12. 如果关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 3x+2y=k+1, \\ 4x+3y=k-1 \end{cases} $ 的解满足 $ x＞y $，求 $ k $ 的取值范围.

$k ＞ -6$

本题可通过七年级所学的加减消元法先解二元一次方程组，得到用含k的代数式表示的x、y，再根据条件$x＞y$列出关于k的一元一次不等式，求解不等式即可得到k的取值范围。
1. 解二元一次方程组
$\begin{cases} 3x+2y=k+1&① \\ 4x+3y=k-1&② \end{cases}$
①×3，得：$9x+6y=3k+3$ ③
②×2，得：$8x+6y=2k-2$ ④
③-④，得：$x = k+5$
把$x=k+5$代入①，得：$3(k+5)+2y=k+1$，整理计算得$y=-k-7$
2. 根据$x＞y$列不等式求解
将$x=k+5$，$y=-k-7$代入$x＞y$，得：
$k+5 ＞ -k -7$
移项合并同类项得：$2k ＞ -12$
系数化为1得：$k ＞ -6$

对 $ x,y $ 定义一种新运算 $ T $，规定：$ T(x,y)=ax+2by-1 $（其中 $ a,b $ 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：$ T(0,1)=a · 0 + 2b · 1 - 1 = 2b - 1 $。
(1) 已知 $ T(1,-1)=-2, T(4,2)=3 $。
① 求 $ a,b $ 的值；
② 若关于 $ m $ 的不等式组 $ \begin{cases} T(2m,5-4m) ≤ 4, \\ T(m,3-2m) ＞ p \end{cases} $ 恰好有 2 个整数解，求实数 $ p $ 的取值范围；
(2) 若 $ T(x,y)=T(y,x) $ 对任意实数 $ x,y $ 都成立[这里 $ T(x,y) $ 和 $ T(y,x) $ 均有意义]，则 $ a,b $ 应满足怎样的关系式？

(1) ① $a=\frac{1}{3},b=\frac{2}{3}$；② $-4 ≤ p ＜ -\frac{5}{3}$；(2) $a=2b$

(1) ① 根据新运算T的定义，将已知条件代入构造二元一次方程组：
把$T(1,-1)=-2$代入运算规则得：$a·1 + 2b·(-1) -1 = -2$，整理得 $a - 2b = -1$；
把$T(4,2)=3$代入运算规则得：$a·4 + 2b·2 -1 = 3$，整理得 $a + b = 1$。
联立方程组$\begin{cases}a - 2b = -1 \\a + b = 1\end{cases}$，用加减消元法，两式相减得$3b=2$，解得$b=\frac{2}{3}$，将$b=\frac{2}{3}$代入$a+b=1$，得$a=\frac{1}{3}$。
② 将$a=\frac{1}{3},b=\frac{2}{3}$代入新运算表达式，分别化简两个不等式：
对$T(2m,5-4m) ≤ 4$代入得：$\frac{2m}{3} + \frac{4(5-4m)}{3} -1 ≤ 4$，两边同乘3去分母，展开整理得$-14m ≤ -5$，解得$m ≥ \frac{5}{14}$。
对$T(m,3-2m) ＞ p$代入得：$\frac{m}{3} + \frac{4(3-2m)}{3} -1 ＞ p$，两边同乘3去分母，展开整理得$-7m ＞ 3p-9$，解得$m ＜ \frac{9-3p}{7}$。
因此不等式组的解集为$\frac{5}{14} ≤ m ＜ \frac{9-3p}{7}$，结合$\frac{5}{14}\approx0.36$，恰好2个整数解只能是1、2，因此需满足$2 ＜ \frac{9-3p}{7} ≤ 3$，解该不等式得$-4 ≤ p ＜ -\frac{5}{3}$。
(2) 由$T(x,y)=T(y,x)$对任意实数x,y都成立，代入运算规则得：
$ax + 2by -1 = ay + 2bx -1$，移项整理得$(a-2b)(x-y)=0$，由于等式对任意x,y都成立，因此系数必须为0，即$a=2b$。