题首先需要先求解不含参数的一元一次不等式，得到其解集后，再结合一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，对比题干给出的解集x＞5推导m的取值范围，推导时要注意验证m取等号的特殊情况是否符合要求。
【解析】
第一步：解不等式$x + 8 ＜ 4x - 7$
移项，得：$x - 4x ＜ -7 - 8$
合并同类项，得：$-3x ＜ -15$
系数化为1（不等式两边同时除以负数，不等号方向改变），得：$x ＞ 5$
第二步：确定m的取值范围
原不等式组可化为$\begin{cases}x ＞ 5 \\ x ＞ m\end{cases}$
根据不等式组“同大取大”的解集规则，两个不等式均为大于号时，最终解集取边界值更大的范围。
已知该不等式组的解集为$x ＞ 5$，说明5是更大的边界值：
若$m = 5$，两个不等式解集均为$x ＞ 5$，整体解集仍为$x ＞ 5$，符合要求；
若$m ＜ 5$，取更大的边界5，解集为$x ＞ 5$，符合要求；
若$m ＞ 5$，解集将变为$x ＞ m$，不符合题干要求。
因此$m$的取值范围是$m ≤ 5$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题考查不等式组解集的应用，解题关键是熟练掌握不等式组解集的判定口诀，要注意验证参数取等号时是否符合题意，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7

9. 如图,已知$AB// CD$,直线$MN$分别与直线$AB,CD$交于点$Q,E,QF$平分$∠ EQG$,$FG⊥ FQ$交$AB$于点$G$.若$∠ MEC=54°$,则$∠ GFE$的度数为
（）

A.$144°$
B.$117°$
C.$126°$
D.$63°$

9.B

【分析】
解题时先根据平行线的同位角相等性质，得到∠EQG与已知∠MEC相等，求出∠EQG的度数；再利用角平分线的定义算出∠FQG的度数；接着由FG⊥FQ得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出∠FGQ的度数；最后根据平行线内错角相等的性质，结合平角的定义即可算出∠GFE的度数。
【解析】
解：
1. 因为$AB// CD$，$∠ MEC$与$∠ EQG$是同位角，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ EQG=∠ MEC=54°$。
2. 因为$QF$平分$∠ EQG$，所以$∠ FQG=\frac{1}{2}∠ EQG=\frac{1}{2}×54°=27°$。
3. 因为$FG⊥ FQ$，所以$∠ GFQ=90°$，在$\mathrm{Rt}△ FGQ$中，$∠ FGQ=90°-∠ FQG=90°-27°=63°$。
4. 又因为$AB// CD$，$∠ CFG$与$∠ FGQ$是内错角，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ CFG=∠ FGQ=63°$。
5. 由于点C、F、E、D在同一直线上，$∠ GFE+∠ CFG=180°$，所以$∠ GFE=180°-63°=117°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题综合考查了平行线的性质、角平分线定义和垂直的性质，解题的关键是准确识别同位角、内错角，理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

10. (分类讨论)平面直角坐标系中有两点$M(a,b),N(c,d)$，规定$(a,b)\bigoplus(c,d)=(a+c,b+d)$，则称点$Q(a+c,b+d)$为$M,N$的“和点”.若坐标原点$O$与任意两点及它们的“和点”能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点$A(2,5),B(-1,3)$，若以$O,A,B,C$四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则下面可以是点$C$的坐标的有 （）
①$(1,8)$；②$(-3,-2)$；③$(3,2)$；④$(-1,-8)$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

10.C

【分析】首先明确题中两个新定义：①“和点”的运算规则是两个点的横、纵坐标分别相加，得到的结果就是和点的横、纵坐标；②“和点四边形”要求O、A、B、C四点中，有一个点是另外两个点的和点，且四点可构成四边形。因为O是固定点，所以分三类讨论：C是A、B的和点；A是B、C的和点；B是A、C的和点，分别算出C的坐标后和给出的坐标对比即可。
【解析】根据“和点”定义$(a,b)\bigoplus(c,d)=(a+c,b+d)$，结合“和点四边形”的要求，分3种情况讨论：
1. 若点C是A、B的和点：
$C$的坐标为$(2+(-1),5+3)=(1,8)$，对应序号①，符合要求；
2. 若点A是B、C的和点，设$C(x,y)$：
列方程得$\begin{cases}-1+x=2\\3+y=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$，即$C(3,2)$，对应序号③，符合要求；
3. 若点B是A、C的和点，设$C(x,y)$：
列方程得$\begin{cases}2+x=-1\\5+y=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=-2\end{cases}$，即$C(-3,-2)$，对应序号②，符合要求。
序号④$(-1,-8)$不符合上述任意一种情况，因此符合要求的点C共有3个。
【答案】C
【知识点】新定义运算；平面直角坐标系中点的坐标；分类讨论
【点评】本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解新定义的运算规则，合理分类讨论即可解决问题，注意不要遗漏任意一种情况。
【难度系数】0.6

11.已知点$A(m,-6)$和点$B(3,m-3)$，且直线$AB// x$轴，则$m$的值是________.

