登录
1. 一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（
A.$-\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt[3]{10}$
D.10000
C
）A.$-\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt[3]{10}$
D.10000
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体体积与棱长的关系：正方体体积等于棱长的三次方。已知体积求棱长，就是求体积的立方根，同时结合棱长为正数的实际意义，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
设该正方体包装盒的棱长为$a$（$a＞0$），根据正方体体积公式可得：
$V = a^3$
已知体积$V=10$，代入得$a^3=10$。
根据立方根的定义，可知$a=\sqrt[3]{10}$。
分析选项：A为负数不符合棱长为正的要求，B是10的算术平方根（对应平方运算，不符合体积公式的三次方关系），D数值明显错误，只有C选项符合。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算；立方根的定义
【点评】
本题是立方根在实际几何问题中的基础应用，难度较低，核心是掌握正方体体积公式和立方根的概念，结合实际意义排除错误选项即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正方体体积与棱长的关系：正方体体积等于棱长的三次方。已知体积求棱长，就是求体积的立方根，同时结合棱长为正数的实际意义，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
设该正方体包装盒的棱长为$a$（$a＞0$），根据正方体体积公式可得：
$V = a^3$
已知体积$V=10$，代入得$a^3=10$。
根据立方根的定义，可知$a=\sqrt[3]{10}$。
分析选项：A为负数不符合棱长为正的要求，B是10的算术平方根（对应平方运算，不符合体积公式的三次方关系），D数值明显错误，只有C选项符合。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算；立方根的定义
【点评】
本题是立方根在实际几何问题中的基础应用，难度较低，核心是掌握正方体体积公式和立方根的概念，结合实际意义排除错误选项即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 已知$\sqrt[3]{5.25} \approx 1.738$，$\sqrt[3]{a} \approx 0.1738$，则$a$的值约为（
A.0.525
B.0.0525
C.0.00525
D.0.000525
C
）A.0.525
B.0.0525
C.0.00525
D.0.000525
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先回忆立方根的小数点移动规律：立方根的小数点每向左/右移动1位，对应的被开方数的小数点就同方向移动3位，反之也成立。首先对比已知的两个立方根数值1.738和0.1738，发现立方根的小数点向左移动了1位，因此对应的被开方数的小数点也要向左移动3位，即可求出a的值。
【解析】
根据立方根的性质：被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，它的立方根的小数点就相应向左（或向右）移动1位，该规律反过来也成立。
已知$\sqrt[3]{5.25} \approx 1.738$，现在$\sqrt[3]{a} \approx 0.1738$，和1.738相比，立方根的小数点向左移动了1位，因此被开方数a的小数点需要从5.25的位置向左移动3位：
5.25向左移动3位后为0.00525，即$a\approx0.00525$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查立方根与被开方数的小数点移动对应关系，解题时要注意区分立方根和平方根的小数点移动规律，避免混淆移动位数导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆立方根的小数点移动规律：立方根的小数点每向左/右移动1位，对应的被开方数的小数点就同方向移动3位，反之也成立。首先对比已知的两个立方根数值1.738和0.1738，发现立方根的小数点向左移动了1位，因此对应的被开方数的小数点也要向左移动3位，即可求出a的值。
【解析】
根据立方根的性质：被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，它的立方根的小数点就相应向左（或向右）移动1位，该规律反过来也成立。
已知$\sqrt[3]{5.25} \approx 1.738$，现在$\sqrt[3]{a} \approx 0.1738$，和1.738相比，立方根的小数点向左移动了1位，因此被开方数a的小数点需要从5.25的位置向左移动3位：
5.25向左移动3位后为0.00525，即$a\approx0.00525$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查立方根与被开方数的小数点移动对应关系，解题时要注意区分立方根和平方根的小数点移动规律，避免混淆移动位数导致出错。
【难度系数】
0.7
3. 在实数$\sqrt{5}$，$-\dfrac{22}{7}$，$π -1$，$0.101\ 001\ 000\ 100\ 001$，$\sqrt[3]{-27}$中，无理数的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数的方根；②含π的数（π本身为无理数）；③无限不循环的有规律小数。接下来我们先对题中可化简的数先化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析题中给出的5个实数：
1. $\sqrt{5}$：5开平方无法得到整数或有限小数，属于开方开不尽的数，是无限不循环小数，为无理数；
