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1. 下列命题是真命题的是 （）
A.若$ a = b $，则$ a^2 = b^2 $
B.若$ |a| = |b| $，则$ a = b $
C.若$ ab = 0 $，则$ a = 0 $
D.若$ a^2 = b^2 $，则$ a = b $
A.若$ a = b $，则$ a^2 = b^2 $
B.若$ |a| = |b| $，则$ a = b $
C.若$ ab = 0 $，则$ a = 0 $
D.若$ a^2 = b^2 $，则$ a = b $
答案
A
解析
逐个分析各选项：
1. 选项A：根据等式的性质，若a=b，两边同时平方可得a²=b²，命题成立，是真命题。
2. 选项B：举反例：当a=2，b=-2时，|a|=|b|，但a≠b，命题不成立，是假命题。
3. 选项C：举反例：当a=2，b=0时，ab=0，但a≠0，命题不成立，是假命题。
4. 选项D：举反例：当a=2，b=-2时，a²=b²，但a≠b，命题不成立，是假命题。
综上，只有A是真命题。
1. 选项A：根据等式的性质，若a=b，两边同时平方可得a²=b²，命题成立，是真命题。
2. 选项B：举反例：当a=2，b=-2时，|a|=|b|，但a≠b，命题不成立，是假命题。
3. 选项C：举反例：当a=2，b=0时，ab=0，但a≠0，命题不成立，是假命题。
4. 选项D：举反例：当a=2，b=-2时，a²=b²，但a≠b，命题不成立，是假命题。
综上，只有A是真命题。
2. 下列语句是命题的是 （）
A.你喜欢数学吗？
B.取线段 AB 的中点
C.美丽的天空
D.两直线平行，内错角相等
A.你喜欢数学吗？
B.取线段 AB 的中点
C.美丽的天空
D.两直线平行，内错角相等
答案
D
解析
根据七年级所学命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题。A是疑问句，没有对事物作出判断，不是命题；B是操作指令，没有作出判断，不是命题；C是短语，不存在完整的判断语义，不是命题；D是对两直线平行时内错角的关系作出明确判断的陈述句，属于命题。
3. 试说明“若$∠ A + ∠ B = 180°, ∠ C + ∠ D = 180°, ∠ A = ∠ C$，则$∠ B = ∠ D$”是真命题. 以下是排乱的推理过程: ① 因为$∠ A = ∠ C$（已知）；② 因为$∠ A + ∠ B = 180°, ∠ C + ∠ D = 180°$（已知）；③ 所以$∠ B = 180° - ∠ A, ∠ D = 180° - ∠ C$（等式的性质）；④ 所以$∠ B = ∠ D$（等量代换）；⑤ 所以$∠ B = 180° - ∠ C$（等量代换）. 正确的推理顺序是 （）
A.①→③→②→⑤→④
B.②→③→⑤→①→④
C.②→③→①→⑤→④
D.②→⑤→①→③→④
A.①→③→②→⑤→④
B.②→③→⑤→①→④
C.②→③→①→⑤→④
D.②→⑤→①→③→④
答案
C
解析
推理从已知条件逐步推导：
1. 先取用已知条件②：$∠ A + ∠ B = 180°, ∠ C + ∠ D = 180°$；
2. 依据等式的性质，由上述条件推导得③：$∠ B = 180° - ∠ A, ∠ D = 180° - ∠ C$；
3. 再取用已知条件①：$∠ A = ∠ C$；
4. 通过等量代换，将$∠ B = 180° - ∠ A$中的$∠ A$替换为$∠ C$，得到⑤：$∠ B = 180° - ∠ C$；
5. 结合$∠ D = 180° - ∠ C$，通过等量代换得到④：$∠ B = ∠ D$。
因此正确推理顺序是②→③→①→⑤→④。
1. 先取用已知条件②：$∠ A + ∠ B = 180°, ∠ C + ∠ D = 180°$；
2. 依据等式的性质，由上述条件推导得③：$∠ B = 180° - ∠ A, ∠ D = 180° - ∠ C$；
3. 再取用已知条件①：$∠ A = ∠ C$；
4. 通过等量代换，将$∠ B = 180° - ∠ A$中的$∠ A$替换为$∠ C$，得到⑤：$∠ B = 180° - ∠ C$；
5. 结合$∠ D = 180° - ∠ C$，通过等量代换得到④：$∠ B = ∠ D$。
因此正确推理顺序是②→③→①→⑤→④。
4. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于 $ 60° $”时，首先应该假设这个三角形中 （）
A.每一个内角都大于 $ 60° $
B.每一个内角都小于 $ 60° $
C.有一个内角大于 $ 60° $
D.有一个内角小于 $ 60° $
A.每一个内角都大于 $ 60° $
B.每一个内角都小于 $ 60° $
C.有一个内角大于 $ 60° $
D.有一个内角小于 $ 60° $
答案
A
解析
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立。原命题的结论是“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，对该结论进行否定，“至少有一个小于或等于60°”的反面是“所有内角都大于60°”，因此首先应该假设这个三角形中每一个内角都大于60°。
5. 下列式中可以用来证明命题“若$a＞2$,则$a+3＞7$”是假命题的反例是
（）
A.$a=1$
B.$a=3$
C.$a=5$
D.$a=7$
（）
A.$a=1$
B.$a=3$
C.$a=5$
D.$a=7$
答案
B
解析
要证明命题为假的反例，需要同时满足：①符合命题的条件a＞2；②不满足命题的结论a+3＞7。
逐个分析选项：
1. 选项A：a=1，不满足a＞2，不符合反例要求；
2. 选项B：a=3，满足a＞2，此时a+3=6＜7，不满足a+3＞7，符合反例要求；
3. 选项C：a=5，满足a＞2，此时a+3=8＞7，符合原命题结论，不是反例；
4. 选项D：a=7，满足a＞2，此时a+3=10＞7，符合原命题结论，不是反例。
逐个分析选项：
1. 选项A：a=1，不满足a＞2，不符合反例要求；
2. 选项B：a=3，满足a＞2，此时a+3=6＜7，不满足a+3＞7，符合反例要求；
3. 选项C：a=5，满足a＞2，此时a+3=8＞7，符合原命题结论，不是反例；
4. 选项D：a=7，满足a＞2，此时a+3=10＞7，符合原命题结论，不是反例。
6. 小明在解答“已知$△ ABC$中，$AB=AC$，求证$∠ B＜90°$”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：① 所以$∠ B + ∠ C + ∠ A ＞ 180°$，这与三角形内角和定理相矛盾；② 所以$∠ B＜90°$；③ 假设$∠ B≥90°$；④ 那么，由$AB=AC$，得$∠ B = ∠ C≥90°$，即$∠ B + ∠ C≥90°$，即$∠ B + ∠ C≥180°$。请你写出这四个步骤正确的顺序。
答案
③④①②
解析
反证法的一般步骤为：第一步假设命题的结论不成立；第二步从假设出发，结合已知条件进行推理，推出与公理、定理等矛盾的结果；第三步由矛盾判定假设不成立，最终肯定原命题的结论正确。本题中首先假设∠B≥90°，再结合AB=AC的条件推导得到∠B=∠C≥90°，进一步推出三角形内角和大于180°，与三角形内角和定理矛盾，最后证明∠B＜90°，据此排序即可。