11.-3

【分析】
要解决这道题，首先需要明确平行于x轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，且直线上的两个不同点横坐标一定不相等。我们可以先根据纵坐标相等的关系列出关于m的方程，求解后再验证两点横坐标是否不同，排除两点重合的情况，即可得到正确的m值。
【解析】
∵ 直线$AB// x$轴，
∴ 点A和点B的纵坐标相等，可得：
$-6 = m - 3$
解这个一元一次方程，移项得：
$m = -6 + 3 = -3$
验证两点是否重合：当$m=-3$时，点A的横坐标为$-3$，点B的横坐标为$3$，二者不相等，说明A、B是不同的点，符合题意。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 平行于x轴的直线的坐标特征
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，解题时要注意隐含条件：构成直线的两个点不能重合，避免直接求解后忽略验证导致出错。
【难度系数】
0.8

12.点 A 在数轴上表示的数是$-\sqrt{15}$，点 B 在数轴上表示的数为$\sqrt{7}$，则 A，B 之间的整数点有________个.

12.6

【分析】
要找到A、B之间的整数点，首先需要估算出$-\sqrt{15}$和$\sqrt{7}$分别在哪两个相邻整数之间，确定两个数的取值范围后，找出落在这个范围内的所有整数，统计整数的个数即可得到答案。
【解析】
第一步：估算$-\sqrt{15}$的取值范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜15＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$。
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-4＜-\sqrt{15}＜-3$。
第二步：估算$\sqrt{7}$的取值范围
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$。
第三步：找出A、B之间的整数
A、B之间的整数$x$满足$-\sqrt{15}＜x＜\sqrt{7}$，结合上述范围可得$x$的取值为：-3、-2、-1、0、1、2，共6个。
【答案】
6
【知识点】
无理数大小估算；数轴与实数对应；整数的概念
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题的关键是利用相邻平方数确定无理数的整数区间，再筛选出符合要求的整数，熟练记忆常见正整数的平方数能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7

13. 在平面直角坐标系中，把点$ P(-5,3) $沿水平方向平移3个单位长度得到点$ P_{1} $，点$ P_{1} $的坐标是.

13.(-8,3)或(-2,3)

【分析】
首先明确水平方向平移即沿x轴方向平移，这类平移的特点是纵坐标保持不变，仅横坐标发生变化。由于题干未说明是向左还是向右平移，因此需要分两种情况讨论，再结合平移时横坐标“左减右加”的规律分别计算，即可得到平移后点的坐标。
【解析】
平面直角坐标系中，点沿水平方向平移时，纵坐标不变，横坐标遵循“向左平移减，向右平移加”的规律：
1. 当点P向左平移3个单位长度时：
横坐标为$-5-3=-8$，纵坐标仍为3，此时点$P_1$的坐标为$(-8,3)$；
2. 当点P向右平移3个单位长度时：
横坐标为$-5+3=-2$，纵坐标仍为3，此时点$P_1$的坐标为$(-2,3)$。
【答案】
$(-8,3)$或$(-2,3)$
【知识点】
点的平移规律，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略平移方向的不确定性，只考虑单一方向平移导致漏解，解题时若题干未明确平移方向，需对所有可能的平移方向分类讨论。
【难度系数】
0.7

14. 在平面直角坐标系中,已知点 P 的坐标为$(-3a-4,2+a).$
(1)若点 Q 的坐标为$(5,8)$,且$PQ// y$轴,则点 P 的坐标为________;
(2)若点 P 在第二象限,且它到 x 轴、y 轴的距离相等,则$a^{2025}+2025$的值为$\_\_\_\_\_\_.$