2. $-\dfrac{22}{7}$：属于分数，所有分数都属于有理数，因此它是有理数；
3. $π -1$：$π$是典型的无限不循环小数，属于无理数，无理数减有理数后仍为无理数，因此$π -1$是无理数；
4. $0.101\ 001\ 000\ 100\ 001$：小数位数有限，属于有限小数，所有有限小数都可以转化为分数，属于有理数；
5. $\sqrt[3]{-27}$：计算得$\sqrt[3]{-27}=-3$，是整数，整数属于有理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；立方根运算；实数分类
【点评】
本题考查对无理数概念的掌握，易错点是容易误将有限的有规律小数判定为无理数，或是忽略对带根号的数先化简再判断，解题时要牢记先化简、再按定义判定的原则。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数的方根；②含π的数（π本身为无理数）；③无限不循环的有规律小数。接下来我们先对题中可化简的数先化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析题中给出的5个实数：
1. $\sqrt{5}$：5开平方无法得到整数或有限小数，属于开方开不尽的数，是无限不循环小数，为无理数；
2. $-\dfrac{22}{7}$：属于分数，所有分数都属于有理数，因此它是有理数；
3. $π -1$：$π$是典型的无限不循环小数，属于无理数，无理数减有理数后仍为无理数，因此$π -1$是无理数；
4. $0.101\ 001\ 000\ 100\ 001$：小数位数有限，属于有限小数，所有有限小数都可以转化为分数，属于有理数；
5. $\sqrt[3]{-27}$：计算得$\sqrt[3]{-27}=-3$，是整数，整数属于有理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；立方根运算；实数分类
【点评】
本题考查对无理数概念的掌握，易错点是容易误将有限的有规律小数判定为无理数，或是忽略对带根号的数先化简再判断，解题时要牢记先化简、再按定义判定的原则。
【难度系数】
0.7
4. 下列说法正确的是 （
A.$64$ 的立方根是 $\pm4$
B.$-\dfrac{1}{8}$ 没有立方根
C.$\sqrt[3]{-7} = -\sqrt[3]{7}$
D.$\sqrt{36} = \pm6$
C
）A.$64$ 的立方根是 $\pm4$
B.$-\dfrac{1}{8}$ 没有立方根
C.$\sqrt[3]{-7} = -\sqrt[3]{7}$
D.$\sqrt{36} = \pm6$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查平方根、立方根的相关概念与性质，解题思路如下：首先明确立方根的性质：任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，且满足$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$；其次明确算术平方根的定义：$\sqrt{a}(a≥ 0)$表示$a$的算术平方根，结果为非负数；最后逐一判断四个选项的正误，选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：因为$4^3=64$，正数的立方根是唯一的正数，所以64的立方根是4，不是$\pm4$，A错误。
B选项：负数也有立方根，$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{8}$，所以$-\dfrac{1}{8}$的立方根是$-\dfrac{1}{2}$，B错误。
C选项：根据立方根的性质，互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，即$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，因此$\sqrt[3]{-7}=-\sqrt[3]{7}$，C正确。
D选项：$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{36}=6$，$\pm6$是36的平方根，不是算术平方根，D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查平方根与立方根的性质差异，易错点在于混淆算术平方根和平方根的取值、立方根与平方根的符号规律，熟练掌握相关概念的区别就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题考查平方根、立方根的相关概念与性质，解题思路如下：首先明确立方根的性质：任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，且满足$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$；其次明确算术平方根的定义：$\sqrt{a}(a≥ 0)$表示$a$的算术平方根，结果为非负数；最后逐一判断四个选项的正误，选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：因为$4^3=64$，正数的立方根是唯一的正数，所以64的立方根是4，不是$\pm4$，A错误。
B选项：负数也有立方根，$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{8}$，所以$-\dfrac{1}{8}$的立方根是$-\dfrac{1}{2}$，B错误。
C选项：根据立方根的性质，互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，即$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，因此$\sqrt[3]{-7}=-\sqrt[3]{7}$，C正确。
D选项：$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{36}=6$，$\pm6$是36的平方根，不是算术平方根，D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查平方根与立方根的性质差异，易错点在于混淆算术平方根和平方根的取值、立方根与平方根的符号规律，熟练掌握相关概念的区别就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
5. 下列说法中，正确的是 （
A.$\sqrt[3]{27} = ±3$
B.$-3^2$的算术平方根是3
C.0没有立方根
D.$-\sqrt{7}$是7的一个平方根
D
）A.$\sqrt[3]{27} = ±3$
B.$-3^2$的算术平方根是3
C.0没有立方根
D.$-\sqrt{7}$是7的一个平方根
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的相关概念，解题时需结合对应概念逐个分析选项判断正误：首先回忆三类根式的性质：①立方根：任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；②算术平方根：只有非负数才有算术平方根，且算术平方根结果为非负数；③平方根：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根。再对应每个选项的描述逐一验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据立方根的定义，正数的立方根是唯一的正数，因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$，不存在负的结果，故A错误；
B选项：先计算$-3^2=-9$，根据算术平方根的性质，负数没有算术平方根，故B错误；
C选项：0的立方根是0，因此0有立方根，故C错误；
D选项：正数的平方根有两个，且互为相反数，7的平方根为$\pm\sqrt{7}$，因此$-\sqrt{7}$是7的一个平方根，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点在于混淆立方根和平方根的符号区别、忽略乘方的运算顺序记错$-3^2$的结果，以及忘记负数没有算术平方根的性质，只要准确掌握相关概念就能轻松做对。
【难度系数】
0.8
本题考查平方根、算术平方根、立方根的相关概念，解题时需结合对应概念逐个分析选项判断正误：首先回忆三类根式的性质：①立方根：任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；②算术平方根：只有非负数才有算术平方根，且算术平方根结果为非负数；③平方根：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根。再对应每个选项的描述逐一验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据立方根的定义，正数的立方根是唯一的正数，因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$，不存在负的结果，故A错误；
B选项：先计算$-3^2=-9$，根据算术平方根的性质，负数没有算术平方根，故B错误；
C选项：0的立方根是0，因此0有立方根，故C错误；
D选项：正数的平方根有两个，且互为相反数，7的平方根为$\pm\sqrt{7}$，因此$-\sqrt{7}$是7的一个平方根，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点在于混淆立方根和平方根的符号区别、忽略乘方的运算顺序记错$-3^2$的结果，以及忘记负数没有算术平方根的性质，只要准确掌握相关概念就能轻松做对。
【难度系数】
0.8
6. 一块面积为4 $\mathrm{m}^2$ 的正方形木板，它的边长是
2
m.答案
6.2
解析
【分析】解题时首先回忆正方形的面积计算公式：正方形面积=边长×边长，也就是面积等于边长的平方。已知面积求边长，本质是求面积的算术平方根，结合实际意义，边长是正数，只需取正的平方根即可，先根据面积公式列等式，再计算算术平方根就能得到结果。
【解析】设正方形木板的边长为$ x \, \mathrm{m} $，根据正方形面积公式可得：
$ x^2 = 4 $
因为边长为正数，所以$ x = \sqrt{4} = 2 $
【答案】2
【知识点】正方形面积计算、算术平方根的应用
【点评】本题属于基础题，结合几何图形性质考察算术平方根的实际应用，解题时注意结合实际意义排除负的平方根即可。
【难度系数】0.9
【解析】设正方形木板的边长为$ x \, \mathrm{m} $，根据正方形面积公式可得：
$ x^2 = 4 $
因为边长为正数，所以$ x = \sqrt{4} = 2 $
【答案】2
【知识点】正方形面积计算、算术平方根的应用
【点评】本题属于基础题，结合几何图形性质考察算术平方根的实际应用，解题时注意结合实际意义排除负的平方根即可。
【难度系数】0.9
7. (1)4 的平方根是
(2)36 的算术平方根是
(3)-8 的立方根是
±2
；(2)36 的算术平方根是
6
；(3)-8 的立方根是
-2
.答案
7.(1)±2 (2)6 (3)-2
解析
【分析】
解题时先分别回忆平方根、算术平方根、立方根的定义，再对应计算：①求一个数的平方根，要找平方后等于这个数的所有数，正数的平方根有两个且互为相反数；②求算术平方根，只要找平方根中非负的那一个；③求立方根时，注意负数的立方根是负数，找立方后等于被开方数的数即可。
【解析】
(1) 根据平方根的定义：如果一个数的平方等于$a$，这个数就叫做$a$的平方根。
因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$。
(2) 根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根。
因为$6^2=36$，且6是正数，所以36的算术平方根是6。
(3) 根据立方根的定义：如果一个数的立方等于$a$，这个数就叫做$a$的立方根。
因为$(-2)^3=-8$，所以-8的立方根是$-2$。
【答案】