14.(1)(5,-1) (2)2024

【分析】
(1) 解决第一问的核心是掌握平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等的特征，先根据$PQ// y$轴得到P、Q两点横坐标相等，列方程求出a的值，再代入计算P点的纵坐标即可得到P的坐标。
(2) 解决第二问首先要明确第二象限内点的坐标符号特征（横坐标为负，纵坐标为正），其次点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，结合“距离相等”列出方程求解a，最后代入代数式计算结果即可。
【解析】
(1) $\because PQ// y$轴，平行于y轴的直线上的点横坐标相等，
$\therefore$ 点P的横坐标与点Q的横坐标相等，即$-3a-4=5$，
解方程得：$-3a=9$，$a=-3$，
将$a=-3$代入P点纵坐标$2+a$，得$2+(-3)=-1$，
$\therefore$ 点P的坐标为$(5,-1)$。
(2) $\because$ 点P在第二象限，
$\therefore$ 点P的横坐标小于0，纵坐标大于0，
$\because$ 点P到x轴、y轴的距离相等，
$\therefore$ 横坐标的绝对值=纵坐标的绝对值，即$|-3a-4|=|2+a|$，
$\because -3a-4＜0$，$2+a＞0$，
$\therefore$ 去绝对值得：$3a+4=2+a$，
解方程得：$2a=-2$，$a=-1$，
将$a=-1$代入$a^{2025}+2025$，
$\because$ 2025是奇数，$\therefore (-1)^{2025}=-1$，
$\therefore$ 原式$=-1+2025=2024$。
【答案】
(1)$(5,-1)$；(2)$2024$
【知识点】
1. 平行于坐标轴的点的坐标特征
2. 象限内点的坐标特征
3. 点到坐标轴的距离
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常规题，侧重对核心基础概念的考查，解题的关键是准确理解不同位置点的坐标规律，以及坐标和点到坐标轴距离的对应关系，计算时注意负数的奇次幂的符号即可。
【难度系数】
0.8

15. 解下列方程组：
(1)$\begin{cases}x=2y-5, \\2x-y=2;\end{cases}$（用代入消元法）
(2)$\begin{cases}7x+3y=4, \\5x-4y=9.\end{cases}$（用加减消元法）

15.解:(1)$\begin{cases} x=2y-5,① \\ 2x-y=2,② \end{cases}$
将①代入②,得 $2(2y-5)-y=2$.
得 $4y-10-y=2$.
解得 $y=4$.
将 $y=4$ 代入①,得 $x=3$.
$\therefore$ 原方程组的解是 $\begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 7x+3y=4,① \\ 5x-4y=9,② \end{cases}$
①$×4$,得 $28x+12y=16$.③
②$×3$,得 $15x-12y=27$.④
③$+$④,得 $43x=43$.
解得 $x=1$.
将 $x=1$ 代入①,得 $y=-1$.
$\therefore$ 原方程组的解是 $\begin{cases} x=1, \\ y=-1. \end{cases}$

【分析】
(1) 本题指定用代入消元法求解，观察方程组可知方程①直接给出了x关于y的表达式，直接将其代入方程②即可消去未知数x，得到仅含y的一元一次方程，求解出y的值后，再代入①即可求出x的值，得到方程组的解。
(2) 本题指定用加减消元法求解，观察两个方程中y的系数分别为3和-4，二者的最小公倍数是12，因此将方程①两边乘4、方程②两边乘3，可使两个方程中y的系数互为相反数，将变形后的两个方程相加即可消去y，得到仅含x的一元一次方程，求解出x的值后，代入任意一个原方程即可求出y的值，得到方程组的解。
【解析】
(1)$\begin{cases} x=2y-5,① \\ 2x-y=2,② \end{cases}$
将①代入②,得 $2(2y-5)-y=2$.
得 $4y-10-y=2$.
解得 $y=4$.
将 $y=4$ 代入①,得 $x=3$.
$\therefore$ 原方程组的解是 $\begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 7x+3y=4,① \\ 5x-4y=9,② \end{cases}$
①$×4$,得 $28x+12y=16$.③
②$×3$,得 $15x-12y=27$.④
③$+$④,得 $43x=43$.
解得 $x=1$.
将 $x=1$ 代入①,得 $y=-1$.
$\therefore$ 原方程组的解是 $\begin{cases} x=1, \\ y=-1. \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases}$；(2)$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$
【知识点】
1.代入消元法解二元一次方程组
2.加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的两种基础解法，解题核心是通过消元将二元方程转化为一元一次方程求解，计算时要注意去括号、系数相乘的符号和运算准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8