(1)$\pm2$ (2)$6$ (3)$-2$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查对平方根、算术平方根、立方根三个概念的辨析，解题时要注意区分平方根和算术平方根的结果差异，牢记立方根的符号与被开方数符号一致，熟练掌握概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先分别回忆平方根、算术平方根、立方根的定义，再对应计算：①求一个数的平方根，要找平方后等于这个数的所有数，正数的平方根有两个且互为相反数；②求算术平方根，只要找平方根中非负的那一个；③求立方根时，注意负数的立方根是负数，找立方后等于被开方数的数即可。
【解析】
(1) 根据平方根的定义：如果一个数的平方等于$a$，这个数就叫做$a$的平方根。
因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$。
(2) 根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根。
因为$6^2=36$，且6是正数，所以36的算术平方根是6。
(3) 根据立方根的定义：如果一个数的立方等于$a$，这个数就叫做$a$的立方根。
因为$(-2)^3=-8$，所以-8的立方根是$-2$。
【答案】
(1)$\pm2$ (2)$6$ (3)$-2$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查对平方根、算术平方根、立方根三个概念的辨析，解题时要注意区分平方根和算术平方根的结果差异，牢记立方根的符号与被开方数符号一致，熟练掌握概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8. 已知$2x + 1$的平方根为$\pm5$，则$-5x - 4$的立方根是
-4
。答案
8.-4
解析
【分析】
解题时先根据平方根的定义建立关于x的方程：若一个数的平方根为±a，那么这个数等于a²，据此先求出x的值，再将x代入代数式-5x-4计算出结果，最后根据立方根的定义求出该结果的立方根即可。
【解析】
解：
∵$2x + 1$的平方根为$\pm5$，根据平方根的定义可得：
$2x+1=(\pm5)^2=25$
解这个一元一次方程：
$2x=25-1$
$2x=24$
$x=12$
将$x=12$代入$-5x-4$得：
$-5×12 -4=-60-4=-64$
∵$(-4)^3=-64$，根据立方根的定义，$-64$的立方根是$-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是对平方根、立方根概念的基础考查，解题核心是先利用平方根的性质求出未知数x的取值，再代入计算所求代数式的立方根，概念掌握牢固就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先根据平方根的定义建立关于x的方程：若一个数的平方根为±a，那么这个数等于a²，据此先求出x的值，再将x代入代数式-5x-4计算出结果，最后根据立方根的定义求出该结果的立方根即可。
【解析】
解：
∵$2x + 1$的平方根为$\pm5$，根据平方根的定义可得：
$2x+1=(\pm5)^2=25$
解这个一元一次方程：
$2x=25-1$
$2x=24$
$x=12$
将$x=12$代入$-5x-4$得：
$-5×12 -4=-60-4=-64$
∵$(-4)^3=-64$，根据立方根的定义，$-64$的立方根是$-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是对平方根、立方根概念的基础考查，解题核心是先利用平方根的性质求出未知数x的取值，再代入计算所求代数式的立方根，概念掌握牢固就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
9. 当$\sqrt{-8x - 4}$的值最小时，$x$的值为
$-\dfrac{1}{2}$
.答案
9.$-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的计算结果是非负数，即对于$\sqrt{a}$（要求$a≥0$），总有$\sqrt{a}≥0$，因此它的最小值是0。要让$\sqrt{-8x-4}$的值最小，就要让它等于0，此时对应的被开方数必须为0，我们只需据此列方程求解$x$即可。
【解析】
根据算术平方根的非负性可知：$\sqrt{-8x-4}≥0$，因此$\sqrt{-8x-4}$的最小值为0。
当$\sqrt{-8x-4}$取最小值0时，被开方数满足：
$-8x - 4 = 0$
移项得：$-8x = 4$
系数化为1得：$x = -\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
算术平方根的非负性；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心是利用算术平方根的非负性确定取最小值的条件，将根式最值问题转化为一元一次方程求解，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的计算结果是非负数，即对于$\sqrt{a}$（要求$a≥0$），总有$\sqrt{a}≥0$，因此它的最小值是0。要让$\sqrt{-8x-4}$的值最小，就要让它等于0，此时对应的被开方数必须为0，我们只需据此列方程求解$x$即可。
【解析】
根据算术平方根的非负性可知：$\sqrt{-8x-4}≥0$，因此$\sqrt{-8x-4}$的最小值为0。
当$\sqrt{-8x-4}$取最小值0时，被开方数满足：
$-8x - 4 = 0$
移项得：$-8x = 4$
系数化为1得：$x = -\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
算术平方根的非负性；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心是利用算术平方根的非负性确定取最小值的条件，将根式最值问题转化为一元一次方程求解，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
